1、第三章 三角恒等变形 章末综合提升 巩 固 层 知 识 整 合 提 升 层 题 型 探 究 三角函数的求值问题【例 1】已知 tan 4 12，且2，求sin 22cos2sin4的值解 sin 22cos2sin42cos（sin cos）22（sin cos）2 2cos.tan 4 1tan 1tan 12，tan 3，2，cos 1010，sin 22cos2sin42 2cos 2 2 1010 2 55.三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需
2、要运用诱导公式(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角当然在这个过程中要注意角的范围(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围1已知 04，00，即|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cosx12cos x12232，且 x3，4，12cos x1.当 cos x12时，f(x)取得最小值32；当 cos x1 时，f(x)取得最大值为1.三角函数与平面向量相结合是近几年来高考
3、的亮点，它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值4已知向量 m(cos，sin)和 n(2sin，cos)，(，2)，且|mn|8 25，求 cos 28 的值解 mn(cos sin 2，cos sin)，|mn|（cos sin 2）2（cos sin）2 42 2（cos sin）44cos 4 2 1cos 4.由已知|mn|8 25，得 cos 4 725.又 cos 4 2cos228 1，所以 cos228 1625.2，
4、58 2898.cos28 0.cos 28 45.探究问题1三角恒等变换的基本方向是什么？三角恒等变换的综合应用提示 基本方向是变角、变函数、变结构2三角恒等变换的基本技巧是什么？提示 基本技巧是弦切互化，异名化同名，异角化同角(角分析法)；升幂或降幂，分式通分，无理化有理，常数的处理(如 1 的代换)；变量集中(引进辅助角).如 a cos b sin a2b2sin()(为辅助角).3三角恒等变换的基本目标是什么？提示 基本目标是复角化单角，异名化同名，转换运算形式试着相约或相消，达到项数尽量少，种类(名称)尽量少，次数尽量低，分母中尽量不含三角函数；尽可能不带根号，能求出值的求出值来，
5、绝对值要讨论【例 5】已知向量 a(2sin x，cos x)，b(3cos x，2cos x)，定义函数 f(x)ab1.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)的单调递减区间；(3)画出函数 g(x)f(x)，x712，512 的图像，由图像写出 g(x)的对称轴和对称中心思路探究 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、三角公式及三角函数图像和性质，化简函数式为 f(x)A sin(x)B 的形式，然后求解解 f(x)2 3sin x cos x2cos2x1 3sin2xcos 2x2sin 2x6.(1)T22.(2)2k22x62k32 k6xk23(kZ)，函数
6、f(x)的单调递减区间为k6，k23(kZ).(3)函数 g(x)f(x)，x712，512 的图像如图所示：从图像上可以直观看出，此函数没有对称轴，有一个对称中心，对称中心为 12，0.1将例 5 的条件变为“已知 f(x)sin 2x6 sin 2x6 2cos2x”，试求 f(x)2 的 x 的取值范围解 f(x)sin2x6 sin 2x6 2cos2xsin2x cos 6cos 2x sin 6sin 2x cos 6cos 2xsin 6cos 2x1 3sin 2xcos 2x12sin 2x6 1，f(x)2，2sin 2x6 12，sin 2x6 12，2k62x62k56
7、(kZ)，kxk3(kZ)，f(x)2 的 x 的取值范围是xkxk3，kZ.2将例 5 中的条件变为“f(x)sin4x2 3sinx cos xcos4x”，试求该函数在0，上的单调增区间解 f(x)sin4x2 3sinx cos xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2 3sinx cos xsin2xcos2x2 3sinx cos xcos 2x 3sin 2x212cos 2x 32 sin 2x2sin 2x6.f(x)的单调增区间为2k22x62k2，即 k6xk3，kZ.函数 f(x)在0，上的单调增区间为0，3，56，.三角式的恒等变形是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变形，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式转化与化归思想是三角恒等变形应用最广泛，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变形的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用点击右图进入 专 题 强 化 训 练 Thank you for watching!