1、天津市第八中学2021届高三数学上学期第三次统练试题（含解析）一选择题(本大题共10小题，共50.0分)1. 在中，若，则的形状为（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由已知条件，结合正弦定理得，有或，即可知正确选项.【详解】由知：，即，即或，或，故选：D2. 在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，则ABC的面积为（ ）A. 1B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理可得、的值，再由三角形面积公式即可得解.【详解】由余弦定理可得，所以，所以，所以的面积为.故选：D.【点睛】本题考查了余弦定理及三角形
2、面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】用正弦的二倍角公式变形化化为关于二次齐次式，然后化为再代入求值【详解】，故选：B【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的求值，对于的齐次式一般可转化为关于的式子，然后计算如一次齐次式：，二次齐次式：，另外二次式也可化为二次齐次式：4. 函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可.【详解】解：函数的最小正周期
3、是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由，得，当时，.故选D.【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.5. 函数的零点所在区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数解析式判断其定义域及其连续性，应用特殊值法，的值即可知零点所在区间.【详解】由解析式知：函数定义域为，且在定义域内连续，而，零点所在区间为，故选：D6. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式，函数为奇函数且存在零点，即可知大致图象.【详解】由知：函数为奇函数，排除A、B；令，得，即函数存在零点，排除C；故选：D【点睛】关键点点睛
4、：由函数解析式判断其奇偶性，令确定是否存在零点，便可确定函数的大致图象.7. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ）A. 最大值为B. 最小值为C. 函数在区间上单调递增D. 是它的极大值点【答案】C【解析】分析】利用导数分析函数在区间上的单调性，求得该函数的极值与最值，由此可判断各选项的正误.【详解】，则.令，可得或；令，可得.当时，函数在区间,上均为增函数，在区间上为减函数，C选项错误；所以是函数的极大值点，D选项正确；因为，所以，函数在区间上的最大值为，最小值为，A、B选项正确.故选：C.【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性，以及利用导数求解函数的极值点与最值，考查分析问题和解决问题的能
5、力，属于中等题.8. 曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：,.由导数的几何意义可得所求切线的斜率,所以所求切线方程为,即.故D正确.考点：导数的几何意义.9. 已知f（x）cosx，为f（x）的导函数，则的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出导函数，利用导函数的解析式，判断函数的奇偶性，再应用特殊点的函数值来判断函数的图象【详解】解：，是奇函数，排除B，D当x时，0，排除C故选：A【点睛】本题考查了函数求导，考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合运用，属于中档题.10. 若函数在区间上单调递
6、增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递减，的取值范围是故选D考点：利用导数研究函数的单调性.二填空题(本大题共6小题，共30.0分)11. 曲线在点（0,1）处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程【详解】解：求导函数可得，y（1+x）ex当x0时，y1曲线在点（0，1）处的切线方程为y1x，即故答案为【点睛】本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，是基础题12. 在中，则_【答案】【解析】【分析】运用三角形的余弦定理，代入
7、计算可得所求值【详解】解：在中，由余弦定理可得，解得，故答案为：【点评】本题考查三角形的余弦定理的运用，以及方程思想和运算能力，属于基础题.13. 已知，则_.【答案】0【解析】【分析】将已知等式两边平方，得到2sincos的值，将 sin+cos平方整理可得结果.【详解】将两边平方得：（sin-cos）22，即1-2sincos2，2sincos-1，（sin+cos）21+2sincos0，即sin+cos0，故答案为0【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，属于基础题14. 若点在直线上，则的值等于_ .【答案】【解析】【分析】根据题意可得，再由，即可得到结论.【详解】由题意，得，又
8、，解得，当时，则，此时；当时，则，此时，综上，.故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题.15. 若，则等于_.【答案】【解析】【分析】已知角的范围及对应函数值求，根据，应用两角差余弦公式即可求.【详解】由，知：，又，而，故答案为：16. 已知函数的部分图象如图所示：则函数的解析式为_【答案】【解析】分析】由函数图象的最值和周期可得A和，然后将点代入解析式，利用的范围即可得到值，从而得到函数解析式【详解】由图象得到的最大值为，周期为16，且过点所以，又，所以，将点代入，得到，所以故答案为【点睛】本题考查由的部分图象确定其解析式，注意函数周期的求法，考查
9、计算能力，属于常考题型三解答题(本大题共6小题，共70.0分)17. 在中，分别是三个内角的对边，若，且.（1）求及的值；（2）求的值.【答案】（1），;（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，再利用二倍角的正弦公式可得，从而根据余弦定理可得；（2）利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式求得的值，再由两角和的余弦公式可得结果.【详解】（1）在中，由正弦定理，得，即，解得，在中，由余弦定理，得，解得或，（2），.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论
10、钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.18. 已知函数（为自然对数的底数，），曲线在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最大值.【答案】（1）,（2）【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，解出方程即可；（2）对函数求导，研究函数的单调性，进而得到函数的最值解析：（1）在处的切线方程为，过点，.又，即（2）由（1）知，由得或，又由得或，由得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，极大值.又，.19. 函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若，且，求.【答案】（1）（2）【解
11、析】【分析】（1）根据五点作图法和图象，求正弦型函数的解析式.（2）利用两角和与差公式求解.【详解】解：（1）由图像可知,则，代入点，得，得，由，得 ，故.（2）由题意知,得，由，则，则， .【点睛】本题考查了由函数的图象求正弦型函数的解析式，利用两角和差公式求值及角变换技巧.20. 已知函数,.（）求函数的最大正周期与单调增区间值;（）求函数在区间上的最大值与最小值.【答案】（）最小正周期是:,；（）最小值为0，最大值为1.【解析】试题分析：（）利用降幂公式及两角和的正弦公式可将函数化为 ，故而可得周期，解不等式可得单调增区间；（）根据的范围，计算出的范围，结合正弦函数的性质可得其最值.试题
12、解析：（） 的最小正周期是:,令得,所以单调增区间为;（）因为,所以,所以,即,所以,当且仅当时,取最小值,当且仅当时,即时取最大值,.21. 已知函数，其中，（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（2）如果对于任意，都有，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，求函数的导数，根据导数的几何意义即可求函数的图象在点处的切线方程；（2）对于任意，都有，等价于恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值即可【详解】(1)解：当时，由己知得，故，所以，又因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即； （2）解：由，得，又，故设函数，则因为，所以，所以当时，故函数在上单调递增所以当时
13、，因为对于任意，都有成立，所以对于任意，都有成立所以【点睛】此题考查导数的应用，考查导数的几何意义以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解此题的关键，属于中档题22. 已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若在区间上恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）切线方程为. （2）当时，的单调增区间是和，单调减区间是； 当时，的单调增区间是； 当时，单调增区间是和，单调减区间是. （3）.【解析】试题分析：（1）求出a=1时的导数即此时切线的斜率，然后由点斜式求出切线方程即可；（2）对于含参数的单调性问题的关键时如何分类讨论，常以导数等于零时的根与区
14、间端点的位置关系作为分类的标准，然后分别求每一种情况时的单调性；（3）恒成立问题常转化为最值计算问题，结合本题实际并由第二问可知，函数在区间1，e上只可能有极小值点，所以只需令区间端点对应的函数值小于等于零求解即可试题解析：（1）a1，f（x）x24x2lnx，f （x）（x0），f（1）3，f （1）0，所以切线方程为y3（2）f （x）（x0），令f （x）0得x1a，x21，当0a0，在x（a，1）时，f （x）1时，在x（0，1）或x（a，）时，f （x）0，在x（1，a）时，f （x）0，f（x）的单调增区间为（0，1）和（a，），单调递减区间为（1，a）（3）由（2）可知，f（x）在区间1，e上只可能有极小值点，f（x）在区间1，e上的最大值必在区间端点取到，f（1）12（a1）0且f（e）e22（a1）e2a0，解得a考点：导数法求切线方程；求含参数的函数的单调性问题；恒成立问题求参数范围【方法点睛】恒成立问题求参数范围常常将参数移到一边转化为函数最值问题即恒成立，即等价于该解法的优点是不用讨论，但是当参数不易移到一边，或移到一边后另一边的函数值域不易求时，就不要移，而是将不等式的一边化为零即，由于此时函数含有参数，所以应讨论并求最值，从而求解