1、专题六解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线1椭圆的定义平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件(1)到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a.(2)2a|F1F2|.1双曲线的定义平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件：(1)到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.(2)2a|F1F2|.3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2y2(0)，离心率e，渐近线方程为yx1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线若二元方程f(x，y)0是曲线C的方程，或曲线C是
2、方程f(x，y)0的曲线，则必须满足以下两个条件：1曲线上点的坐标都是二元方程f(x，y)0的解(纯粹性)2以这个方程的解为坐标的点都是曲线C上的点(完备性)判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同()(5)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()1平面内到点A(0，1)、B(1，0)距离之和为2的点的轨迹为(A)A椭圆B
3、一条射线C两条射线 D一条线段解析：因为点到两定点AB距离之和为2|AB|，所以该点的轨迹为椭圆故选A.2以知F是双曲线1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为9解析：注意到A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F(4，0)，于是由双曲线性质|PF|PF|2a4，而|PA|PF|AF|5，两式相加得|PF|PA|9，当且仅当A、P、F三点共线时等号成立3(2015新课标卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为(x)2y2解析：由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4，0)由圆心在
4、x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，2)，(4，0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m4，r0)，则解得所以圆的标准方程为(x)2y2.4(2015北京卷)已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_解析：双曲线y21的渐近线为y，已知一条渐近线为xy0，即yx，因为a0，所以，所以a.答案：一、选择题1若椭圆1的离心率为，则实数m等于(A)A.或 B.C. D.或解析：若m2，则，解得m.若0m2，则，解得m.2. (2015新课标卷)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|(C)A2 B8 C4 D10解析：设圆的方程为x2y2
5、DxEyF0，则解得 圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y22或y22， M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)， |MN|4，故选C.3(2015福建卷)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于(B)A11 B9 C5 D34已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(A)A. B.C(1，2) D(1，2)解析：如图，抛物线的焦点F(1，0)，准线方程l：x1，点P到准线的距离为|PD|.由抛物线的定义知|PF|PD|，显然D，P，Q共
6、线时，|PD|PQ|最小，即|PF|PQ|最小此时yP1，代入抛物线方程知xp，P.5. (2014江西卷)过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(A)A.1 B.1C.1 D.1解析：因为C：1的渐近线为yx，所以A(a，b)或A(a，b)因此OAc4，从而三角形OAC为正三角形，即tan 60，a2，b2，双曲线C的方程为1.6(2014全国大纲卷)双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于(C)A2 B2 C4 D4解析：由已知可知渐近线的斜率k且2
7、，即且14解得c231，所以c2，2c4.故选C.二、填空题7(2015北京卷)已知(2，0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，则b解析：由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c2.根据双曲线的标准方程，可知a21.又c2a2b2，所以b23.又b0，所以b.8在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为解析：由y24x，可求得焦点坐标为F(1，0)，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为ktan 60，利用点斜式，直线的方程为yx，将直线和曲线方程联立，A(3，2)，B，因此SOAFOFyA12. 三、
8、解答题9已知圆O过定点A(0，p)(p0)，圆心O在抛物线C：x22py上运动，MN为圆O在x轴上所截得的弦(1)当点O运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且M，N在原点O的右侧时，试判断抛物线C的准线与圆O是相交、相切还是相离，并说明理由解析：(1)设O(x0，y0)，则x2py0(y00)，则O的半径|OA|，O的方程为(xx0)2(yy0)2x(y0p)2.令y0，并把x2py0代入得x22x0xxp20.解得x1x0p，x2x0p，|MN|x1x2|2p，|MN|不变化，为定值2p.(2)设MN的中点为B，则|OM|ON|2|OB|
9、且OBMN.又|OA|是|OM|与|ON|的等差中项，|OM|ON|2|OA|，可得B(p，0)，O.|OA|p.即圆O的半径为p.又点O到抛物线C的准线的距离为pp.圆O与抛物线C的准线相交10在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1，0)，且点P(0，1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程解析：(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(1，0)，所以c1.将点P(0，1)代入椭圆方程1，得1，即b1，所以a2b2c22.所以椭圆C1的方程为y21.(2)直线l的斜率显然存在且不为0，设直线l的方程为y
10、kxm，由消去y并整理得：(12k2)x24kmx2m220，因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0，整理得2k2m210.由消去y并整理得：k2x2(2km4)xm20.因为直线l与抛物线C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1.综合，解得或所以直线l的方程为yx或yx.11如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点解析：(1)依题意，|OB|8，BOy30.设B(x，y)，则x|OB
11、|sin 304，y|OB|cos 3012.因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2)证法一由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q为.设M(0，y1)，令0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.由于式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)证法二由(1)知yx2，yx，设P(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q为.取x02，此时P(2，1)，Q(0，1)，以PQ为直径的圆为(x1)2y22，交y轴于点M1(0，1)，M2(0，1)；取x01，此时P，Q，以PQ为直径的圆为，交y轴于点M3(0，1)，M4.故若满足条件的点M存在，只能是M(0，1)以下证明点M(0，1)就是所要求的点因为(x0，y01)，所以2y022y022y020.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)