1、1.3两条直线的平行与垂直基础过关练题组一两条直线平行1.(多选)l1,l2为两条不同的直线,下列说法中正确的是()A.若直线l1与l2的斜率相等,则l1l2B.若直线l1l2,则两直线的斜率相等C.若直线l1,l2的斜率均不存在,则l1l2D.若两直线的斜率都存在且不相等,则两直线不平行2.(2021安徽合肥六中高三上月考)已知A(-1,2),B(2,0),C(x,3),且A,B,C三点共线,则x=.3.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是.4.根据下列条件,判断直线l1与直线l2是否平行.(1)l1经过点A(-1,1),B
2、(2,3),l2经过点C(1,0),D(-2,-2);(2)l1的斜率为2,l2经过点A(1,1),B(2,2);(3)l1的倾斜角为60,l2经过点M(1,3),N(-2,-23);(4)l1经过点E(-3,2),F(-3,10),l2经过点P(5,-2),Q(5,5).5.(2020江苏无锡锡山高级中学高二月考)求与直线3x+4y+9=0平行,并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程.题组二两条直线垂直6.(2020湖北武汉外国语学校高二期中)已知直线l1:x+y+2=0与l2:x-y-1=0,则这两条直线的位置关系是()A.重合B.平行C.垂直D.不能确定7.(2020
3、江苏无锡羊尖高级中学期中)过点(3,2)且与直线x-4y-5=0垂直的直线方程是()A.4x+y-5=0B.x-4y+5=0C.4x-y-10=0D.4x+y-14=08.(2020江苏泰兴第一高级中学高二月考)下列说法中正确的有()平行的两条直线的斜率一定存在且相等;平行的两条直线的倾斜角一定相等;垂直的两直线的斜率之积为-1;只有斜率相等的两条直线才平行.A.0个B.1个C.2个D.3个9.(2020江苏南京秦淮中学高二期中)直线y=x+1上一点P的横坐标是3,把已知直线绕点P按逆时针方向旋转90后所得的直线方程是.10.已知直线l1,l2的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0(A1,
4、B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),且A1A2+B1B2=0,求证:l1l2.题组三两条直线平行和垂直的应用11.(2020山东德州第一中学月考)已知ABC的三个顶点坐标分别为A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则该三角形为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法判断12.(2020山东临沂第一中学期中)如图,在平行四边形OABC中,A(3,0),C(1,3).(1)求AB所在直线的方程;(2)过点C作CDAB于点D,求CD所在直线的方程.能力提升练 题组一两条直线平行1.(2020江苏扬州仪征第二中学月考,)设aR,则“a=2”是“直线
5、l1:x+2ay-1=0与直线l2:ax+4y+2=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.(多选)(2020广东肇庆实验中学高二期中,)直线l1:(a2-1)x+ay-1=0,l2:(a-1)x+(a2+a)y+2=0,l1l2,则a的值可能是()A.-1B.0C.1D.-23.(2020河北保定高二期末,)已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C,D两点.(1)证明:点C,D和原点O在同一条直线上;(2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标.题组二两条直线垂
6、直4.(2020江苏扬州宝应中学高二期中,)设向量a=(a,1),b=(1,b)(ab0),若ab,则直线b2x+y=0与直线x-a2y=0的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合5.(2020四川资阳高一期末,)已知直线l1:ax+y-2=0,l2:(a+3)x-2by+1=0(a0,b0)互相垂直,则ab的取值范围为()A.0,13B.0,23C.13,1D.(3,+)6.()在平面直角坐标系中,有一矩形OABC,其中O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使O点落在线段BC上,设折痕所在直线的斜率为k,则k的取值范围为.7.()如图,在平面直角坐标系xOy中
7、,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)为线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BEAC,求证:CFAB.题组三两条直线平行和垂直的应用8.(2020山东东营第一中学高二月考,)若a,b为正实数,直线2x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0垂直,则1a+1b的最小值为()A.23B.98+22C.29D.13(3+22)9.(2020广东潮州高一期中,)已知倾斜角为的直线l与直线x-2y-3=0垂直,则cos2 0232-的值为.10.()如图所示,一个矩形花园里需
8、要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长AD=5 m,宽AB=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问如何在BC上找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM垂直?11.(2021山东枣庄八中高二上月考,)平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(4,3),点C的坐标为(1,-3),且AM=tAB(tR).(1)若CMAB,求t的值;(2)当0t1时,求直线CM的斜率k的取值范围.答案全解全析基础过关练1.ACD易知ACD正确;在B中,若直线l1l2,则两直线的斜率相等或斜率均不存在,因此B错误.2.答案-52解析因为A(-1,2),B(2,0),C(x,3),且A,B
9、,C三点共线,所以kAB=0-22-(-1)=-23=kBC=3-0x-2,解得x=-52.3.答案-13解析由题意得kPQ=kMN,所以2-2m-m-3=4-(-1)-3-2,解得m=-13.检验:直线MN为y=-x+1,当m=-13时,Q13,2不在直线上,所以m=-13时,两直线平行.4.解析(1)kl1=3-12-(-1)=23,kl2=-2-0-2-1=23,kl1=kl2,易验证l1与l2不重合,l1l2.(2)kl2=2-12-1=1kl1=2,l1不平行于l2.(3)kl1=tan 60=3,kl2=3+231+2=3,kl1=kl2,l1l2或l1,l2重合.(4)l1,l2
10、斜率均不存在且不重合,l1l2.5.解析解法一:直线3x+4y+9=0,即y=-34x-94的斜率为-34,设所求直线方程为y=-34x+bb-94.令x=0,得y=b;令y=0,得x=4b3.由题意知,b0且4b30,b0,12b4b3=24,解得b=6(b=-6舍去),所求直线方程为y=-34x+6,即3x+4y-24=0.解法二:设所求直线方程为3x+4y+m=0(m9).令x=0,得y=-m4;令y=0,得x=-m3.由题意得-m40,-m30,解得m1,x21,A(x1,log8x1),B(x2,log8x2),C(x1,log2x1),D(x2,log2x2),且log8x1x1=
11、log8x2x2,又kOC=log2x1x1=3log8x1x1,kOD=log2x2x2=3log8x2x2,所以kOC=kOD,即点C,D和原点O在同一条直线上.(2)由(1)知B(x2,log8x2),C(x1,log2x1).由直线BC平行于x轴,得log2x1=log8x2,所以x2=x13,将其代入log8x1x1=log8x2x2,得x13log8x1=3x1log8x1,由x11,知log8x10,故x13=3x1,所以x1=3,于是A(3,log83).4.B向量a=(a,1),b=(1,b)(ab0),若ab,则ab=a+b=0,即b=-a,直线b2x+y=0可化为y=-a
12、2x,直线x-a2y=0可化为y=1a2x,两直线斜率之积为-a21a2=-1,所以两直线垂直.故选B.5.B直线l1:ax+y-2=0,l2:(a+3)x-2by+1=0(a0,b0)互相垂直,a(a+3)-2b=0,ab=2a+3,a0,b0,2a+30,23,ab的取值范围为0,23.故选B.6.答案-2,0解析O点折叠后落在线段BC上,设为D点,O点与D点关于折痕对称,OD所在直线与折痕所在直线垂直,易得B(2,1),则kOB=12.当D点落在线段BC(不含C点)上时,OD所在直线的斜率的取值范围是12,+,k的取值范围为-2,0).当D点与C点重合时,直线OC的斜率不存在,折痕所在直
13、线的斜率为0,k的取值范围为-2,0.7.证明由点B(b,0)和点P(0,p)知直线BP的斜率为-pb,由点A(0,a)和C(c,0)知直线AC的斜率为-ac,因为BEAC,所以-pb-ac=-1,即pa=-bc.由点C(c,0)和P(0,p)知直线CP的斜率为-pc,由点A(0,a)和B(b,0)知直线AB的斜率为-ab,所以直线CP和直线AB的斜率之积为-pc-ab=pabc=-bcbc=-1,所以CPAB,即CFAB.8.D因为a,b为正实数,直线2x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0垂直,所以2b+(2a-3)2=0,即2a+b=3,所以1a+1b=13(2a+b)1a+
14、1b=133+ba+2ab133+2ba2ab=13(3+22),当且仅当ba=2ab,即b=2a时,等号成立,所以1a+1b的最小值为13(3+22).故选D.9.答案-255解析倾斜角为的直线l与直线x-2y-3=0垂直,tan 12=-1,tan =-2,0,2.sincos=tan =-2,cos =-12sin ,代入sin 2+cos 2=1,解得sin =255(负值舍去).cos2 0232-=cos1 011+2-=-cos2-=-sin =-255.10.解析如图所示,以点B为坐标原点,BC、BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.由AD=5 m,AB=3 m,可得
15、C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点M的坐标为(x,0),因为ACDM,所以kACkDM=-1,即0-35-00-3x-5=-1,解得x=3.2,即BM=3.2 m时,两条小路所在直线AC与DM垂直.解题模板利用解析法解决几何问题时,首先建立平面直角坐标系,求出点的坐标,再利用题设中的条件,列出方程(组)解决问题.11.解析(1)由题意可得AB=(4+2,3-0)=(6,3),AM=tAB=(6t,3t),AC=(1+2,-3-0)=(3,-3),CM=AM-AC=(6t-3,3t+3),CMAB,CMAB=6(6t-3)+3(3t+3)=45t-9=0,解得t=15.(2)由0t1,AM=tAB,可得点M在线段AB上(含端点),由题中A、B、C三点坐标,可得经过A、C两点的直线的斜率k1=-1,经过C、B两点的直线的斜率k2=2,则由图可知,直线CM的斜率k的取值范围为k-1或k2.
