1、3.2双曲线3.2.1双曲线的标准方程基础过关练题组一双曲线的定义及其应用1.(2021江苏南京人民中学高二上月考)已知M(-3,0),N(3,0),PM-PN=6,则动点P的轨迹是()A.一条射线B.双曲线右支C.双曲线D.双曲线左支2.(2021江苏扬州大学附属中学高二上学期第一次月考)已知方程x21+k-y21-k=1表示双曲线,则k的取值范围是()A.-1k0C.k0D.k1或k0)D.y216-x29=1(y0)9.已知双曲线的一个焦点为F1(-5,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是()A.x24-y2=1B.x2-y24=1C.x22-
2、y23=1D.x23-y22=110.(2021江苏扬州邗江中学高二上学期期中)已知双曲线的焦点为F1(-4,0),F2(4,0),且该双曲线过点P(6,22).(1)求双曲线的标准方程;(2)若双曲线上的点M满足MF1MF2,求MF1F2的面积.题组三直线与双曲线的位置关系11.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是()A.-153,153B.0,153C.-153,0D.-153,-112.过双曲线x2-y23=1的左焦点F1,作倾斜角为6的直线与双曲线交于A,B两点,则AB=.13.(2021江苏无锡锡山高级中学高二上学期期中)已知双曲线C的标准方
3、程为x23-y26=1,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点.(1)若点P在双曲线的右支上,且F1PF2的面积为3,求点P的坐标;(2)若斜率为1且经过右焦点F2的直线l与双曲线交于M,N两点,求线段MN的长度.题组四双曲线方程的综合运用14.(2021江苏泰州中学高二上学期10月质量检测)对于常数m、n,“mn0”是“方程mx2-ny2=1表示的曲线是双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件15.(2021江苏镇江中学高二上学期期初测试)人们在进行工业设计时,巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质,比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线.如图,从双曲线
4、右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2-y2=1,则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点),F1F2P的大小为()A.12B.6C.3D.51216.(2021江苏无锡锡山高级中学高二上学期10月阶段性考试)若椭圆x2m+y2n=1(mn0)和双曲线x2a2-y2b2=1(ab0)有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则PF1PF2的值是()A.m-a2B.12(m-a2)C.m2-a2D.m-a17.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中) 设F1,F2是双曲线x25-y24=1的两个焦点,P是
5、该双曲线上一点,且PF1PF2=21,求PF1F2的面积.能力提升练题组一双曲线的标准方程及其应用1. (2021江苏南京江宁东山外国语学校高二第一次月考,)已知ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),ABC内切圆的圆心在直线x=2上,则顶点C的轨迹方程是()A.x24-y221=1(x2)B.y24-x221=1(y2)C.x221-y24=1D.y24-x22=12.(多选)(2021江苏泰州中学高二上学期期中,)已知曲线E的方程为ax2+by2=ab(a,bR),则下列选项正确的是()A.当ab=1时,E一定是椭圆B.当ab=-1时,E是双曲线C.当a=b0时,E是圆D.当ab=0且a
6、2+b20时,E是直线3.(2021江苏高二上学期质量检测,)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若AF2=F1F2=2c,则此双曲线的标准方程可能为()A.x24-y3=7B.x23-y24=1C.x216-y29=1D.x29-y216=14.(2021江苏徐州沛县高二上学期第一次学情调研,)已知双曲线x216-y212=1的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线上一点,若F1MF2=60,则F1MF2的面积为.题组二双曲线标准方程的综合应用5.(2020重庆一中高二上期中,)已知双曲线方程为2
7、x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为()A.4x-3y+1=0B.2x-y-1=0C.3x-4y+6=0D.x-y+1=06.(2021江苏南通如皋高二上学期教学质量调研(一),)已知双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心的圆与直线l:y=43x相切,该圆与双曲线在第一象限的交点为P,则PF1PF2=()A.8B.86C.4D.467.(2020江苏徐州铜山大许高级中学高二月考,)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(4,0),点A,B在双曲线C:x24-y2=1上,且AP=3PB,则直线AB的斜率为()A.32B.52C.1D.32
8、8.()已知点P在曲线C1:x216-y29=1上,点Q在曲线C2:(x+5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x-5)2+y2=1上,则PQ-PR的最大值是()A.6B.8C.10D.129.(2020江苏淮安阳光学校高二月考,)已知动点P到点F(2,0)的距离是到直线x=12的距离的2倍,设P点的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程,并指出C的形状;(2)当P点坐标为(2,t)时,过P作斜率为3的直线与C有另一个交点A,求线段PA的中点坐标.答案全解全析基础过关练1.A因为PM-PN=6=MN,故动点P的轨迹是一条射线,其方程为y=0,x3,故选A.2.A由方程x21+k-y21-k=1表示
9、双曲线,得(1+k)(1-k)0,解得-1k1,故实数k的取值范围是-1k1.故选A.3.A当PF1-PF2=3时,|PF1-PF2|=3F1F2=4,满足双曲线的定义,所以点P的轨迹是双曲线.故选A.4.答案28或4解析依题意可知a=6,b=8,则c=36+64=10,所以A,B分别是双曲线的左、右焦点,根据双曲线的定义可知|PA-PB|=|16-PB|=2a=12,所以PB=28或PB=4,由于c-a=10-6=4,所以PB4.故答案为28或4.5.答案26解析易知AF2-AF1=2a=8,BF2-BF1=2a=8,AF2+BF2-(AF1+BF1)=16.AF2+BF2=16+5=21,
10、ABF2的周长为AF2+BF2+AB=21+5=26.6.C由双曲线的方程可知双曲线的焦点在x轴上,又c=a2+b2=2+2=2,所以焦点坐标为(2,0).故选C.7.D将双曲线方程化为标准方程为x215-y2=1,所以双曲线的焦点坐标为(4,0),由于椭圆与双曲线有相同的焦点,所以m=25-16=9.故选D.8.C由题意知,点M到点(-5,0)的距离与到点(5,0)的距离之差为80),故选C.9.B设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),因为c=5,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以x2a2-y25-a2=1.因为线段PF1的中点坐标为(0,2),所以点P的坐标为(
11、5,4).将P(5,4)代入双曲线方程,得5a2-165-a2=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x2-y24=1.故选B.10.解析(1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),因为F1(-4,0),F2(4,0),且该双曲线过点P(6,22),所以2a=(6+4)2+(22)2-(6-4)2+(22)2=43,所以a=23,所以a2=(23)2=12,又c=4,所以b2=42-12=4,所以双曲线的标准方程为x212-y24=1.(2)由|MF1-MF2|=43,MF12+MF22=64,得MF1MF2=8,所以SMF1F2=12MF1MF2=4
12、.11.D由y=kx+2,x2-y2=6得(1-k2)x2-4kx-10=0.由题意得1-k20,=16k2+40(1-k2)0,4k1-k20,10k2-10,解得-153k0,则SF1PF2=12F1F2|n|=3|n|=3,解得n=1,代入双曲线方程可得m=142,所以点P的坐标为142,1或142,-1.(2)由题意得F2(3,0),则直线MN:y=x-3,设M(x1,y1),N(x2,y2),由x23-y26=1,y=x-3消去y,可得x2+6x-15=0,则x1+x2=-6,x1x2=-15,所以MN=1+12(x1+x2)2-4x1x2=236+60=83.14.C方程mx2-n
13、y2=1表示的曲线是双曲线mn0,所以“mn0”是“方程mx2-ny2=1表示的曲线是双曲线”的充要条件.故选C.15.答案D信息提取(1)双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,反射光线的反向延长线经过左焦点;(2)双曲线方程为x2-y2=1;(3)F2PPE.数学建模本题以双曲线镜面反射光线为背景,构建与双曲有关的问题.通过F2PPE构建方程,再结合余弦函数的定义求解.解析双曲线的标准方程为x2-y2=1,则a=1,b=1,c=2.设PF2=m(m0),则PF1=2+m.所以m2+(m+2)2=(22)2,解得m=3-1(m=-3-1舍去).所以cosF1F2P=3-122
14、=6-24,所以F1F2P=512.故选D.16.A不妨设PF1PF2,由椭圆与双曲线的定义可得PF1+PF2=2m,PF1-PF2=2a,所以PF1=m+a,PF2=m-a,所以PF1PF2=(m+a)(m-a)=m-a2.故选A.17.解析F1,F2是双曲线x25-y24=1的两个焦点,不妨设F1(-3,0),F2(3,0),F1F2=6,设PF2=x(x0),则PF1=2x.由双曲线的性质知2x-x=25,解得x=25,PF1=45,PF2=25,cosF1PF2=80+20-3624525=45,sinF1PF2=35.PF1F2的面积为12452535=12.能力提升练1.A如图,设
15、ABC的三边与内切圆的切点分别为G,E,F,由题意得AG=AE=7,BF=BG=3,CE=CF,所以CA-CB=7-3=42).故选A.2.BCD对于A,若a=1,b=1,则ax2+by2=ab变为x2+y2=1,表示圆,故A错误;对于B,若ab=-1,则ax2+by2=ab(a,bR)可化为y2a-ax2=1,表示双曲线,故B正确;对于C,若a=b0,方程变为x2+y2=a,表示圆,故C正确;对于D,若a=0,b0,则ax2+by2=ab变为y=0,表示直线;同理,若b=0,a0,ax2+by2=ab也表示直线,故D正确.故选BCD.3.D由双曲线的定义可知AF1-AF2=2a,又AF2=F
16、2F1=2c,所以AF1=2a+2c,由于过F2的直线斜率为247,所以在等腰三角形AF1F2中,tan AF2F1=-247,则cosAF2F1=-725,由余弦定理得cosAF2F1=-725=4c2+4c2-(2a+2c)222c2c,化简得3c=5a,即a=35c,b=45c,可得ab=34,a2b2=916,所以此双曲线的标准方程可能为x29-y216=1.故选D.4.答案123解析不妨设点M在双曲线的右支上,则MF1-MF2=2a=8 ,即(MF1-MF2)2=MF12+MF22-2MF1MF2=64,由余弦定理可得4c2=112=MF12+MF22-MF1MF2,两式相减得MF1
17、MF2=48,所以SF2MF1=12MF1MF2sin 60=123.5.A设弦的两端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2,两式相减得,2(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.又x1+x2=4,y1+y2=6,8(x1-x2)-6(y1-y2)=0kPQ=43,因此直线PQ的方程为y-3=43(x-2),即4x-3y+1=0,经验证,直线4x-3y+1=0与双曲线相交.因此符合题意的直线方程为4x-3y+1=0,故选A.易错警示用“点差法”解决弦的中点问题,不能确保直线与双曲线相交,解题时,要防止遗漏验证而导致错误.
18、6.A易知焦点F2(5,0)到直线l的距离d=|45|9+16=4,因为以F2为圆心的圆与直线l相切,所以PF2=4,由双曲线的定义可知PF1=10,又F1F2=10,所以由余弦定理得cosF2PF1=PF12+PF22-F1F222PF1PF2=100+16-1002104=15,所以PF1PF2=|PF1|PF2|cosF1PF2=4015=8.故选A.7.B由题意可知,当直线AB的斜率为0时显然不满足题意,故设直线AB的方程为x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),联立x24-y2=1,x=my+4,消去x,得(m2-4)y2+8my+12=0,所以m24,y1+y2=-8mm
19、2-4,y1y2=12m2-4,又AP=3PB,所以(4-x1,-y1)=3(x2-4,y2),所以-y1=3y2,由可得-4m2-4=16m2(m2-4)2,即5m2=4,所以m=25,所以直线AB的斜率为1m=52.故选B.8.C设C1:x216-y29=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),而这两点恰好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆的半径都为1,若PQ-PR取得最大值,则P在双曲线的右支上,故PF1-PF2=8,所以PQmax=PF1+1,PRmin=PF2-1,所以PQ-PR的最大值为(PF1+1)-(PF2-1)=PF1-PF2+2=8
20、+2=10.故选C.9.解析(1)设P点坐标为(x,y),由题意可得(x-2)2+y2=2x-12,两边平方整理可得曲线C的方程为x2-y23=1,故C的形状为双曲线.(2)将点P的坐标(2,t)代入x2-y23=1,可得t=3,当t=3时,P点坐标为(2,3),直线方程为y=3x-3,联立y=3x-3,x2-y23=1,可得x2-3x+2=0,解得x=1或x=2,所以A点坐标为(1,0),线段PA的中点坐标为32,32,当t=-3时,P点坐标为(2,-3),直线方程为y=3x-9,联立y=3x-9,x2-y23=1,可得x2-9x+14=0,解得x=2或x=7,所以A点坐标为(7,12),此时线段PA中点坐标为92,92,综上可得,线段PA的中点坐标为32,32或92,92.
