1、 向量的坐标运算与数量积高考试题考点一 向量线性运算的坐标表示1.(2013年陕西卷,文2)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若ab,则实数m等于()(A)- (B)(C)-或(D)0解析:由ab,得m2-2=0,解得m=.故选C.答案:C2.(2013年辽宁卷,文3)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()(A) (B)(C) (D)解析:=(3,-4),则与同方向的单位向量为=(3,-4)=.故选A.答案:A3.(2013年湖南卷,文8)已知a,b是单位向量,ab=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为()(A)-1(B)(C)+1(D) +
2、2解析:因为a,b是单位向量,且ab=0,可令a=(1,0),b=(0,1),设向量c=(x,y),则c-a-b=(x,y)-(1,0)-(0,1)=(x-1,y-1),|c-a-b|=,又|c-a-b|=1,所以(x-1)2+(y-1)2=1,圆心A为(1,1),半径为1.如图,|c|的最大值表示原点到圆上动点的最大值,|=,|c|的最大值为+1.故选C.答案:C4.(2012年广东卷,文3)若向量=(1,2),=(3,4),则等于()(A)(4,6) (B)(-4,-6)(C)(-2,-2)(D)(2,2)解析:本小题主要考查向量加法的坐标运算,由=+=(1,2)+(3,4)=(4,6).
3、答案:A5.(2012年重庆卷,文6)设xR,向量a=(x,1),b=(1,-2),且ab,则|a+b|等于()(A)(B) (C) 2(D)10解析:由ab(x,1)(1,-2)=0x-2=0x=2.a=(2,1).a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),|a+b|=,故选B.答案:B6.(2011年广东卷,文3)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若为实数,(a+b)c,则等于()(A)(B)(C)1 (D)2解析:a+b=(1,2)+(,0)=(1+,2),c=(3,4),(a+b)c,(1+)4-23=0,得=.故选B.答案:B7.(2011年湖南卷,文13
4、)设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为.解析:b=(2,1),且a与b的方向相反,设a=b=(2,)(0).|a|=2,42+2=20,2=4,=-2.a=(-4,-2).答案:(-4,-2)考点二 向量数量积的运算及应用1.(2013年福建卷,文10)在四边形ABCD中, =(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为()(A)(B)2(C)5(D)10解析:因为=(1,2)(-4,2)=1(-4)+22=0,所以,且|=,|=2,所以S四边形ABCD=|=2=5.故选C.答案:C2.(2011年大纲全国卷,文3)设向量a,b满足|a|=|b|=1,
5、ab=-,则|a+2b|等于()(A)(B)(C)(D)解析:|a+2b|=.故选B.答案:B3.(2010年湖南卷,文6)若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)b=0,则a与b的夹角为()(A)30(B)60(C)120(D)150解析:设a与b的夹角为,则(2a+b)b=2ab+b2=2|a|b|cos +|b|2=|b|2(2cos +1)=0,又b为非零向量,2cos +1=0,cos =-,=120.故选C.答案:C4.(2010年北京卷,文4)若a,b是非零向量,且ab,|a|b|,则函数f(x)=(xa+b)(xb-a)是()(A)一次函数且是奇函数(B)一次函数但不是
6、奇函数(C)二次函数且是偶函数(D)二次函数但不是偶函数解析:ab,ab=0.f(x)=(xa+b)(xb-a)=x2ab+x|b|2-x|a|2-ab=x(|b|2-|a|2).f(x)为一次函数,且是奇函数.故选A.答案:A5.(2013年重庆卷,文14)在OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=.解析:= -=(-2,k)-(-3,1)=(1,k-1),由题意知,则=(-3,1)(1,k-1)=-3+k-1=0,解得k=4.答案:46.(2013年新课标全国卷,文13)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,则t=.解析:
7、由bc=0知,bc=ta+(1-t)bb=tab+(1-t)b2=t11cos 60+(1-t)=0.即1-t=0,t=2.答案:27.(2013年浙江卷,文17)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,yR.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于.解析:当x=0时, =0,当x0时,=.+,所以04,02.所以的最大值为2.答案:28.(2013年新课标全国卷,文14)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=.解析:=(+)(-)=-+-=22-22=2.答案:29.(2013年安徽卷,文13)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为
8、.解析:因|a|2=|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4ab整理得cos=-=-.答案:-10.(2013年天津卷,文12)在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若=1,则AB的长为.解析:如图=(+)(+)=(+)(-)=-+-=|-|2+1=1.得|=|=,则AB的长为.答案:11.(2012年浙江卷,文15)在ABC中,M是线段BC的中点,AM=3,BC=10,则=.解析:因为=+,=+=-,所以=-=9-25=-16.答案:-1612.(2012年湖南卷,文15)如图,在平行四边形ABCD中,APBD,垂足为P,且AP=3,则=.解析:设AC与BD交于O点
9、,设PAC=,则=2=2|cos =2|2=232=18.答案:1813.(2012年新课标全国卷,文15)已知向量a,b夹角为45,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=.解析:由题意得(2a-b)2=4|a|2+|b|2-4ab=4+|b|2-41|b|cos 45=10,即|b|2-2|b|-6=0,解得|b|=3.答案:3考点三 数量积运算的坐标表示1.(2013年湖北卷,文7)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为()(A)(B)(C)-(D)-解析: =(2,1), =(5,5),设,的夹角为,则在方向上的投影为|cos =.故
10、选A.答案:A2.(2013年大纲全国卷,文3)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),则等于()(A)-4(B)-3(C)-2(D)-1解析:m+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),由题意知(m+n)(m-n)=0,即-(2+3)-3=0,因此=-3.故选B.答案:B3.(2011年重庆卷,文5)已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,那么ab的值为()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:a+b=(3,2+k),a=(1,k),a+b与a共线,3k-(2+k)1=0,即k=1,ab=2+2k=2+2=4,选D.答案:D4.(2011年湖
11、北卷,文2)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()(A)-(B)(C)(D)解析:由已知2a+b=(2,4)+(1,-1)=(3,3),a-b=(0,3).设2a+b与a-b的夹角为,则cos =,0,=,故选C.答案:C5.(2010年广东卷,文5)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)c=30,则x等于()(A)6(B)5(C)4(D)3解析:8a-b=(6,3),(8a-b)c=18+3x=30,x=4,故选C.答案:C6.(2013年山东卷,文15)在平面直角坐标系xOy中,已知=(-1,t), =(2,2),若AB
12、O=90,则实数t的值为.解析:若ABO=90,即,由=-=(-3,t-2), =(-2,-2),所以=(-3,t-2)(-2,-2)=6-2t+4=0,t=5.答案:57.(2012年安徽卷,文11)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)b,则|a|=.解析:a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m),且(a+c)b,(a+c)b=(3,3m)(m+1,1)=6m+3=0,m=-.a=(1,-1),|a|=.答案:8.(2011年福建卷,文13)若向量a=(1,1),b=(-1,2),则ab等于.解析:ab=(1,1)(-1,2)=-1+2=1.答案:1
13、9.(2013年辽宁卷,文17)设向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x.(1)若|a|=|b|,求x的值;(2)设函数f(x)=ab,求f(x)的最大值.解:(1)由|a|=|b|得=,即4sin2x=1.又因为sin2x+cos2x=1,x.所以sin x=,x=.(2)f(x)=ab=sin xcos x+sin 2x,x.f(x)=sin 2x+=sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+.又2x-,f(x).即f(x)最大值为.10.(2013年江苏卷,15)已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),0.(1)若|a-b|=
14、,求证:ab;(2)设c=(0,1),若a+b=c,求,的值.(1)证明:由|a-b|=得(cos -cos )2+(sin -sin )2=2,即2-2cos cos -2sin sin =2,cos cos +sin sin =0,即ab=0,ab.(2)解:因为a+b=(cos +cos ,sin +sin )=(0,1),所以由此得,cos =cos(-),由0,得0-.又0,所以=,=.11.(2010年江苏卷,15)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(-t)
15、=0,求t的值.解:(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6), -=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.故所求的两条对角线长分别为4,2.(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-.模拟试题考点一 向量线性运算的坐标表示1.(2013重庆铁路中学高三开学考试)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为()(A)(1,-1)(B)(-1,1)(C)(-4,6)(D)(4,-6)解析:由题意知,4a+
16、3b-2a+c=0,c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).故选D.答案:D2.(2012广东佛山三模)设=(1,-2),=(a,-1), =(-b,0),a0,b0,O为坐标原点,若A、B、C三点共线,则+的最小值为.解析: = - =(a-1,1),=-=(-b-1,2).由A、B、C三点共线,得2(a-1)-(-b-1)=0,即2a+b=1,则+=(2a+b)(+)=4+8,当且仅当b=2a=时等号成立.答案:8考点二 向量数量积的应用1.(2013安徽蚌埠高三第一次质检)若+0,则ABC必定是()(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)等腰直角三
17、角形解析:+=(+)=0,即|cos A0,cos A0,A为钝角,ABC是钝角三角形.故选B.答案:B2.(2012浙江温州质检)已知在ABC中,AB=AC=4,BC=4,点P为边BC所在直线上的一个动点,则关于(+)的值,下列选项正确的是()(A)最大值为16(B)为定值8(C)最小值为4(D)与P的位置有关解析:设BC的中点为O,则AOBC且AO2=AB2-(BC)2=4,(+)=2=2|cosPAO=2|(|cosPAO)=2|2=8.故选B.答案:B3.(2013浙江嘉兴高三测试)若a、b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a+b|,则b与a-b的夹角的取值范围是.解析:设b与a-b
18、的夹角为,|a+b|=|b|,|a|=|b|,2(a2+2ab+a2)=a2,ab=a2,又|a-b|2=a2-2ab+a2=2a2-a2=(4-)a2.而cos =-=-.由1得13,-,-cos -,.答案: 考点三 数量积运算的坐标表示1.(2013浙江金丽衢十二校联考)在ABC中, =(cos 18,cos 72),=(2cos 63,2cos 27),则ABC面积为()(A)(B)(C)(D)解析:=2cos 18cos 63+2cos 72cos 27=2sin 27cos 18+2cos 27sin 18=2sin(27+18)=2sin 45=.而|=1,|=2,cos B=,
19、sin B=,SABC=|sin B=.故选B.答案:B2.(2011杭州质检)已知向量a=(1,2),b=(cos ,sin ),设m=a+tb(t为实数).(1)若=,求当|m|取最小值时实数t的值;(2)若ab,问:是否存在实数t,使得向量a-b和向量m夹角的余弦值为,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.解:(1)因为=,所以b=,ab=,则|m|=,所以当t=-时,|m|取到最小值,最小值为.(2)存在实数t满足条件,理由如下:由条件得=,又因为|a-b|=,|a+tb|=,(a-b)(a+tb)=5-t,所以=,且t5,整理得t2+6t-7=0,所以存在t=1或t=-7满足条件.综合检测1.(2013浙江建人高复月考)设点G是ABC的重心,若A=120,=-1,则|的最小值是()(A)(B)(C) (D) 解析:令|=a,| |=b,=-1,ab=2,=(+),|=(当且仅当a=b=时等号成立).故选B.答案:B2.(2012浙江奉化三模)已知A(3,),O是原点,点P(x,y)的坐标满足则的取值范围为.解析:作出可行域,可得与的夹角,cos ,所以=|cos =2cos -3,3.答案:-3,3