1、本章复习提升易混易错练易错点1忽视角的范围致错 1.(2021黑龙江哈尔滨六中高一上月考,)设角的始边为x轴非负半轴,则“角的终边在第二、三象限”是“cos 0”的(易错)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.()已知sin =1-a1+a,cos =3a-11+a,若为第二象限角,则下列结论正确的是(易错)A.a19,1B.a=1C.a=1或a=19D.a=19易错点2忽视三角函数的定义域致错3.()函数f(x)=cosx+3,x0,3的值域是.4.()求函数y=log12sinx+4的单调递增区间.易错易错点3利用三角函数的基本关系时忽视隐含条件致错5
2、.()若sin =k+1k-3,cos =k-1k-3,且的终边不落在坐标轴上,则tan 的值为.6.(2021四川成都树德中学高一上段测,)已知-x|cos x|成立的x的取值范围是()A.4,34B.4,254,32C.4,2D.54,742.()已知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的图象与直线y=a(0a0,0,|2在一个周期内的大致图象如图所示,则函数的解析式为,方程f(x)-lg x=0的实数根的个数为.二、分类讨论思想在三角函数中的应用4.()已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=3x上,则tan =()A.3B.-3C.3D.135.()证明
3、:2sin(+n)cos(-n)sin(+n)+sin(-n)=(-1)ncos ,nZ.三、函数与方程思想在三角函数中的应用6.()函数f(x)=3cos xsin2x6x3的最大值是.7.(2021吉林长春外国语学校高一下期初,)已知tan 是关于x的方程2x2-x-1=0的一个实根,且是第三象限角.(1)求sin-cossin+cos的值;(2)求2sin -cos 的值.四、转化与化归思想在三角函数中的应用8.(2021江苏溧阳中学高一月考,)比较下列各组数的大小.(1)tan 1,tan 2,tan 3;(2)tan-134与tan-175.答案全解全析本章复习提升易混易错练1.A已
4、知角的始边为x轴非负半轴,若角的终边在第二、三象限,则cos 0,充分性成立;若cos 0,则角的终边在第二、三象限或x轴负半轴上,必要性不成立.故“角的终边在第二、三象限”是“cos 0,cos 0,符合题意.a=19.故选D.易错警示本题利用同角三角函数基本关系求参数时,要注意检验是不是第二象限角,易忽略范围出现错误.3.答案-12,12解析因为0x3,所以3x+323,所以-12cosx+30,即2kx+4+2k,kZ,解得-4+2kx0,不要忽略函数的定义域,否则极易出现错解.5.答案34解析由已知得sin2+cos2=k+1k-32+k-1k-32=1,即k2+6k-7=0,解得k=
5、1或k=-7.当k=1时,不符合题意,舍去;当k=-7时,sin =35,cos =45,符合题意.所以tan =34.6.解析(1)-x0,sin x+cos x=15,-2x0,sin x0,sin x-cos x0.由sin x+cos x=15,sin2x+cos 2x=1,可得1+2sin xcos x=125,即2sin xcos x=-2425,(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=4925,又sin x-cos x0及-x0可得-2x0,进而可确定sin x-cos x0时,sin =-45,cos =35,2sin +cos =-1;当a|cos x|0,
6、得sin x0,又x(0,2),x(0,).在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin x和y=|cos x|在(0,)上的图象,数形结合求出x的取值范围.在同一平面直角坐标系中作出y=sin x与y=|cos x|在x(0,)上的图象,如图.由图知使sin x|cos x|成立的x的取值范围为4,34.故选A.2.D在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与y=a(0aA)的图象,通过分析图象求解.函数f(x),y=a(0aA)的大致图象如图所示.由图象知,最小正周期T=8-2=6;当x=3时,f(x)取得最大值;当x=6时,f(x)取得最小值.所以f(x)的单调递减区间为6k+3,6k+6,k
7、Z,即6k-3,6k,kZ.故选D.3.答案f(x)=2sin2x+6;63解析显然A=2.由图象过点(0,1),得f(0)=1,即sin =12,又因为|2,所以=6.因为点1112,0在图象上,所以f1112=0,即2sin1112+6=0.由图象可知,1112,0是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点,所以1112+6=2,解得=2.所以f(x)=2sin2x+6.在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=2sin2x+6和函数y=lg x的图象,数形结合,将方程的根的问题转化为两函数图象的交点问题.在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=2sin2x+6和函数y=lg x的图象,如图.易
8、知f(x)的最大值为2.令lg x=2得x=100.令1712+k100,所以在(0,100内有31个形如1112+k,1712+k,0k30,kZ的区间.而在每一个区间上,函数f(x)=2sin2x+6和函数y=lg x的图象都有2个交点,故这两个函数图象在1112,100内有62个交点,另外在0,1112内还有1个交点.故方程f(x)-lg x=0共有63个实数根.思想方法数形结合是通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.本章中,数形结合思想贯穿始终,如角的概念的推广,三角函数线的应用,利用图象解三角不等式、研究函数的性质等.4.A终边在直线y=3x上,要分终边在第一、三象限
9、进行讨论.当的终边在第一象限时,取直线y=3x上的点(1,3),则r=10,故cos =110=1010,sin =31010,则tan =sincos=3.当的终边在第三象限时,cos =-1010,sin =-31010,则tan =sincos=3.综上,tan =3.故选A.5.证明因为nZ,且n取不同值时,正弦函数和余弦函数的值会发生变化,所以需要对n的值分奇数、偶数进行讨论.当n为偶数时,令n=2k,kZ,左边=2sin(+2k)cos(-2k)sin(+2k)+sin(-2k)=2sincossin+sin=2sincos2sin=cos ,kZ,右边=(-1)2kcos =co
10、s ,kZ,左边=右边,故原等式成立.当n为奇数时,令n=2k-1,kZ,左边=2sin(+2k-)cos(-2k+)sin(+2k-)+sin(-2k+)=2sin(-)cos(+)sin(-)+sin(+)=2(-sin)(-cos)(-sin)+(-sin)=2sincos-2sin=-cos ,kZ,右边=(-1)2k-1cos =-cos ,kZ,左边=右边,故原等式成立.综上所述,2sin(+n)cos(-n)sin(+n)+sin(-n)=(-1)ncos ,nZ.思想方法当所研究的问题中包含了多种情况,但不能用统一的方法、统一的式子进行解决时,可分类进行解决.在三角函数的问题中
11、,受到角的范围或参数的限制,往往需要进行分类讨论.6.答案54解析f(x)=3cos x-sin2x=cos2x+3cos x-1=cosx+322-74.设cos x=t,因为6x3,所以12cos x32,即12t32.将函数看成关于cos x的二次函数,利用二次函数的知识解决问题.因为函数y=t+322-74在12,32上单调递增,所以ymax=54,所以f(x)的最大值为54.7.解析(1)解方程2x2-x-1=0,得x=-12或x=1.所以tan =-12或tan =1.因为是第三象限角,所以tan =1.解方程2x2-x-1=0,得tan 的值,又是第三象限角,所以tan 0,将不
12、满足的舍去.所以sin-cossin+cos=tan-1tan+1=0.(2)因为tan =1,是第三象限角,所以sincos=1,sin2+cos2=1,解得sin =cos =-22.所以2sin -cos =-22.思想方法函数与方程思想,就是根据已知条件建立函数关系或列方程(组),并借助函数知识或解方程(组)解决问题.本章中,求三角函数的值(最值)问题常用到函数与方程思想.8.解析(1)tan 2=tan(2-),tan 3=tan(3-).因为22,所以-22-0.因为23,所以-23-0.显然-22-3-12,利用转化思想,将角化在同一单调区间内,再根据正切函数的单调性求解.易知y=tan x在-2,2内是增函数,所以tan(2-)tan(3-)tan 1,即tan 2tan 3tan 1.(2)tan-134=-tan4,tan-175=-tan25.因为04252,且y=tan x在0,2内单调递增,所以tan4-tan25,即tan-134tan-175.思想方法转化与化归思想在三角函数中的应用主要体现在三角函数值比较大小问题中,一般将其转化到同名三角函数的一个单调区间内,然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也体现了转化与化归思想.