1、专题强化练2两条直线的位置关系与距离公式一、选择题1.(多选)(2020江苏苏大附中高二期中,)已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,则下列说法正确的是()A.l2始终过定点23,13B.若l1l2,则a的值为1或-3C.若l1l2,则a的值为0或2D.当a0时,l1始终不过第三象限2.(2020山东烟台一中高二月考,)已知A(-2,1),B(1,2),点C为直线x-3y=0上的动点,则AC+BC的最小值为()A.22B.23C.25D.273.(2020山东枣庄第三中学高二月考,)已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P使PM=4,则称该直线为点M的“
2、相关直线”,则下列直线不是点M的“相关直线”的是()A.y=x-3B.y=2C.4x-3y=0D.2x-y+1=04.(2020浙江杭州高一期末,)已知点A在直线x+2y-1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),且满足y0x0+2,则y0x0的取值范围为()A.-12,-15B.-,-15C.-15,0D.-12,05.()若直线l过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,并且点(5,1)到直线l的距离为10,则直线l的方程是()A.3x+y+4=0B.3x-y+4=0C.3x-y-4=0D.-x+3y-4=06.(2020江苏无锡高一期中,)如图,已知
3、A(-4,0),B(4,0),C(0,4),E(-2,0),F(2,0),一束光线从F点出发射到BC上的D点,经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD的斜率的取值范围为()A. (-,-2)B.(4,+)C.(2,+)D.(1,+)二、填空题7.(2020江苏扬州大桥高级中学高二月考,)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:y=mx与曲线f(x)=2x3+x从左至右依次交于A、B、C三点,若直线l2:y=kx+2上存在P满足|PA+PC|=1,则实数k的取值范围是.8.(2020江苏如皋第一中学高二期中,)设mR,过定点A的直线x+1+my=0和过定点B的直线mx-
4、y-m+3=0交于点P(x,y),则3PA+PB的最大值是.9.(2020山东青岛平度一中高二期中,)在平面直角坐标系xOy中,若动点P(a,b)到两直线l1:y=x和l2:y=-x+4的距离之和为32,则a2+b2的最小值为.10.(2020江苏无锡锡山高级中学高二月考,)如图,矩形ABCD中边AB在x轴上,C(2,2),D(-1,2).从原点O射出的光线OP经BC反射到CD上,再经CD反射到AD上点Q处.(1)若直线OP的斜率为12,则点Q的纵坐标为;(2)若点Q恰为线段AD的中点,则直线OP的斜率为.三、解答题11.(2020江苏泰州中学高二期中,)已知三条直线l1:2x-y+a=0(a
5、0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1和l2的距离是7510.(1)求a的值;(2)能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:P是第一象限的点;点P到l1的距离是点P到l2的距离的12;点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是25?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.12.(2020江苏启东中学高二期中,)如图,公路AM、AN围成的是一块顶角为的三角形耕地,其中tan =-1,在该块土地中的P处有一小型建筑,经测量,它到公路AM、AN的距离分别为1 km,2 km,现要过点P修建一条直线公路BC,将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.(1)以A为坐标
6、原点建立适当的平面直角坐标系,并求出点P的坐标;(2)三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4 km2,求公路BC所在直线的方程.13.(2020山东青岛莱西一中高二期中,)如图,设直线l1:x=0,l2:3x-4y=0.点A的坐标为(1,a)a34,过点A的直线l的斜率为k,且与l1,l2分别交于点M,N(M,N的纵坐标均为正数).(1)求实数k的取值范围;(2)设a=1,求MON面积的最小值;(3)是否存在实数a,使得1OM+1ON的值与k无关?若存在,求出实数a;若不存在,请说明理由.专题强化练2两条直线的位置关系与距离公式一、选择题1.ACDl2:a(x-2y)+3y-1=0过定点23
7、,13,故A正确;当a=1时,l1,l2重合,故B错误;由1a-a(2a-3)=0,得a=0或a=2,故C正确;当a0时,l1:y=-1ax+1过定点(0,1),斜率为负,始终不过第三象限,故D正确.故选ACD.2.C设点A(-2,1)关于直线x-3y=0的对称点为D(a,b),则b-1a+2=-3,a-22-3b+12=0,解得a=-1,b=-2,故点D的坐标为(-1,-2),AC+BC=DC+BC,当B,D,C三点共线时,DC+BC取得最小值,即AC+BC取得最小值,最小值为DB=(1+1)2+(2+2)2=25.故选C.3.D由题意知,当M到直线l的距离小于或等于4时,称该直线为点M 的
8、“相关直线”.对于选项A,M到直线y=x-3的距离d1=24,所以该直线是点M的“相关直线”;对于选项B,M到直线y=2的距离d2=24,所以该直线不是点M的“相关直线”.故选D.4.A设A(x1,y1),y0x0=k,则 y0=kx0k-12,AB的中点为P(x0,y0), B(2x0-x1,2y0-y1),A,B分别在直线x+2y-1=0,x+2y+3=0上,x1+2y1-1=0,2x0-x1+2(2y0-y1)+3=0,2x0+4y0+2=0,即x0+2y0+1=0.y0=kx0,x0+2kx0+1=0,即 x0=-11+2k,又y0x0+2,kx0x0+2,即 (k-1)x02,(k-
9、1)-11+2k2,即 5k+12k+10,解得-12kkFI=85-0125-2=4.故选B.二、填空题7.答案k-15或k15解析因为曲线f(x)=2x3+x及直线l1:y=mx都关于原点对称,所以B为原点,且B为AC的中点,所以PA+PC=2PB,因为直线l2:y=kx+2上存在P满足|PA+PC|=1,即2|PB|=1,所以直线l2上存在点到原点的距离为12,则2k2+112,解得k-15或k15.8.答案213解析由题意得直线x+1+my=0过定点A(-1,0),直线mx-y-m+3=0可化为(x-1)m+3-y=0,过定点B(1,3).又1m+m(-1)=0,两直线垂直,交点为P,
10、PA2+PB2=AB2=13,设ABP=,则PA=13sin ,PB=13cos .PA0且PB0,0,2,3PA+PB=39sin +13cos =21332sin+12cos=213sin+6,0,2,+66,23,当+6=2,即=3时,213sin+6取得最大值,最大值为213.9.答案1解析因为动点P(a,b)到两直线l1:y=x和l2:y=-x+4的距离之和为32,所以|a-b|2+|a+b-4|2=32,即|a-b|+|a+b-4|=6,分为以下4种情况:a-b0,a+b-40,a=5或a-b0,a+b-40,b=-1或a-b0,a+b-40,b=5或a-b0,a+b-40,a=-
11、1,可知点(a,b)在如图所示的正方形的4条边上,而a2+b2表示原点到点(a,b)的距离,结合图形知,当取点A(-1,0)或B(0,-1)时,a2+b2取得最小值1,故a2+b2的最小值为1.10.答案(1)32(2)35解析(1)根据直线OP的斜率为12,可得P(2,1),则P在BC的中点上,则反射光线必经过DC与y轴的交点(0,2).设点Q的坐标为(-1,t),则2-t0-(-1)=12,解得t=32,即点Q的纵坐标为32.(2)设P(2,n),反射光线与DC的交点为E(m,2),由反射角与入射角相等,可得2-n2-m=n2.又直线OP的斜率等于直线QE的斜率,所以n2=2-1m+1.由
12、解得m=23,n=65,则直线OP的斜率为35.三、解答题11.解析(1)l2的方程可化为2x-y-12=0,l1和l2的距离d=a-1222+(-1)2=7510,a+12=72.a0,a=3.(2)设点P(x0,y0),若点P满足条件,则点P在与l1和l2平行的直线l:2x-y+c=0c-12,c3上,且|c-3|5=12c+125,解得c=132或c=116,2x0-y0+132=0或2x0-y0+116=0.若点P满足条件,则|2x0-y0+3|5=25|x0+y0-1|2,x0-2y0+4=0或3x0+2=0.P在第一象限,x0-2y0+4=0.联立2x0-y0+132=0,x0-2
13、y0+4=0,解得x0=-3,y0=12,不符合题意,舍去.联立2x0-y0+116=0,x0-2y0+4=0,解得x0=19,y0=3718,P19,3718即为同时满足三个条件的点.12.解析(1)以A为坐标原点, AB所在直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可设点P(a,1),且直线AN的斜率为kAN=tan =-1,且经过点A(0,0),故直线AN的方程为x+y=0,因为点P到AN的距离为2,所以|a+1|2=2,解得a=1或a=-3(舍去),所以点P的坐标为(1,1).(2)由题意可知直线BC的斜率一定存在,设其直线方程为y-1=k(x-1
14、)(k-1),与直线AN的方程x+y=0联立后解得xC=k-1k+1,yC=-k-1k+1,易得点B的坐标为k-1k,0,所以SABC=12k-1k-k-1k+1=4,解得k=-13,所以公路BC所在直线的方程为y-1=-13(x-1),即x+3y-4=0.13.解析(1)直线l的方程为y-a=k(x-1),令x=0,得y=a-k,由y=a-k0,得k34,k34.由y-a=k(x-1),3x-4y=0得x=4k-4a4k-3,y=3k-3a4k-3.y=3k-3a4k-30,ka或k34,又k34,k0),则k=3-t4,SMON=21-3-t42t=18t+1t+2182t1t+2=12,当且仅当t=1t,即t=1,即k=12时,等号成立,SMON的最小值是12.(3)假设存在满足题意的a,由(1)知OM=a-k,ON=5(a-k)3-4k,1OM+1ON=1a-k+3-4k5(a-k)=8-4k5(a-k)=4(2-k)5(a-k),若此式与k无关,则a=2.存在a=2,使得1OM+1ON的值与k无关.