1、专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第三讲平面向量1向量的加法运算符合平行四边形法则和三角形法则；向量的减法运算符合三角形法则1如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中不共线向量e1，e2叫做基底2平面向量数量积的定义已知两非零向量a，b，则a与b的数量积(或内积)为_|a|b|cos_，记作ab |a|b|cos_，其中a，b，|b|cos_叫做向量b在向量a方向上的投影3两非零向量平行、垂直的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)abab(0)x1y2x2y10(2)abab0x1x2
2、y1y204若a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为，则cos .判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关()(3)已知两向量a，b，若|a|1，|b|1，则|ab|2.()(4)ABC中，D是BC中点，则()()(5)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()1设P是ABC所在平面内的一点，2，则(B)A.0 B.0C.0 D.0解析：因为2，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B.2(2014
3、新课标卷)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab(A)A1 B2 C3 D4解析：由已知得，a22abb210，a22abb26，两式相减得，4ab4，故ab1.3(2015北京卷)设a，b是非零向量，“ab|a|b|”是“ab”的(A)A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：因为ab|a|b|cosa，b，所以当ab|a|b|时，有cosa，b1，即a，b0，此时a，b同向，所以ab.反过来，当ab时，若a，b反向，则a，b180，ab|a|b|；若a，b同向，则a，b0，ab|a|b|，故“ab|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件4(2015广
4、东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2，1)，则(D)A2 B3 C4 D5解析：试题分析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以(1，2)(2，1)(3，1)所以231(1)5，故选D.一、选择题1已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是(B)Aab BabC|a|b| Dabab解析：解法一 由|ab|ab|，平方可得ab0, 所以ab.故选B.解法二根据向量加法、减法的几何意义可知|ab|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|ab|ab|，所以该平行四边形为矩形，所以ab.故选B.2. (2014
5、北京卷)已知向量a(2，4)，b(1，1)，则2ab(A)A(5，7) B(5，9) C(3，7) D(3，9)解析：因为2a(4，8)，所以2ab(4，8)(1，1)(5，7)故选A.3设向量a、b满足：|a|1，|b|2，a(ab)0，则a与b的夹角是(B)A30 B60 C90 D120 4(2015福建卷)设a(1，2)，b(1，1)，cakb.若bc，则实数k的值等于(A)A B C. D. 解析：cakb(1k，2k)，又bc，所以1(1k)1(2k)0，解得k.5已知：(3，1)，(0，5)，且，则点C的坐标为(B)A. B.C. D.解析：设点C(x，y)，(x3，y1)，x3
6、0.x3.又(x，y5)，(3，4)，又，3x4(y5)0.y.C.6(2015福建卷)已知，|，|t，若P点是ABC所在平面内一点，且，的最大值等于(A)A13 B15 C19 D21解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则B，C，(1，0)4(0，1)(1，4)，即P(1，4)，所以，(1，t4)，因此14t1617，因为4t24, 所以的最大值等于13，当4t，即t时取等号二、填空题7(2015北京卷)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x；y解析： 2， . ， ()， ().又xy， x，y.8如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若xy，则x_，y_解析：如图
7、，作DFAB交AB延长线于D，设ABAC1BCDE，DEB60，BD.由DBF45，得DFBF，故x1，y.答案：19在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC，已知点A(2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则点D的坐标为(0，2)解析：平行四边形ABCD中，(2，0)(8，6)(6，8)(0，2)，即点D坐标为(0，2)三、解答题10已知向量(cos x，sin x), ，定义函数f(x).(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当时，求锐角x的值解析：(1)f(x)sin xcos xsin 2xsin，2k2x2k，kZ，即kxk，kZ.f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)当时，f(x)0，即sin0, sin，又2x，故2x，故x.11已知向量a(sin ，2)与b(1，cos )互相垂直，其中.(1)求sin 和cos 的值；(2)若sin()，0，求cos 的值解析：(1)a与b互相垂直，则absin 2cos 0，即sin 2cos ，代入sin2 cos2 1得sin ，cos ，又，sin ，cos .(2)0，0，.cos().cos cos()cos cos()sin sin().