1、 数列的综合应用高考试题考点一 等差数列与等比数列的综合应用1.(2011年江苏卷,13)设1=a1a2a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是.解析:设a2=m,则1mqm+1q2m+2q3,m1,qmaxm, .答案:2.(2013年重庆卷,文16)设数列an满足:a1=1,an+1=3an,nN+.(1)求an的通项公式及前n项和Sn;(2)已知bn是等差数列,Tn为其前n项和,且b1=a2,b3=a1+a2+a3,求T20.解:(1)由题设知an是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1,Sn=(3n-1).(2
2、)b1=a2=3,b3=a1+a2+a3=1+3+9=13,b3-b1=10=2d,所以数列bn的公差d=5,故T20=203+5=1010.3.(2013年福建卷,文17)已知等差数列an的公差d=1,前n项和为Sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;(2)若S5a1a9,求a1的取值范围.解:(1)因为数列an的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以=1(a1+2),即-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2.(2)因为数列an的公差d=1,且S5a1a9,所以5a1+10+8a1,即+3a1-100,解得-5a10.证明:d1,d2,dn-1是等比数列;(3)设d1,d2,
3、dn-1是公差大于0的等差数列,且d10,证明:a1,a2,an-1是等差数列.(1)解:d1=2,d2=3,d3=6.(2)证明:因为a10,公比q1,所以a1,a2,an是递增数列.因此,对i=1,2,n-1,Ai=ai,Bi=ai+1.于是对i=1,2,n-1,di=Ai-Bi=ai-ai+1=a1(1-q)qi-1.因此di0且=q(i=1,2,n-2),即d1,d2,dn-1是等比数列.(3)证明:设d为d1,d2,dn-1的公差.对1in-2,因为BiBi+1,d0,所以Ai+1=Bi+1+di+1Bi+di+dBi+di=Ai.又因为Ai+1=maxAi,ai+1,所以ai+1=
4、Ai+1Aiai.从而a1,a2,an-1是递增数列.因此Ai=ai(i=1,2,n-1).又因为B1=A1-d1=a1-d1a1,所以B1a1a2an-1.因此an=B1.所以B1=B2=Bn-1=an.所以ai=Ai=Bi+di=an+di.因此对i=1,2,n-2都有ai+1-ai=di+1-di=d,即a1,a2,an-1是等差数列.5.(2013年浙江卷,文19)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解:(1)由题意得a15a3=(2a2+2)2,由a1=10,an为
5、公差为d的等差数列得,d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4.所以an=-n+11(nN*)或an=4n+6(nN*).(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0时,Tn;当a.考点二 数列与函数的综合应用1.(2012年湖北卷,文7)定义在(-,0)(0,+)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列an,f(an)仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-,0)(0,+)上的如下函数:f(x)=x2;f(x)=2x;f(x)=;f(x)=ln |x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()(A)(B)(C)(D)解析:设数列an的公比为q,对于,=q2,是
6、常数,故符合条件;对于, =,不是常数,故不符合条件;对于,= =,是常数,故符合条件;对于, =,不是常数,故不符合条件,由“保等比数列函数”的定义知应选C.答案:C2.(2012年上海卷,文14)已知f(x)= ,各项均为正数的数列an满足a1=1,an+2=f(an).若a2010=a2012,则a20+a11的值是.解析:由an+2=f(an)=,(*)及a1=1,所以有a3=,a5=,a7=,a9=,a11=;又a2012=a2010,得+a2010-1=0,令a2010=t,则t2+t-1=0.由题设t0,所以t=,变形(*)为an=-1,则a2008=-1=t,故a2n=t=,所
7、以a20+a11=+=.答案:3.(2013年湖北卷,文21)设a0,b0,已知函数f(x)=.(1)当ab时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当x0时,称f(x)为a、b关于x的加权平均数.判断f(1),f,f是否成等比数列,并证明ff;a、b的几何平均数记为G,称为a、b的调和平均数,记为H,若Hf(x)G,求x的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(-,-1)(-1,+),f(x)=.当ab时,f(x)0,函数f(x)在(-,-1),(-1,+)上单调递增;当ab时,f(x)0,f=0,f=0.故f(1)f=ab=2,即f(1)f= 2.所以f(1),f,f成等比数列.因为,即f(1)
8、f.由得ff.由知f=H,f=G.故由Hf(x)G,得ff(x)f当a=b时,f=f(x)=f=a.这时,x的取值范围为(0,+);当ab时,01,从而,由f(x)在(0,+)上单调递增与式,得x,即x的取值范围为,;当a1,从而,由f(x)在(0,+)上单调递减与式,得x,即x的取值范围为,.4.(2012年安徽卷,文21)设函数f(x)=+sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为xn.(1)求数列xn的通项公式;(2)设xn的前n项和为Sn,求sin Sn.解:(1)f(x)= +sin xf(x)=+cos x=0x=2k (kZ).f(x)02k-x2k+(kZ),f(x)02
9、k+x0且b1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记bn= (nN*),求数列bn的前n项和Tn.解:(1)因为对任意的nN*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1,b,r均为常数)的图象上,所以得Sn=bn+r,当n=1时,a1=S1=b+r;当n2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)=bn-bn-1=(b-1)bn-1,由于b0且b1,所以n2时,an是以b为公比的等比数列,又a1=b+r,a2=b(b-1),=b,即=b,解得r=-1.(2)当b=2时,an=(b-1)bn-1=2n-1,bn=.则Tn=+,Tn=+,相减,得Tn=+-
10、=+-=-.所以Tn=-=-.考点三 数列与不等式的综合应用1.(2012年北京卷,文6)已知an为等比数列,下面结论中正确的是()(A)a1+a32a2(B)+2(C)若a1=a3,则a1=a2(D)若a3a1,则a4a2解析:当a10,q0时,可知a10,a30,所以选项A错误;当q=-1时,选项C错误;当qa1a3qa1qa4a1a2an的最大正整数n的值为.解析:设an公比为q(q0),由a5=,a6+a7=3得,a5q+a5q2=3,q2+q-6=0,解得q=2.所以an=2n-6,前n项和Sn=2n-5-2-5.a1a2an=,由a1+a2+ana1a2an可得2n-5-2-5,所
11、以2n-5+2-5所以n-5,所以n2-13n+10a1a2an,n=13时,28-2-50,上式不成立;当n为奇数时,(-2)n=-2n-2012,即2n2012,即n11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为n|n=2k+1,kN,k5.4.(2013年广东卷,文19)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足4Sn=-4n-1,nN*,且a2,a5,a14构成等比数列.(1)证明:a2=;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有+0,令n=1,有4S1=-4-1,即4a1=-4-1,a2=.(2)解:当n2时,4Sn=-4n-1,4Sn-1=-4(n
12、-1)-1,两式相减得4an=-4,有=(an+2)2,即an+1=an+2,an从第2项起,是公差为2的等差数列,a5=a2+32=a2+6,a14=a2+122=a2+24,又a2,a5,a14构成等比数列,有=a2a14,则(a2+6)2=a2(a2+24),解得a2=3,由(1)知a2=,得a1=1,又an+1=an+2(n2).an是首项为1,公差为2的等差数列,即an=1+(n-1)2=2n-1.(3)证明:由(2)得,+=+=-0,且a1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.(1)求数列an的通项公式;(2)设a10,=100.当n为何值时,数列的前n项和最大?解:(1)取n=1
13、,得=2S1=2a1,a1(a1-2)=0.若a1=0,则Sn=0.当n2时,an=Sn-Sn-1=0-0=0,所以an=0(n1).若a10,则a1=.当n2时,2an=+Sn,2an-1=+Sn-1,两式相减得2an-2an-1=an,所以an=2an-1(n2),从而数列an是等比数列,所以an=a12n-1=2n-1=.综上,当a1=0时,an=0;当a10时,an=.(2)当a10且=100时,令bn=lg,由(1)有,bn=lg=2-nlg 2.所以数列bn是单调递减的等差数列(公差为-lg 2).b1b2b6=lg=lglg 1=0,当n7时,bnb7=lg=lglg 1=0,故
14、数列的前6项的和最大.6.(2009年安徽卷,文19)已知数列an的前n项和Sn=2n2+2n,数列bn的前n项和Tn=2-bn.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)设cn=bn,证明:当且仅当n3时,cn+10(nZ*).=.令 1,即0,解得n+1,或n1-(舍去).又nN*,当且仅当n3时,有1,即cn+1cn.模拟试题考点一 等差数列与等比数列的综合1.(2012九江一模)已知-9,a1,a2,a3,-1五个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则等于()(A)(B)(C)-(D)解析:由已知得等差数列的公差d=2,a1-a3=-2d=-4,又=(-1)(
15、-9)=9,所以b2=3(舍正值),则=.答案:D2.(2012济宁质检)已知各项均不为零的数列an,定义向量cn=(an,an+1),dn=(n,n+1),nN*.下列命题为真命题的是()(A)nN*总有cndn成立,则数列an是等差数列(B)nN*总有cndn成立,则数列an是等比数列(C)nN*总有cndn成立,则数列an是等差数列(D)nN*总有cndn成立,则数列an是等比数列解析:若nN*,cndn成立,则存在唯一实数使cn=dn,即(an,an+1)=(n,n+1),an=n,an+1=(n+1),an+1-an=(n+1)-n=,故an为等差数列.答案:C考点二 数列与函数的综
16、合1.(2012湖北孝感模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减.若数列an是等差数列,且a30,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)的值()(A)恒为正数(B)恒为负数(C)恒为0 (D)可正可负解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,函数f(x)单调递减,所以当x0时,函数f(x)亦单调递减,且f(0)=0,故函数f(x)在R上单调递减,且x0时,f(x)0;x0.a30.若等差数列an的公差d0,f(a1)=f(a3-2d)|f(a3+2d)|=|f(a5)|,f(a1)+f(a5)0;同理f(a2)+f(a4)0,故
17、f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)0.若等差数列an的公差d=0,则有f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)=5f(a3)0.若等差数列an的公差d|f(a3-2d)|=|f(a1)|,f(a5)+f(a1)0;同理f(a2)+f(a4)0,故f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)0.故选A.答案:A2.(2012中山检测)已知函数f(x)=设an=f(n),nN*,若an是递增数列,则实数a的取值范围是.解析:由已知得an=要使an为递增数列,an-6递增,a1,(3-a)n-4递增,3-a0,即aa6,即a(3-a)6-4,解
18、得a2,综上2a0)满足在点(x0,f(x0)处的切线与x轴平行,若将所有满足条件的切点的横坐标由小到大依次排列构成数列xn(nN*),则数列xn的前4项和为.解析:f(x)=1-2sin x,由已知得f(x0)=0,则1-2sin x0=0,解得x0=2k+或x0=2k+(kZ),x0,取k=0,1,得x0=,2+,2+,故前四项之和为+2+2+=6.答案:64.(2012西安五校二模)已知函数f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7.(1)设函数y=f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列an,求证an为等差数列;(2)设函数 y=f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列bn,求bn的前
19、n项和Sn.(1)证明:f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7=x-(n+1)2+3n-8,an=3n-8,an+1-an=3(n+1)-8-(3n-8)=3,数列an为等差数列.(2)解:由题意知bn=|an|=|3n-8|,当1n2时,bn=8-3n,Sn=b1+bn=,当n3时,bn=3n-8,Sn=b1+b2+b3+bn=5+2+1+(3n-8)=7+=.Sn=考点三 数列与不等式的综合(2012宝鸡中学月考)已知正项等比数列an满足a2013=a2012+2a2011,且=4a1,则6（+）的最小值为()(A)(B)2(C)4 (D)6解析:记数列an的公比为q,an0,由题
20、意知a2011q2=a2011q+2a2011,化简得q2-q-2=0,所以q=-1(舍去)或q=2,又由已知条件=4a1,可得qm+n-2=16,所以2m+n-2=24,故m+n=6,所以6（+）=(m+n) （+）=2+4,当且仅当=,等号成立,因为m,nN*,所以m=n=3时取“=”.故选C.答案:C综合检测1.(2012张家口质检)已知等差数列an的前n项和为Sn,若=a2+a2012,且A,B,C三点共线(O为该直线外一点),则S2013等于()(A)2013(B)(C)22013(D)2-2013解析:A,B,C三点共线,存在使=+=+=+(-)=(1-) +,a2+a2012=1
21、,则S2013=.答案:B2.(2012鞍山高三质量检测)函数f(x)满足:当x1x2时,f(x1)f(x2),且对任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),若数列an满足f(an+1)-f(an)=f(3),nN*,a3=27,则a1的值为()(A)1(B)3(C)6(D)9解析:f(xy)=f(x)+f(y),f(xy)-f(x)=f,即对任意的正数x,y,有f(x)-f(y)=f,由f(an+1)-f(an)=f(3)得f=f(3),=3,a3=27,a2=9,a1=3.故选B.答案:B3.(2012银川一中检测)已知数列an是首项为2,公差为1的等差数列,bn是首项为1,公比为2的等比数列,则数列的前10项和等于.解析:由已知得an=2+(n-1)1=n+1,bn=2n-1,=2n-1+1.+=(20+1)+(2+1)+(22+1)+(29+1)=(20+2+22+29)+10=+10=1033.答案:10334.(2013四川成都联考)设函数f(x)=xm+ax的导数为f(x)=2x+1,则数列 (nN*)的前n项和Sn=.解析:f(x)=mxm-1+a=2x+1,m=2,a=1,f(x)=x2+x,=-,Sn=+=1-+-+-=1-=.答案: