1、2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高三（上）10月段考数学试卷（理科）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上1复数z1=3+i，z2=1i，则复数的虚部为_2x1是的_条件3已知集合A=1，2a，B=a，b，若AB=，则AB=_4函数f（x）=的定义域为_5已知角的终边经过点P（8m，6cos60），且cos=，则m的值是_6已知tan（）=2，则=_7若向量=（1，2），=（1，1），则2+与的夹角等于_8（文科）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f（x+2）=f（x）当0x1时，f（x）=x2若直线y=x+a与
2、函数y=f（x）的图象在0，2内恰有两个不同的公共点，则实数a=_9若P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，则的值恒为_10设为锐角，若cos（+）=，则sin（2+）的值为_11下列命题：在ABC中，“A30”是“”的充分不必要条件；已知=（3，4），=（2，1），则在上的投影为2；已知p：xR，cosx=1，q：xR，x2x+10，则“pq”为假命题；“若x2+x60，则x2”的否命题；已知函数f（x）=sin（x+）2（0）的导函数的最大值为3，则函数f（x）的图象关于x=对称其中真命题的序号为_12已知函数f（x）=mx3+nx2的图象在点（1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0
3、平行，若f（x）在区间t，t+1上单调递减，则实数t的取值范围是_13已知ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，若，则=_14设m为实数，函数f（x）=2x2+（xm）|xm|，h（x）=若h（x）对于一切x1，3，不等式h（x）1恒成立，则实数m的取值范围是_二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤15（14分）已知命题p：函数在（，+）上有极值；命题q：关于x的方程x23ax+2a2+1=0的两个相异实根均大于3若pq是真命题，pq是假命题，求实数a的取值范围16（14分）已知函数（1）设，且，求的值；（2）在ABC
4、中，AB=1，且ABC的面积为，求sinA+sinB的值17（14分）如图，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已，设APB=，APC=，均为锐角（1）求；（2）求向量的数量积的值18（16分）已知关于x的不等式（ax1）（x+1）0（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若aR，解这个关于x的不等式19（16分）某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，若建筑支架各部分的材料每米的价格已确定，且AB部分的价格是CD部分价格的两倍设BC=x米，CD=y米（1）求y关于x的函数；（2）问怎样设计AB的长，可使建造这个支
5、架的成本最低？20（16分）已知函数f（x）=ax+x2xlna（a0，a1）（）当a1时，求证：函数f（x）在（0，+）上单调递增；（）若函数y=|f（x）t|1有三个零点，求t的值；（）若存在x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1，试求a的取值范围（卷）21已知矩阵，求满足AX=B的二阶矩阵X22若两条曲线的极坐标方程分别为p=l与p=2cos（+），它们相交于A，B两点，求线段AB的长23已知等式（x2+2x+2）5=a1+a1（x+1）+a2（x+1）2+a9（x+1）9+a10（x+1）10，其中ai（i=0，1，2，10）为实常数求：（1）an的值；（2）an的值24某
6、单位从一所学校招收某类特殊人才对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：逻辑思维能力运动协调能力一般良好优秀一般221良好4b1优秀13a例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为（）求a，b的值；（）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望E2014-20
7、15学年江苏省南通市如皋中学高三（上）10月段考数学试卷（理科）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上1复数z1=3+i，z2=1i，则复数的虚部为2【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算性质、共轭复数的定义即可得出【解答】解：复数=1+2i的虚部为2故答案为：2【点评】本题考查了复数的运算性质、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2x1是的充分不必要条件条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】计算题【分析】由充分条件与必要条件的概念即可判断【解答】解：x1
8、1成立，充分性成立；而10x0或x1，即1不能推出x1，必要性不成立；x1是的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，掌握充分条件与必要条件的概念是判断的基础，属于基础题3已知集合A=1，2a，B=a，b，若AB=，则AB=1，1【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】计算题【分析】由集合A与B的交集求出a，b的值，再求出集合A、B和它们的并集【解答】解：由AB=得，2a=a=1，b=，A=1，B=1，AB=1，1，故答案为：1，1【点评】本题考查了集合的交集和并集的运算，先根据交集求出参数的值，再求并集4函数f（x）=的定义域为（0，【考点】对数
9、函数的定义域 【专题】函数的性质及应用【分析】根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果【解答】解：函数f（x）=要满足120，且x0，x0，x0，x0，0，故答案为：（0，【点评】本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题，在解题时一般遇到，开偶次方时，被开方数要不小于0，；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0，这种题目的运算量不大，是基础题5已知角的终边经过点P（8m，6cos60），且cos=，则m的值是【考点】任意角的三角函数的定义 【专题】计算题【分析】先求出OP的距离，再由三角函数的定义和余弦值，列出关于m的
10、方程进行求解【解答】解：角的终边经过点P（8m，6cos60），r=OP=，cos=，解得m=，故答案为：【点评】本题考查了三角函数的定义应用，即先求出角终边上的一点与原点的距离，再代入对应的三角函数公式，列出方程进行求解6已知tan（）=2，则=【考点】三角函数的化简求值 【专题】三角函数的求值【分析】由已知求出tan，把中的1用平方关系替换，转化为含有tan的代数式得答案【解答】解：由tan（）=2，得tan=2，=故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简与求值，解答此题的关键是“1”的代换，是基础题7若向量=（1，2），=（1，1），则2+与的夹角等于【考点】平面向量数量积的运算 【专题
11、】平面向量及应用【分析】利用数量积运算及定义、向量的夹角公式即可得出【解答】解：设2+与的夹角为向量=（1，2），=（1，1），2+=2（1，2）+（1，1）=（3，3），=（0，3）（2+）（）=0+9=9，|2+|=，|=3，（2+）（）=|2+|cos，=0，故答案为：【点评】本题考查了数量积运算及定义、向量的夹角公式，属于基础题8（文科）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f（x+2）=f（x）当0x1时，f（x）=x2若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在0，2内恰有两个不同的公共点，则实数a=或0【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数
12、判断 【专题】计算题；压轴题【分析】根据题意可做出函数f（x）在0，2上的图象，通过数形结合与方程思想的应用即可解决问题【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，当0x1时，f（x）=x2，当1x0时，0x1，f（x）=（x）2=x2=f（x），又f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的函数，又直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在0，2内恰有两个不同的公共点，其图象如下：当a=0时，直线y=x+a变为直线l1，其方程为：y=x，显然，l1与函数y=f（x）的图象在0，2内恰有两个不同的公共点；当a0时，直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在0，2内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线
13、y=x+a与函数y=f（x）相切，切点的横坐标x00，1由得：x2xa=0，由=1+4a=0得a=，此时，x0=x=0，1综上所述，a=或a=0故答案为：或a=0【点评】本题考查函数的周期性，函数的奇偶性与求方程的解，着重考察数形结合思想与方程思想的应用，属于中档题9若P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，则的值恒为6【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【专题】计算题；作图题；综合题；压轴题【分析】画出图形，作出以向量为对角线的平行四边形，设出图中的比例关系，表示出向量，然后计算，注意两个比例系数之和为1，可求得数量积为定值【解答】解：如图P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，过
14、P作EPAB，交AC于E，FPAC交AB于F，设m=，n=，由于ABC是正三角形，所以 m+n=1所以=6（m+n）=6故答案为：6【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题10设为锐角，若cos（+）=，则sin（2+）的值为【考点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦 【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】先设=+，根据cos求出sin，进而求出sin2和cos2，最后用两角和的正弦公式得到sin（2+）的值【解答】解：设=+，sin=，sin2=2sincos=，cos2=2cos2
15、1=，sin（2+）=sin（2+）=sin（2）=sin2coscos2sin=故答案为：【点评】本题要我们在已知锐角+的余弦值的情况下，求2+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题11下列命题：在ABC中，“A30”是“”的充分不必要条件；已知=（3，4），=（2，1），则在上的投影为2；已知p：xR，cosx=1，q：xR，x2x+10，则“pq”为假命题；“若x2+x60，则x2”的否命题；已知函数f（x）=sin（x+）2（0）的导函数的最大值为3，则函数f（x）的图象关于x=对称其中真命题的序号为【考点】
16、命题的真假判断与应用 【专题】综合题；函数思想；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；简易逻辑【分析】举例说明是假命题；求出给出的两个向量的数量积，再求出向量的模，则在上的投影可求；由复合命题的真假判断判断；直接写出命题的否命题判断；命题首先对复合函数求导，根据导函数的最大值是3求出的值，的导函数解析式后把x=代入函数解析式验证，函数能取最大值则是对称轴，否则不是【解答】解：在ABC中，若A=16030则，若，则30A150，“A30”是“”的必要不充分条件，是假命题；=（3，4），=（2，1），则在上的投影为=，是假命题；p：xR，cosx=1，为真命题；q：xR，x2x+1=0，为真命题
17、则“pq”为假命题，是真命题；“若x2+x60，则x2”的否命题为：“若x2+x60，则x2”，此命题是真命题；由f（x）=sin（x+）2，则f（x）=cos（x+），函数f（x）=sin（x+）2（0）的导函数的最大值为3，=3则f（x）=sin（3x+）2，而f（）=sin（3+）2=3，函数f（x）的图象不关于x=对称，是假命题故答案为：【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了向量投影的求法，训练了利用导数求函数的最值，考查三角函数的图象和性质，是中档题12已知函数f（x）=mx3+nx2的图象在点（1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x
18、）在区间t，t+1上单调递减，则实数t的取值范围是2，1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系 【专题】计算题【分析】先对函数f（x）进行求导，又根据f（1）=3，f（1）=2可得到关于m，n的值，代入函数f（x）可得f（x），当f（x）0时x的取值区间为减区间，从而解决问题【解答】解：由已知条件得f（x）=3mx2+2nx，由f（1）=3，3m2n=3又f（1）=2，m+n=2，m=1，n=3f（x）=x3+3x2，f（x）=3x2+6x令f（x）0，即x2+2x0，函数f（x）的单调减区间是（2，0）f（x）在区间t，t+1上单调递减，则实数t的取值范围是2，1故
19、答案为2，1【点评】本题主要考查通过求函数的导数来求函数增减区间的问题、利用导数研究曲线上某点切线方程属于基础题13已知ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，若，则=【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】利用向量的线性运算把、用、表示，再利用数量积即可算出【解答】解：如图所示，=，=22cos60=2，=2（2+1）4（1）4=2222，又，化为（21）2=0，解得故答案为【点评】熟练掌握向量的线性运算及数量积运算是解题的关键14设m为实数，函数f（x）=2x2+（xm）|xm|，h（x）=若h（x）对于一切x1，3，不等式h（x）1恒成立，则实数m的取值范围是m
20、2【考点】函数恒成立问题 【专题】计算题；分类讨论；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】当x1，3时，h（x）=，分类讨论以确定函数的单调性，从而求最值，化简恒成立问题为最值问题即可【解答】解：当x1，3时，f（x）=2x2+（xm）|xm|，h（x）=，当m1时，h（x）=3x+2m3+2m1，故不等式h（x）1恒成立；当1m3时，h（x）=，由对勾函数的单调性及分段函数的单调性可知，h（x）在1，3上单调递增，故hmin（x）=h（1）=1m2+2m1，故0m2，故1m2；当m3时，h（x）=x+2m在1，3上单调递增，故hmin（x）=h（1）=1m2+2m1，故0m2，故无解，综
21、上所述，m2故答案为：m2【点评】本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用，关键在于化为最值问题二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤15（14分）已知命题p：函数在（，+）上有极值；命题q：关于x的方程x23ax+2a2+1=0的两个相异实根均大于3若pq是真命题，pq是假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假 【专题】简易逻辑【分析】命题p：f（x）=3x2+2ax+a+，由于函数f（x）在（，+）上有极值，可得f（x）=0有两个不等实数根，0，解得a范围命题q：关于x的方程x23ax+2a2+1=0的两个相异
22、实根均大于3令f（x）=x23ax+2a2+1，可得，且0，解得范围若pq是真命题，pq是假命题，则p与q必然一真一假【解答】解：命题p：函数，f（x）=3x2+2ax+a+，函数f（x）在（，+）上有极值，f（x）=0有两个不等实数根，=4a243（a+）=4a24（3a+4）0，解得a4或a1命题q：关于x的方程x23ax+2a2+1=0的两个相异实根均大于3令f（x）=x23ax+2a2+1，且3，解得若pq是真命题，pq是假命题，则p与q必然一真一假或解得实数a的取值范围是【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程有实数根与判别式的关系，考查了推理
23、能力与计算能力，属于中档题16（14分）已知函数（1）设，且，求的值；（2）在ABC中，AB=1，且ABC的面积为，求sinA+sinB的值【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；正弦定理 【专题】计算题【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，f（x）=2cos（x+）+，由可得，cos（+）=，结合已知可求的值；（2）由（1）知由已知面积可得，从而有由余弦定理得可得a2+b2=再由正弦定理得可求【解答】解：（1）=由 得 于是（kZ） 因为 所以 （2）因为C（0，），由（1）知因为ABC的面积为，所以，于是在ABC中，设内角A、B的对边分别是a，
24、b由余弦定理得，所以a2+b2=7由可得或于是由正弦定理得，所以（14分）【点评】（1）考查了二倍角公式的变形形式的应用，辅助角公式可以把函数化为一个角的三角函数，进而可以研究三角函数的性（2）考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面积公式的综合运用17（14分）如图，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已，设APB=，APC=，均为锐角（1）求；（2）求向量的数量积的值【考点】向量在几何中的应用 【专题】计算题【分析】（1）据圆周角为直角，通过解直角三角形及两角和的余弦公式及正余弦的平方公式求出，的正切，求出的正切得角（2）将未知向量用已知向量表示，利用向量的分配律求出数量积【解答】解
25、：（1）：因为点B在以PA为直径的圆周上，所以ABP=90，所以所以，所以，又，所以（2）=故答案为；=【点评】本题考查解直角三角形；通过三角函数值求角；平面向量的基本定理；向量数量积的运算律等18（16分）已知关于x的不等式（ax1）（x+1）0（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若aR，解这个关于x的不等式【考点】一元二次不等式的解法 【专题】分类讨论；不等式的解法及应用【分析】（1）根据不等式（ax1）（x+1）0的解集与对应方程之间的关系，求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集来【解答】解：（1）不等式（ax1）（x+1）0的解集为，方程（ax1）（x+1）=0
26、的两根是1，；a1=0，a=2；（2）（ax1）（x+1）0，a0时，不等式可化为（x）（x+1）0；若a1，则1，解得1x；若a=1，则=1，解得不等式为；若1a0，则1，解得x1；a=0时，不等式为（x+1）0，解得x1；当a0时，不等式为（x）（x+1）0，1，解不等式得x1或x；综上，a1时，不等式的解集为x|1x；a=1时，不等式的解集为；1a0时，不等式的解集为x|x1；a=0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为x|x1，或x【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论思想，是中档题19（16分）某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至
27、少长2.8米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，若建筑支架各部分的材料每米的价格已确定，且AB部分的价格是CD部分价格的两倍设BC=x米，CD=y米（1）求y关于x的函数；（2）问怎样设计AB的长，可使建造这个支架的成本最低？【考点】函数解析式的求解及常用方法 【专题】函数的性质及应用【分析】（1）由题意 BC=x，CD=y连结BD，在CDB中，利用余弦定理可得：化简整理即可得出：（x1.4）（2）设金属支架CD每米价格为a元，金属支架AB每米价格为2a元，则总成本为ya+2x（2a）=a（y+4x），设，换元变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）由题意 BC=x，
28、CD=y连结BD，则在CDB中，整理得：（x1.4）（2）设金属支架CD每米价格为a元，金属支架AB每米价格为2a元，则总成本为ya+2x（2a）=a（y+4x），设，则，令，在0.4，+）上单调增，所以当t=0.4时，即x=1.4时，取得最小值答：当AB=2.8m时，建造这个支架的成本最低【点评】本题考查了余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（16分）已知函数f（x）=ax+x2xlna（a0，a1）（）当a1时，求证：函数f（x）在（0，+）上单调递增；（）若函数y=|f（x）t|1有三个零点，求t的值；（）若存在x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）
29、|e1，试求a的取值范围【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【专题】计算题；压轴题【分析】（）证明a1时函数的导数大于0（）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）t|1有三个零点，所以方程f（x）=t1有三个根，根据t1应是f（x）的极小值，解出t（）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（1），最小值f（0）=1，由f（1）f（1）的单调性，判断f（1）与f（1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e1求出a的取值范围【解答】解：（）f（x）=axlna+2xln
30、a=2x+（ax1）lna 由于a1，故当x（0，+）时，lna0，ax10，所以f（x）0，故函数f（x）在（0，+）上单调递增 （）当a0，a1时，因为f（0）=0，且f（x）在（0，+）上单调递增，故f（x）=0有唯一解x=0所以x，f（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）t|1有三个零点，所以方程f（x）=t1有三个根，而t+1t1，所以t1=（f（x）min=f（0）=1，解得t=2；（）因为存在x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1，所以当x1，1时，|（f（x）max（f（x）min|=（f（x）max（f（x）mine1，由（）知，f（x）在1，
31、0上递减，在0，1上递增，所以当x1，1时，（f（x）min=f（0）=1，（f（x）max=maxf（1），f（1），而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t（0，+）上单调递增，而g（1）=0，所以当t1时，g（t）0；当0t1时，g（t）0，也就是当a1时，f（1）f（1）；当0a1时，f（1）f（1）（14分）当a1时，由f（1）f（0）e1alnae1ae，当0a1时，由，综上知，所求a的取值范围为（16分）【点评】本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题（卷）21已知矩阵，求满足AX=B的二阶矩阵X【考点】逆变换与逆矩阵 【专题】计算题【分析】设
32、 X=，求出AX，再由AX=B，解方程组求得a、b、c、d的值，接口求得X【解答】设 X=，则AX=又AX=B=，解得 ，故X=【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查解方程组，属于基础题22若两条曲线的极坐标方程分别为p=l与p=2cos（+），它们相交于A，B两点，求线段AB的长【考点】简单曲线的极坐标方程；圆方程的综合应用 【专题】计算题【分析】先将原极坐标方程中的三角函数式利用和角公式化开后，两边同乘以后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断【解答】解：由=1得x2+y2=1，又，由得，【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平
33、面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得23已知等式（x2+2x+2）5=a1+a1（x+1）+a2（x+1）2+a9（x+1）9+a10（x+1）10，其中ai（i=0，1，2，10）为实常数求：（1）an的值；（2）an的值【考点】二项式定理的应用；简单复合函数的导数；二项式系数的性质 【专题】计算题；压轴题；二项式定理【分析】（1）通过x=1求出a1，然后通过x=0求出a1+a1+a2+a5+a10，即可求解an（2）利用二项式定理展开表达式，通过函数的导数且x=0推出所求表达
34、式的值，【解答】解：（1）在（x2+2x+2）5=a1+a1（x+1）+a2（x+1）2+a9（x+1）9+a10（x+1）10中，令x=1，得a1=1令x=0，得a1+a1+a2+a9+a10=25=32所以an=a1+a2+a10=31（2）等式（x2+2x+2）5=a1+a1（x+1）+a2（x+1）2+a9（x+1）9+a10（x+1）10两边对x求导，得5（x2+2x+2）4（2x+2）=a1+2a2（x+1）+9a9（x+1）9+10a10（x+1）5在5（x2+2x+2）4（2x+2）=a1+2a2（x+1）+9a9（x+1）9+10a10（x+1）5中，令x=0，整理，得an=
35、a1+2a2+9a5+10a10=525=160【点评】本题考查二项式定理的应用，函数的导数以及赋值法的应用，考查分析问题解决问题的能力24某单位从一所学校招收某类特殊人才对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：逻辑思维能力运动协调能力一般良好优秀一般221良好4b1优秀13a例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为（）求a，b的值；（）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生
36、的概率；（）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望E【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 【专题】计算题；概率与统计【分析】（）由表格数据可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+a）人记“从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生”为事件A，事件A的概率即为，由此建立方程即可求出a，b（）由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人，求其对立事件的概率，易求至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率（）的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率
37、列出分布列，利用公式求出期望即可【解答】解：（）设事件A：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+a）人则P（A）=，解得a=2所以b=4 （）设事件B：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人则P（B）=1P（）=1= （）的可能取值为0，1，220位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人所以P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=所以的分布列为012P所以，E=0+1+2= （13分）【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，求解问题的关键是正确理解题意以及熟练掌握求概率的方法