1、课时跟踪检测（六） 用空间向量研究距离、夹角A级基础巩固1已知平面的一个法向量为n(2，2,1)，点A(1,3,0)在平面内，则点P(2,1,4)到平面的距离为()A10B3C.D.解析：选D点P到平面的距离d.2在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，则AC与BD1所成角的余弦值为()A0B.CD.解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2，0,0)，C(0,2,0)所以(2，2,3)，(2,2,0)所以cos，0.3在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成
2、角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，可知CB1C160，DC1D145，设B1C11，CC1DD1.C1D1，则有B1(，0,0)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)(0,1，)，(，0，)cos，.4已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，设AA12AB2，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，故(1,1,0)， (0,1,2)，(0,1,0)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，
3、则y2，x2，所以平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设直线CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|，故选A.5.如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，AA1AB2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选C设AD1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)因为E，F分别为C1D1，A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以(1,1,0)，(0,2，2)设m(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则即取x1，则yz1，所以平面A1BE的一个法向量为m(1
4、,1,1)又因为DA平面A1B1B，所以(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cosm，.所以平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值为，故选C.6在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin， _.解析：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2.则C(0,2,0)，M(2,0,1)，D1(0,0,2)，N(2,2,1)(2，2,1)，(2,2，1)cos，.sin，.答案：7.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，O为BC中点，设
5、三棱柱的棱长为2a，则点A(a,0,0)，B(0，a,0)，B1(0，a,2a)，M(0，a，a)，(a，a,2a)，(0，2a，a)，所以0，因此异面直线AB1与BM所成的角为90.答案：908.如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PDAB1，G为ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的余弦值为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，所以G，.易知平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，则cos，n，所以PG与平面ABCD所成角的余弦值为.答案：9如图，已知正方体ABCDA1B
6、1C1D1，求A1B与平面A1B1CD所成角的大小解：法一：如图(1)，连接BC1，与B1C交于点O，连接A1O.BC1B1C，A1B1BC1，A1B1B1CB1，BC1平面A1B1CD，A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O.OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角设正方体的棱长为1.在RtA1OB中，A1B，BO，sinOA1B，OA1B30，即A1B与平面A1B1CD所成的角为30.法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图(2)所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C(0,1,0)，(1,0,1)，
7、(0,1,0)设平面A1B1CD的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得x1，n(1,0，1)又B(1,1,0)，(0,1，1)cosn，.n，60.A1B与平面A1B1CD所成的角为30.10.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求平面A1BD与平面A1AD所成角的正弦值解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，则A(0,0,
8、0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0，0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)则cos，.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)可知平面A1DA的一个法向量为(，0,0)设m(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，则即不妨取x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面BA1D的一个法向量，从而cos，m.设平面A1BD与平面A1AD所成角的大小为，则|cos |.因为0，所以sin .因此平面A1BD与平面A1AD所成角的正弦值为.B级综合运用11.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，ABBC1，
9、动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A.B.C.D.解析：选C建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0，1,0)，C1(0,1,2)设点P的坐标为(0，2)，0,1，点Q的坐标为(1，0)，0,1，PQ ，当且仅当，时，线段PQ的长度取得最小值，为.12正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，
10、B1(a，a，a)，E，F，设平面A1D1E的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即令z2，得n(0,1,2)又，所求距离da.答案：a13.正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为_解析：取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系设BC1，则A，B，C，D，所以，.设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，则所以取x1，则y，z1，所以n(1，1)，所以cosn，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.答案：14.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABCD，ADCD1，BAD120，ACB90.(1)求证：BC平
11、面PAC；(2)若平面PCD与平面PAC所成角的余弦值为，求点A到平面PBC的距离解：(1)证明：PA底面ABCD，BC平面ABCD，PABC，ACB90，BCAC，又PAACA，BC平面PAC.(2)设APh，取CD的中点E，则AECD，AEAB.又PA底面ABCD，PAAE，PAAB，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0，h)，C，D，B(0,2,0)，(0,1,0)，设平面PDC的法向量n1(x1，y1，z1)，则即取x1h，n1.由(1)知平面PAC的一个法向量为，|cosn1，|，解得h，同理可求得平面PBC的一个法向量n2(3，2)，所以，点A到平面PBC
12、的距离为d.C级拓展探究15.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点(1)设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；(2)当AB3，AD2时，求平面AGE与平面ACG所成角的大小解：(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EBC120，因此CBP30.(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)，设m(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量由可得取z12，可得平面AEG的一个法向量m(3，2)设n(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量由可得取z22，可得平面ACG的一个法向量n(3，2)所以cosm，n.因此平面AGE与平面ACG所成的角为60.
