1、专题强化练4直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.(2020江苏南通高二上第一次教学质量调研,)过点M(1,0)的直线l与椭圆x22+y2=1交于A、B两点,若AM=2MB,则直线l的斜率为()A.142B.147C.142D.1472.(2020河南新乡一中高二期中,)已知椭圆C:x22+y2=1,设过点P(2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且AOB为钝角(其中O为坐标原点),则直线l的斜率的取值范围是()A.-22,22B.-55,00,55C.-,-5555,+D.-22,00,223.(2021江苏南京师大附中高二上阶段检测,)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线
2、l与x轴交于点H,过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,分别过点A,B作准线l的垂线,垂足分别为A1,B1,如图所示.以线段AB为直径的圆与准线l相切;以A1B1为直径的圆经过焦点F;A,O,B1(其中点O为坐标原点)三点共线;若已知点A的横坐标为x0,且T(-x0,0),则直线TA与该抛物线相切.则以上说法中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4二、填空题4.(2021江苏南京五校高二上联合调研,)设F为抛物线C:y2=6x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,则线段AB的中点到x轴的距离为.5.(2021江苏徐州沛县歌风中学高二上学情调研,)设过双曲线C:x2a2-y2b2=1
3、(a0,b0)的右焦点F(c,0)的直线l与其一条渐近线垂直相交于点A,则点A的横坐标可用a,c表示为;若l与另一条渐近线交于点B,且FB=4FA,则C的离心率为.三、解答题6.(2021江苏南通海门中学高二上期中,)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x212(k2-1)+y2k=1的焦点在x轴上.(1)求实数k的取值范围;(2)设椭圆C的焦点F1(-1,0),F2(1,0),B是椭圆C的上顶点,直线BF1与椭圆C的另一交点为M.求椭圆C的方程;求MF1的长.7.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)如图所示,斜率为1的直线过抛物线y2=2px(p0)的焦点F,与抛物线交于A,B两点,M
4、为抛物线弧AB上的动点.(1)若AB=8,求抛物线的方程;(2)求SABM的最大值.8.(2021江苏南通平潮高级中学高二上期中,)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点F恰为椭圆y2a2+x2=1(a1)的一个顶点,且抛物线的通径(过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦)的长等于椭圆的两准线间的距离.(1)求抛物线及椭圆的标准方程;(2)过点F作两条直线l1,l2,且l1,l2的斜率之积为-1.设直线l1交抛物线于A,B两点,l2交抛物线于C,D两点,求1AB+1CD的值;设直线l1,l2与椭圆的另一个交点分别为M,N.求FMN面积的最大值.9.()如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)
5、的右顶点为A(2,0),左、右焦点分别为F1,F2,过点A且斜率为12的直线与y轴交于点P,与椭圆交于另一点B,且点B在x轴上的投影恰好为点F1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P的直线与椭圆交于M,N两点(M,N不与A,B重合),若SPAM=6SPBN,求直线MN的方程.专题强化练4直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.C设直线l的方程为my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2).联立my=x-1,x2+2y2=2,消去x,得(m2+2)y2+2my-1=0,0,y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2.AM=2MB,即AM=2MB,0-y1=2(y2-0),即y1=-2
6、y2.联立y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2,y1=-2y2,解得m2=27.m=27,直线l的斜率k=1m=142.故选C.2.B易知直线l的斜率存在,故设直线方程为y=k(x-2)(k0),由y=k(x-2),x22+y2=1消去y得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,由题意=(-8k2)2-4(1+2k2)(8k2-2)0,解得-22k22,且k0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8k21+2k2,x1x2=8k2-21+2k2,y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=2k21+2k2,因为AOB为钝角,所以x1x2+y1y2=8k2-21+
7、2k2+2k21+2k20,解得-55k0,则y1y2=-p2,又OA=(x1,y1)=y122p,y1,OB1=-p2,y2,所以y122py2=y1y22py1=-p2y1,所以OAOB1,所以A,O,B1三点共线,故正确;对于,不妨设A(x0,2px0),则kAT=2px02x0,则直线AT:x=2x0py-x0,代入抛物线方程,化简得y2-2p2x0py+2px0=0,则=-2p2x0p2-8px0=0,所以直线TA与该抛物线相切,故正确.故选D.方法点拨将点在圆上转化为垂直关系,将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离,将点共线转化为向量共线;设直线方程,联立方程,通过解方程组解决直线与
8、抛物线交点的问题.二、填空题4.答案33解析依题意可知抛物线C:y2=6x的焦点F32,0,直线AB的方程为y=33x-32,代入抛物线方程得x2-21x+94=0,可得xA+xB=21,设线段AB的中点坐标为(x0,y0),x0=212,y0=33212-32=33,故线段AB的中点到x轴的距离为33.5.答案a2c;263解析设双曲线C的一条渐近线方程为y=bax,由过右焦点F(c,0)的直线l与之垂直,可得直线方程为y=-ab(x-c),联立y=bax,y=-ab(x-c),解得x=a2c,y=abc,所以Aa2c,abc,联立y=-bax,y=-ab(x-c),解得x=a2ca2-b2
9、,y=-abca2-b2,所以Ba2ca2-b2,-abca2-b2,因为FB=4FA,所以a2ca2-b2-c=4a2c-c,化简得3c4-11a2c2+8a4=0,所以3e4-11e2+8=0,则e2=83或e2=1(舍去),解得e=263(负值舍去),故答案为a2c;263.三、解答题6.解析(1)因为椭圆C:x212(k2-1)+y2k=1的焦点在x轴上,所以12(k2-1)0,k0,12(k2-1)k,解得k1+2,所以实数k的取值范围为k1+2.(2)由题意知椭圆的半焦距c=1,所以12(k2-1)-k=1,解得k=3或k=-1(舍去),所以椭圆C的方程为x24+y23=1.由知,
10、B(0,3),则kBF1=3,直线BF1:y=3x+3,由x24+y23=1,y=3x+3化简可得5x2+8x=0,解得x=0或x=-85,所以点M的横坐标为xM=-85,则点M的纵坐标yM=-335,所以MF1=-85+12+-3352=65.7.解析(1)由条件知lAB:y=x-p2,与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+14p2=0,则xA+xB=3p.由抛物线的定义得AB=xA+xB+p=4p.又因为AB=8,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.(2)解法一:由(1)知AB=4p,且lAB:y=x-p2,设My022p,y0,则M到AB的距离d=y022p-y0-p22.因
11、为点M在直线AB的上方,所以y022p-y0-p20)的焦点F(1,0),p=2,故抛物线方程为y2=4x,因为抛物线的通径的长等于椭圆的两准线间的距离,所以2p=4=2a2c,a2=2c=b2+c2=c2+1,c=1,a=2,椭圆的标准方程为y22+x2=1.(2)设l1:y=k(x-1),代入y2=4x消元得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2=2+4k2,x1x2=1,AB=k2+1|x1-x2|=k2+12+4k22-4=4(k2+1)k2,易知kCD=-1k,同理可得CD=41k2+11k2=4(k2+1),则1AB
12、+1CD=k24(k2+1)+14(k2+1)=14.设l1:y=k(x-1),代入椭圆方程y22+x2=1,消元得k2(x-1)2+2x2-2=0,即(x-1)(k2+2)x+2-k2=0,xF=1,xM=k2-2k2+2,FM=k2+1|xF-xM|=k2+14k2+2,同理得FN=1k2+141k2+2,由l1与l2的斜率之积为-1可得l1l2,SFMN=12FMFN=k2+1k2+282k2+2k2+5,k2+1k22k21k2=2(当且仅当k=1时,等号成立),令t=k2+1k2+2,则t2+2=2(当且仅当k=1时,等号成立),k2+1k2=t2-2,SFMN=8t2(t2-2)+
13、5=8t2t2+1=82t+1t,y=2t+1t=2t+12t在 2,+)上是增函数,当t=2,即k=1时,ymin=92,(SFMN)max=82t+1t=822+12=169,FMN面积的最大值为169.9.解析(1)由题意,得BF1x轴,BF1AF1=12,所以点B-c,-b2a.又A(2,0),所以a=2,b2a(a+c)=12,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,c=1,所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)因为ac=21,所以PA=2PB.所以SPAMSPBN=12PAPMsinAPM12PBPNsinBPN=2PMPN=6,所以PMPN=3,所以PM=-3 PN.由题
14、意知P(0,-1),设M(x1,y1),N(x2,y2),则PM=(x1,y1+1),PN=(x2,y2+1),所以x1=-3x2.当直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=0,此时,PMPN=3+13-1=2+3或PMPN=3-13+1=2-3,均不符合条件,故舍去.当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=kx-1.由y=kx-1,x24+y23=1得(4k2+3)x2-8kx-8=0.由根与系数的关系,可得x1+x2=8k4k2+3,x1x2=-84k2+3,将x1=-3x2代入,可得-2x2=8k4k2+3,3x22=84k2+3,所以3-4k4k2+32=84k2+3,所以k2=32,解得k=62.所以直线MN的方程为y=62x-1或y=-62x-1.