1、第五节直线、平面垂直的判定与性质考点直线、平面垂直的判定与性质1.(2014浙江，6)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A.若mn，n，则mB.若m，则mC.若m，n，n，则mD.若mn，n，则m解析选项A、B、D中m均可能与平面平行、垂直、斜交或平面内，故选C.答案C2.(2013浙江，4)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A.若m，n，则mnB.若m，m，则C.若mn，m，则nD.若m，则m解析A选项中直线m，m可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B选项中，与也可能相交，此时直线m平行于，的交线；D选项中，m也可能平行于.故选C.答案C3.(201
2、3大纲全国，11)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B. C. D.解析如图，设AA12AB2，AC交BD于点O，连接OC1，过C作CHOC1于点H，连接DH.BDAC，BDAA1，BD平面ACC1A1.CH平面ACC1A1，CHBD.CH平面C1BD.CDH为CD与平面BDC1所成的角.OC1.由等面积法得OC1CHOCCC1，CH2.CH.sinCDH.故选A.答案A4.(2012浙江，5)设l是直线，是两个不同的平面()A.若l，l，则B.若l，l，则C.若，l，则lD.若，l，则l解析A选项中由l，l不能确定与的位置关
3、系，C选项中由，l可推出l或l，D选项由，l不能确定l与的位置关系.答案B5.(2011全国，8)已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足.若AB2，ACBD1，则CD()A.2 B. C. D.1解析由题意得AB2AC2CD2BD2，即41CD21，解得CD，故选C.答案C6.(2010湖北，4)用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a，b，则ab.其中真命题的序号是()A. B. C. D.解析由公理4知是真命题.在空间内ab，bc，直线a、c的关系不确定，故是假命题.由a，b，不能判定
4、a、b的关系，故是假命题.是直线与平面垂直的性质定理.故选C.答案C7.(2012辽宁，16)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形.若PA2，则OAB的面积为_.解析将直四棱锥补成长方体如图：球O的直径2R4，R2.SOAB233.答案38.(2015新课标全国，18)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.解(1)因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面B
5、ED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在Rt AEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3.故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.9.(2015安徽，19)如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值.(1)解
6、由题设AB1，AC2，BAC60，可得SABCABACsin 60.由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高，又PA1.所以三棱锥PABC的体积VSABCPA.(2)证明在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN，又BM平面MBN，所以ACBM.在RtBAN中，ANABcosBAC，从而NCACAN，由MNPA，得.10.(2015湖北，20)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图
7、所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.(1)证明：DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值.解(1)因为PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.而DE平面PCD，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四
8、面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB.(2)由已知，PD是阳马PABCD的高，所以V1SABCDPDBCCDPD；由(1)知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以V2SBCEDEBCCEDE.在RtPDC中，因为PDCD，点E是PC的中点，所以DECECD，于是4.11.(2015浙江，18)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.(1)证明设E为BC的中点，由题意得A1E平面ABC，
9、所以A1EAE，因为ABAC，所以AEBC.故AE平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以AA1DE为平行四边形.于是A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)解作A1FDE，垂足为F，连接BF.因为A1E平面ABC，所以BCA1E.因为BCAE，所以BC平面AA1DE.所以BCA1F，A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角.由ABAC2，CAB90，得EAEB.由A1E平面ABC，得A1AA1B4，A1E.由DEBB14.DA1EA，DA1E90，得A1F.所以si
10、n A1BF.12.(2015天津，17)如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证：EF平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.(1)证明如图，连接A1B，在A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EFBA1.又因为EF平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)证明因为ABAC，E为BC中点，所以AEBC，因为AA1平面ABC，BB1AA1，所以BB1平面ABC，从而BB1AE.又因为BCBB1B，所以AE平面BCB1，又因为A
11、E平面AEA1，所以平面AEA1平面BCB1.(3)解取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NEB1B，NEB1B，故NEA1A且NEA1A，所以A1NAE，且A1NAE.又因为AE平面BCB1，所以A1N平面BCB1，从而A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角.在ABC中，可得AE2，所以A1NAE2.因为BMAA1，BMAA1，所以A1MAB，A1MAB，又由ABBB1，有A1MBB1.在RtA1MB1中，可得A1B14.在RtA1NB1中，sinA1B1N，因为A1B1N30.所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为
12、30.13.(2014重庆，20)如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM.(1)证明：BC平面POM；(2)若MPAP，求四棱锥PABMO的体积.(1)证明如图，因四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连接OB，则AOOB.因BAD，故OBABsinOAB2sin1，又因BM，且OBM，在OBM中，OM2OB2BM22OBBMcosOBM12()221cos .所以OB2OM2BM2，故OMBM.又PO底面ABCD，所以POBC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC平面POM.(2)解由(1)可得，OAA
13、BcosOAB2cos .设POa，由PO底面ABCD知，POA为直角三角形，故PA2PO2OA2a23.由POM也是直角三角形，故PM2PO2OM2a2.连接AM，在ABM中，AM2AB2BM22ABBMcosABM2222cos.由已知MPAP，故APM为直角三角形，则PA2PM2AM2，即a23a2，得a，a(舍去)，即PO.此时S四边形ABMOSAOBSOMBAOOBBMOM1.所以四棱锥PABMO的体积VPABMOS四边形ABMOPO.14.(2014新课标全国，19)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.(1)证明：B1
14、CAB；(2)若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高.(1)证明连接BC1，则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，又因为BC1AOO，所以B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)解作ODBC，垂足为D，连接AD.作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，AOODO，故BC平面AOD，所以OHBC.又OHAD，所以OH平面ABC.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形，又BC1，可得OD.由于ACAB1，所以OAB1C.由OHADODOA，且AD，得OH.又O为B1C
15、的中点，所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABCA1B1C1的高为.15.(2013江西，19)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3.(1)证明：BE平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离.(1)证明过B作CD的垂线交CD于F，则BFAD，EFABDE1，FC2.在RtBFE中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，因为BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1，又BCBB1B，所以BE平面BB1C1C.(2)解连接B1E，则三棱锥EA1B1C1的体积VAA1SA1B
16、1C1.在RtA1D1C1中，A1C13.同理，EC13，A1E2.故SA1C1E3.设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1A1C1E的体积VdSA1C1Ed，从而d，d.16.(2013北京，17)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD平面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以ABED为平行四边形，所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.且PAADA，所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.又CDBE，EFBEE，所以CD平面BEF.且CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.