1、专题三数 列第二讲数列求和及综合应用2转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并3错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列4倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，把它与原数列相加，若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和5裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和1应用问题一般
2、文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决2数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决此类题的关键是建立一个数列模型an，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式求解3解应用问题的基本步骤判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，.()(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘
3、以a即可根据错位相减法求得()(4)数列的前n项和为n2.()(5)若数列a1，a2a1，anan1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列an的通项公式是an.()(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()1(2015福建卷)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于(D)A6B7C8D9解析：不妨设ab，由题意得 a0，b0，则a，2，b成等比数列，a，b，2成等差数列， p5，q4， pq9.2(2
4、015新课标卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5(A)A5 B7 C9 D11解析：解法一 a1a52a3， a1a3a53a33， a31， S55a35，故选A.解法二 a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3， a12d1， S55a1d5(a12d)5，故选A.3在数列an中，an，则：(1)数列an的前n项和Sn_；(2)数列Sn的前n项和Tn_解析：(1)anSn(123012)(234123)(345234)n(n1)(n2)(n1)n(n1).(2)Sn n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2)Tn(12340123)(23451
5、234)n(n1)(n2)6(n3)(n1)n(n1)(n2).答案：(1)(2)4(2015江苏卷)设数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，则数列前10项的和为_解析：由题意有a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.又 a11， an(n2) 当n1时也满足此式， an(nN*) 2() S102() 2(1).答案：一、选择题1已知等差数列an前n项和为Sn，若a1a2 0121，a2 0131 006，则使Sn取最值时n的值为(D)A1 005 B1 006C1 007 D1 006或1 0072设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a
6、3a76，则当Sn取最小值时，n(D)A9 B8 C7 D63等比数列an前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是(C)AT10 BT13 CT17 DT25解析：a3a6a18a1q2a1q5a1q17(a1q8)3(a9)3为定值T17a1a2a17(a1q8)17(a9)17也是定值4已知等比数列an满足an0，n1，2，且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1(C)An(2n1) B(n1)2Cn2 D(n1)2解析：由a5a2n522n(n3)得a22n，an0，则an2n，l
7、og2a1log2a3log2a2n113(2n1)n2.故选C.5公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项， S832，则S10(C)A18 B24 C60 D90解析：由aa3a7，得(a13d)2(a12d)(a16d)，得2a13d0，再由S88a1d32，得2a17d8，则d2，a13，所以S1010a1d60.故选C.6已知函数f(x)把函数g(x)f(x)x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为(B)Aan Bann1Cann(n1) Dan2n2解析：若0x1，则1x10，得f(x)f(x1)12x1, 若1x2，则0x11，得
8、f(x)f(x1)12x21，若2x3，则1x12，得f(x)f(x1)12x32，若3x4，则2x13，得f(x)f(x1)12x43.以此类推，若nxn1(其中nN)，则f(x)f(x1)12xn1n, 下面分析函数f(x)2x的图象与直线yx1的交点很显然，它们有两个交点(0，1)和(1，2)，由于指数函数f(x)2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点将函数f(x)2x和yx1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f(x)2x1和yx的图象，取x0的部分，可见它们有且仅有一个交点(0，0)即当x0时，方程f(x)x0有且仅有一个根x0.取中函数f(x)2x1和yx图象1x0的部分，再
9、同时向上和向右各平移一个单位，即得f(x)2x1和yx在0x1上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点(1，1)即当0x1时，方程f(x)x0有且仅有一个根x1.取中函数f(x)2x1和yx在0x1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f(x)2x21和yx在1x2上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点(2，2)即当10时，由(1)知， a11，a22；当n2时，有(2)anS2Sn，(2)an1S2Sn1.两式相减得(1)an(2)an1.所以anan1(n2)所以ana1()n1(1)()n1.令bnlg，则bn1lg()n1lg.又b11，bnbn1lg 2，所以数列bn是以1为首项，
10、lg 2为公差，且单调递减的等差数列则b1b2b7lglg 10.当n8时，bnb8lg lg 10.所以，n7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为T77lg 2.10(2015北京卷)已知数列an满足：a1N*，a136，且an1(n1，2，)记集合Man|nN*(1)若a16，写出集合M的所有元素；(2)若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；(3)求集合M的元素个数的最大值解析：(1)6，12，24.(2)证明：因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数由an1可归纳证明对任意nk，an是3的倍数如果k1，则M的所有元素都是3的倍数如果k1，因为a
11、k2ak1或ak2ak136，所以2ak1是3的倍数，于是ak1是3的倍数类似可得，ak2，a1都是3的倍数从而对任意n1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数(3)由a136，an可归纳证明an36(n2，3，)因为a1是正整数，a2所以a2是2的倍数从而当n3时，an是2的倍数如果a1是3的倍数，由(2)知对所有正整数n，an是3的倍数因此当n3时，an12，24，36，这时M的元素个数不超过5.如果a1不是3的倍数，由(2)知对所有正整数n，an不是3的倍数因此当n3时，an4，8，16，20，28，32，这时M的元素个数不超过8.当a11时，M1，2，4，8，16，20，28，32有8个元素综上可知，集合M的元素个数的最大值为8.
