1、 空间几何体的表面积和体积高考试题考点一 根据三视图求组合体的体积或表面积1.(2013年新课标全国卷,文11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()(A)16+8 (B)8+8(C)16+16 (D)8+16解析:由三视图可知该几何体为一组合体,组合体的上面部分为从同一顶点出发的三棱长分别为4、2、2的长方体,下面部分为半圆柱,其中底面半径为2 ,母线长为4,其直观图如图所示,故几何体的体积为224+224=16+8.故选A.答案:A2.(2012年广东卷,文7)某几何体的三视图如图所示,它的体积为()(A)72(B)48(C)30(D)24解析:由三视图知,该几何体是由圆锥和半球
2、组合而成的,直观图如图所示,圆锥的底面半径为3,高为4,半球的半径为3.V=V半球+V圆锥=33+324=30.答案:C3.(2011年湖南卷,文4)如图所示,是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()(A)9+42 (B)36+18(C)+12(D)+18解析:由三视图可知,该几何体是由直径为3的球和长、宽、高分别为3、3、2的长方体组合而成,V=+332=+18.答案:D4.(2010年安徽卷,理8)一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为()(A)280(B)292(C)360(D)372解析:该几何体上部是长为6,宽为2、高为8的长方体,下部是长为8,宽为10,高为2的长方体.S
3、组合体表=268+228+62+8102+822+1022-62=96+32+12+160+32+40-12=360.答案:C5.(2013年北京卷,文10)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为.解析:将三视图还原为几何体是一个底面为正方形的四棱锥,其底面边长为3,高是1,故其体积为V=91=3.答案:36.(2012年天津卷,文10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.解析:由三视图可知,该几何体为一个长方体与四棱柱的组合体,长方体的长,宽,高分别为4,3,2,四棱柱的高为4,其上、下底面为两底长分别为1,2,高为1的直角梯形,故组合体的体积V=342+(1
4、+2)14=30(m3).答案:307.(2012年湖北卷,文15)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.解析:由三视图可知,该几何体是由两个底面直径为4,高为1的圆柱和一个底面直径为2,高为4的圆柱组合而成,V=2212+124=12.答案:12考点二 根据几何体的直观图求其表面积或体积1.(2010年北京卷,文8)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,动点E,F在棱A1B1上,点Q是棱CD的中点,动点P在棱AD上.若EF=1,DP=x,A1E=y(x,y大于零),则三棱锥PEFQ的体积()(A)与x,y都有关(B)与x,y都无关(C)与x有关,与y无关(D)与y有
5、关,与x无关解析:三棱锥PEFQ的体积可以看作是以PEF为底面,而PEF的底EF=1,高A1P=,与x有关,三棱锥PEFQ的高为点Q到平面PEF的距离.CDEF,CD平面PEF.点Q到平面PEF的距离等于点D到平面PEF的距离,与y无关,故选C.答案:C2.(2012年江苏卷,7)如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥ABB1D1D的体积为cm3.解析:连接AC交BD于O,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,四边形ABCD是正方形,ACBD,且BD=3.又BB1底面ABCD,ACBB1,又DBBB1=B,AC平面BB
6、1D1D,即AO的长是点A到平面BB1D1D的距离, =32=6,AO=, =6=6(cm3).边答案:63.(2013年湖北卷,文16)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是寸.(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸)解析:圆台的下底面半径为6寸,上底面半径为14寸,高为18寸,雨水线恰为中位线,故雨水线截面的半径是10寸,降水量为 =3(寸).答案:34.(2013年江苏卷,8)如图,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是AB
7、,AC,AA1的中点.设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1V2=.解析: = = =.答案:1245.(2012年山东卷,文13)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三棱锥ADED1的体积为.解析: =111=.答案:6.(2013年重庆卷,文19)如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,PA=2,BC=CD=2, ACB=ACD=.(1)求证:BD平面PAC;(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥PBDF的体积.(1)证明:因为BC=CD,所以BCD为等腰三角形,又ACB=ACD,故BDAC.因为
8、PA底面ABCD,所以PABD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD平面PAC.(2)解:三棱锥PBCD的底面BCD的面积SBCD=BCCDsinBCD=22sin =.由PA底面ABCD,得=SBCDPA=2=2.由PF=7FC,得三棱锥FBCD的高为PA,故=SBCDPA=2=,所以=-=2-=.7.(2013年新课标全国卷,文19)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.(1)证明:ABA1C;(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABCA1B1C1的体积.(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB
9、,所以OCAB.由于AB=AA1,BAA1=60,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB.因为OCOA1=O,所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.(2)解:由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=.又A1C=,则A1C2=OC2+O,故OA1OC.因为OCAB=O,所以OA1平面ABC,OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高.又ABC的面积SABC=,故三棱柱ABCA1B1C1的体积V=SABCOA1=3.8.(2013年新课标全国卷,文18)如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1平面A1CD;
10、(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥CA1DE的体积.(1)证明:连接AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,连接DF,则BC1DF.因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.(2)解:因为ABCA1B1C1是直三棱柱,所以AA1CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CDAB.又AA1AB=A,于是CD平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2得ACB=90,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DEA1D.所以=1. 考点三 球的表面积和体积1.(2012年新课标全国卷,文8)平面截球O的球
11、面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为,则此球的体积为()(A) (B)4(C)4(D)6解析:设截面圆的圆心为O,M为截面圆上任一点,则OO=,OM=1,OM=,即球的半径为,V=()3=4.答案:B2.(2013年新课标全国卷,文15)已知H是球O的直径AB上一点,AHHB=12,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为.解析:如图,设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AHHB=12,所以OH=R.由勾股定理,有R2=r2+OH2,又由题意得r2=,则r=1,故R2=1+,即R2=.由球的表面积公式,得S=4R2=.答案:3.(2013年新课标全国卷,文15)已知
12、正四棱锥OABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.解析:正四棱锥OABCD中,顶点O在底面的射影为底面中心E,则()2OE=,所以OE=,故球半径OA=,从而球的表面积为24.答案:244.(2009年大纲全国卷,文15)已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3,则球O的表面积等于.解析:圆M的面积为3,圆M的半径r=.设球的半径为R,则R2=R2+3,R2=3,R2=4.S球=4R2=16.答案:16考点四 球的内接几何体的表面积与体积1.(2011年辽宁卷,文10)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,A
13、B=2,ASC=BSC=45,则棱锥SABC的体积为()(A)(B)(C)(D)解析:如图所示,由题意知,在棱锥SABC中,SAC,SBC都是等腰直角三角形,其中AB=2,SC=4,SA=AC=SB=BC=2.取SC的中点D,易证SC垂直于面ABD,因此棱锥SABC的体积为两个棱锥SABD和CABD的体积和,所以棱锥SABC的体积V=SCSADB=4=.答案:C2.(2013年天津卷,文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为.解析:由对称性知正方体对角线即其外接球直径,设球半径为R,正方体棱长为a,则R3=,R=,则=3,得a=.答案:3.(2011年四川卷
14、,文15)如图所示,半径为4的球O中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是.解析:法一设球的半径与圆柱的高所成的角为,则圆柱底面半径为4sin ,高为8cos ,S圆柱侧=24sin 8cos =32sin 2.当sin 2=1时,S圆柱侧最大为32.此时S球表-S圆柱侧=442-32=32.法二设圆柱底面半径为r,则其高为2,S圆柱侧=2r2=44=2R2（“=”）.又R=4,S圆柱侧最大为32.此时S球表-S圆柱侧=442-32=32.答案:32模拟试题 考点一 根据组合体的三视图求其表面积或体积1.(2013山东淄博一模)一个直棱柱被一个平面截去一部分后,所
15、剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()(A)9 (B)10(C)11(D)解析:由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,其中AB=BC=2,AA1=3,三棱锥A1AD1E为截掉部分.=213=1,V剩余部分=223-1=11.答案:C2.(2013青岛质检)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,这个几何体的体积是()(A)(B)8(C)(D)32解析:由三视图可知,该几何体是球去掉四分之一后剩余的部分,V=23=8.答案:B3.(2012吉林一模)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是.解析:该几何体是一个长方体挖去一半球而得,直观图如图所示,(
16、半)球的半径为1,长方体的长、宽、高分别为2、2、1,该几何体的表面积为S=16+412-12=16+.答案:16+考点二 几何体的体积1.(2013安徽黄山三校联考)如图(1)所示,ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将AEF沿EF折起,使A在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).(1)求证:EFAC;(2)求三棱锥FABC的体积.(1)证明:在ABC中,EF是等腰直角ABC的中位线,EFAC,在四棱锥ABCEF中,EFAE,EFEC,又ECAE=E,EF平面AEC,又AC平面AEC,EFAC.(2)解:在直角梯形BCEF中,EC=2,BC=4
17、,SFBC=BCEC=4,AO平面BCEF,AOEC,又O为EC的中点,AEC为正三角形,边长为2,AO=,=SFBCAO=4=.2.(2013福建厦门高三上质检)如图所示,矩形ABCD中,AB=a,AD=b,过点D作DEAC于E,交直线AB于F.现将ACD沿对角线AC折起到PAC的位置,使二面角PACB的大小为60.过P作PHEF于H.(1)求证:PH平面ABC;(2)若a+b=2,求四面体PABC体积的最大值.(1)证明:DFAC,折起后ACPE,ACEF,AC平面PEF,又PH平面PEF,ACPH,又PHEF,EFAC=E,PH平面ABC.(2)解:PEAC,EFAC,PEF就是二面角P
18、ACB的平面角,PEF=60,RtPHE中,PH=PE,折起前,RtADC中,DE=,SABC=ab,折起后,PE=DE,PH=PE=,=PHSABC=ab=,a+b=2,a0,b0,=,当且仅当a=b=1时,两个等号同时成立,因此()max=.考点三 球的表面积和体积的求法1.(2013山东临沂高三上期末)四棱锥PABCD的三视图如图所示,四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上,E、F分别是棱AB、CD的中点,直线EF被球面所截得的线段长为2,则该球表面积为()(A)12(B)24(C)36(D)48解析:由三视图可知,四棱锥的直观图如图所示,补成长方体后可知其外接球的球心是PC的中点,由
19、题意可知正方形ABCD的外接圆的直径AC=2.即a=2,a=2.PA=2,PC=2,S球=4R2=4()2=12.答案:A2.(2013山东潍坊一模)已知一个圆柱内接于球O中,其底面直径和母线都是2,则球O的体积是.解析:设球的半径为R,则2R=2,R=,V=R3=.答案:考点四 球的内接几何体的表面积和体积求法1.(2012石家庄二模)已知正三棱柱内接于一个半径为2的球,则正三棱柱的侧面积取得最大值时,其底面边长为()(A)(B)(C)(D)2解析:设正三棱柱底面边长为a,高为h,如图所示.设O为外接球的球心,半径为R,在RtOAO2中,OA=R,AO2=a=a,OO2=h,由OA2=+,得
20、R2=+,4=+2=,ah4.当且仅当=,即h=时等号成立,此时正三棱柱侧面积最大,且其最大值为3ah=34=12,此时有4=+,即a=.答案:A2.(2012长春二模)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6,则以正方体ABCDA1B1C1D1的中心为顶点,以平面AB1D1截正方体外接球,所得的圆为底面的圆锥的全面积为.解析:设O为正方体外接球的球心,则O也是正方体的中心,正三角形AB1D1的边长为6,其外接圆的半径为6=2.又球的半径是正方体对角线长的一半,即圆锥的母线长为3,因此圆锥底面面积为S1=(2)2=24,圆锥的侧面积为S2=23=18.S圆锥表=S1+S2=18+24
21、=(18+24).答案:(18+24)综合检测1.(2013山东潍坊高三上期末)一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是()(A)12(B)24(C)32(D)48解析:由几何体的三视图可知,其直观图如图所示,将其补成一个正方体可发现该四棱锥外接球球心为SB的中点,球半径R=SB=2,S球=4(2)2=48.答案:D2.(2012潍坊模拟)已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD周长最小时,沿对角线AC把ACD折起,则三棱锥外接球表面积等于()(A)8(B)16(C)48(D)50解析:设矩形长为x
22、,则宽为(x0),周长P=222=8.当且仅当x=,即x=2时,周长取到最小值.此时正方形ABCD沿AC折起,取AC的中点为O,则OA=OB=OC=OD,三棱锥DABC的四个顶点都在以O为球心,以2为半径的球上,此球的表面积为422=16.答案:B3.(2012河南模拟)已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图均是由三角形和半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为.解析:由三视图可知,该几何体下面是半径为的半球,上面是一个底面为腰为1的等腰直角三角形,高为1的三棱锥,其体积V=+111=.答案:4.(2013广东中山高三上学期期末统考)如图所示,三棱柱A
23、BCA1B1C1中,AA1平面ABC,D、E分别为A1B1、AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.(1)求证:EF平面BC1D;(2)在棱AC上是否存在一个点G,使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为115,若存在,指出点G的位置;若不存在,说明理由.(1)证明:取AB的中点M,AF=AB,F为AM的中点,又E为AA1的中点,EFA1M.在三棱柱ABCA1B1C1中,D、M分别为A1B1、AB的中点,A1DBM,A1D=BM,四边形A1DBM为平行四边形,A1MBD,EFBD,BD平面BC1D,EF平面BC1D,EF平面BC1D.(2)解:设AC上存在一点G,使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为115,则=116,=.=,=,AG=ACAC.所以符合要求的点G不存在.
