1、函数的奇偶性与周期性建议用时：45分钟一、选择题1(2019全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1Bex1Cex1 Dex1D当x0，当x0时，f(x)ex1，f(x)ex1.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)ex1.故选D.2函数f(x)的图象()A关于x轴对称B关于y轴对称C关于坐标原点对称D关于直线yx对称B因为f(x)3x3x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称3下列函数为奇函数的是()Af(x)x31Bf(x)ln Cf(x)ex Df(x)xsin xB对于A，f(x)x31f(x)，所以其不是奇函数；对于B
2、，f(x)ln ln f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(x)exf(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(x)xsin(x)xsin xf(x)，所以其不是奇函数故选B.4(2019洛阳模拟)已知函数f(x)a(aR)是奇函数，则函数f(x)的值域为()A(1,1) B(2,2)C(3,3) D(4,4)A法一：由f(x)是奇函数知f(x)f(x)，所以aa，得2a，所以a1，所以f(x)1.因为ex11，所以01，111，所以函数f(x)的值域为(1,1)法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)a10，即a1，所以f(x)1.因为ex11，所以01，111，所以
3、函数f(x)的值域为(1,1)5设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则f(7)()A3 B3C2 D2B因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)所以f(7)f(7)log2(71)3.二、填空题6已知函数f(x)是偶函数，当x0时，f(x)ln x，则f的值为_ln 2由已知可得fln 2，所以ff(2)又因为f(x)是偶函数，所以ff(2)f(2)ln 2.7已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(2 019)_.3由已知，可得f(x4)f(x2)2f(x)故函数f(x)的周期为4.所以f(2 019)f(45043)f(3)3.8已知
4、函数f(x)x1，f(a)2，则f(a)_.4法一：因为f(x)1x，设g(x)f(x)1x，易判断g(x)x为奇函数，故g(x)g(x)xx0，即f(x)1f(x)10，故f(x)f(x)2.所以f(a)f(a)2，故f(a)4.法二：由已知得f(a)a12，即a3，所以f(a)a11314.三、解答题9f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式解当x0时，x0，则f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以当x0时，f(x)2x23x1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)0.综上可得f(x)的解析式为f(x)1
5、0设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有ff成立(1)证明yf(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值解(1)证明：由ff，且f(x)f(x)，知f(3x)fff(x)f(x)，所以yf(x)是周期函数，且T3是其一个周期(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，且f(1)f(1)2，又T3是yf(x)的一个周期，所以f(2)f(3)f(1)f(0)202.1若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)()Aexex B.(exex)C.(exex) D.(exex)D因为f(x)g(x)ex，所以
6、f(x)g(x)f(x)g(x)ex，所以g(x)(exex)2已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为()A6 B7C8 D9B因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0x2时，f(x)x3xx(x1)(x1)，所以当0x2时，f(x)0有两个根，即x10，x21.由周期函数的性质知，当2x4时，f(x)0有两个根，即x32，x43；当4x6时，f(x)0有三个根，即x54，x65，x76，故f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点个数为7.3奇函数f(x)的定义域为R，若f(x1)为偶函数，且f(1
7、)2，则f(4)f(5)_.2f(x1)为偶函数，f(x)是奇函数，f(x1)f(x1)，f(x)f(x)，f(0)0，f(x1)f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x22)f(x2)f(x)，f(x)是周期为4的周期函数，则f(4)f(0)0，f(5)f(1)2，f(4)f(5)022.4已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，则x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2
8、上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,31定义在R上的函数f(x)，满足f(x5)f(x)，当x(3,0时，f(x)x1，当x(0,2时，f(x)log2x，则f(1)f(2)f(3)f(2 019)的值等于()A403 B405C806 D809B定义在R上的函数f(x)，满足f(x5)f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x(0,2时，f(x)log2x，所以f(1)log210，f(2)log221.当x(3,0时，f(x)x1，所以f(3)f(2)1，f(4)f(1)0，f(5)f(0)1.故f(1)f(2)f(3)f(2 019)403f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 016)f(2 017)f(2 018)f(2 019)4031f(1)f(2)f(3)f(4)4030110405.2已知函数f(x)log2(x)是奇函数，则a_，若g(x)则g(g(1)_.1由f(x)log2(x)得x0，则a0，所以函数f(x)的定义域为R.因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)log20，解得a1.所以g(1)f(1)log2(1)0，g(g(1)21.