1、第4节二次函数与幂函数一、教材概念结论性质重现1幂函数的概念一般地，函数yx称为幂函数，其中为常数幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数为常数(2)x的系数为1.(3)解析式只有一项2常见的五种幂函数的图像3幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1,1)(2)如果0，则幂函数的图像通过原点，并且在(0，)上是增函数(3)如果0)f(x)ax2bxc(a0；当时，恒有f(x)0.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)函数y2x是幂函数( )(2)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点
2、( )(3)当n.4已知函数y2x26x3，x1,1，则y的最小值是_1解析：因为函数y2x26x3的图像的对称轴为x1，所以函数y2x26x3在1，1上单调递减当x1时，y取得最小值，所以ymin2631.5函数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在x(0，)上单调递增，则实数m的值为_2_.考点1幂函数的图像与性质基础性1与函数yx1的图像关于x轴对称的图像大致是()B解析：yx的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数yx1的图像可看作由yx的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图像所示)将yx1的图像关于x轴对称后即为选项B.2已知幂函数f(x)(n22n2)xn
3、23n(nZ)的图像关于y轴对称，且在(0，)上单调递减，则n的值为()A3 B1C2 D1或2B解析：因为幂函数f(x)(n22n2)xn23n在(0，)上单调递减，所以所以n1.又n1时，f(x)x2的图像关于y轴对称，故n1.故选B.3(2020衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f(x)(m1)xn的图像上设af ，bf(ln )，cf(2)，则a，b，c的大小关系是()Aacb BabcCbca Dba12，所以f(ln )f(2)f，则bca.幂函数的图像的应用注意点(1)对于幂函数图像，要抓住直线x1，y1，yx将第一象限分成的六个区域根据0,01，1，1的取值确定位置后，其余
4、象限部分由幂函数的奇偶性决定(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较考点2二次函数的解析式综合性已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式解：(方法一：利用二次函数的一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得故f(x)4x24x7.(方法二：利用二次函数的顶点式)设f(x)a(xm)2n(a0)因为f(2)f(1)，所以抛物线的对称轴为x.所以m.又根据题意函数有最大值8，所以n8，所以yf(x)a28.因为f(2)1，所以a281，解得a4，所以f(x)4284x24x7.(方法三：利用
5、二次函数的零点式)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即当a0时，8，解得a4；当a0时，f(x)1，不符合题意，舍去故f(x)4x24x7.求二次函数解析式的策略已知二次函数f(x)x2bxc满足f(0)3，对xR，都有f(1x)f(1x)成立，则f(x)_.x22x3解析：由f(0)3，得c3.又f(1x)f(1x)，所以函数f(x)的图像关于直线x1对称，所以1，所以b2，所以f(x)x22x3.考点3二次函数的图像与性质综合性考向1二次函数的图像(1)已知函数f(x)ax2xc，且f(x)0
6、的解集为(2,1)，则函数yf(x)的图像为()D解析：因为函数f(x)ax2xc，且f(x)0的解集为(2,1)，所以2,1是方程ax2xc0的两根所以a1，c2.所以f(x)x2x2.所以函数yf(x)x2x2，可知其图像开口向下，与x轴的交点坐标分别为(1,0)和(2,0)故选D.(2)(多选题)如图是二次函数yax2bxc图像的一部分，图像过点A(3,0)，对称轴为直线x1.下面四个结论中正确的是()A. b24ac B2ab1Cabc0 D5a0，即b24ac，A正确；二次函数的图像的对称轴为直线x1，即1，得2ab0，B错误；结合图像知，当x1时，y0，即abc0，C错误；因为函数
7、的图像开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，D正确故选AD.1解决二次函数图像问题的基本方法(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点(2)讨论函数图像，依据图像特征，得到参数间的关系2分析二次函数图像问题的要点一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图像上的一些特殊点从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图像反之，也能从图像中得到如上信息. 考向2二次函数的单调性若函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上单调递减，则实数a的取值范围是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0D解析：当a0时，f(x)3x1，在1，)上单调递减，满足题意当a0时，f(x)的图像对称轴为
8、x.由f(x)在1，)上单调递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0若函数f(x)ax2(a3)x1的单调递减区间是1，)，则a_.3解析：由题意知f(x)必为二次函数且a2xm恒成立，则实数m的取值范围是_(，1)解析：f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0.令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可因为g(x)x23x1m在1,1上单调递减，所以g(x)ming(1)m1.由m10，得m0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图像可能是()A解析：若0a1，则ylogax在(0，)上单调递增，y(a1)x2x的图像开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B不正确，只有A满足2若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围为()A.(0,4 B.C. D.C解析：yx23x42的定义域为0，m显然，在x0时，y4.又值域为，根据二次函数图像的对称性知m3.故选C.3(2020唐山模拟)设函数f(x)x2xa(a0)已知f(m)0 Df(m1)0，所以f(x)的大致图像如图所示由f(m)0，得1m0.所以f(m1)f(0)0.4设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_解析：由题意得a对1x4恒成立又22，.
