1、第5节一元二次不等式及其解法一、教材概念结论性质重现1一元二次不等式一般地，形如ax2bxc0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a0.一元二次不等式中的不等号也可以是“0或(xa)(xb)0型不等式的解集不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bx0(0(0对任意实数x恒成立或不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)不等式0的解集为1,2()(2)若不等式ax2bxc0.()(3)若方程ax2bxc0(a0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上
2、恒成立的条件是a0的解集为，则ab_.14解析：由题意知x1，x2是方程ax2bx20的两个根，则解得(经检验知满足题意)所以ab14.考点1一元二次不等式的解法综合性考向1不含参数的一元二次不等式的解法(1)函数y的定义域是_1,7解析：要使函数有意义，需76xx20，即x26x70，解得1x7.故所求函数的定义域为1,7(2)解不等式：0x2x24.解：原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或2x3解一元二次不等式的一般方法和步骤考向2含参数的一元二次不等式的解法解不等式x2(a1)xa0.解：原不等式可化为(xa)(x1)1时，原不等式的解集为(1，a)；当a1时
3、，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为(a,1)将本例中不等式改为ax2(a1)x10)，求不等式的解集解：原不等式可化为(ax1)(x1)0，所以a(x1)1时，解得x1；当a1时，解集为；当0a1时，解得1x.综上，当0a1时，不等式的解集为.解含参数一元二次不等式的分类讨论依据提醒：含参数讨论问题最后要综上所述1(2019天津卷)设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围为_解析：3x2x20变形为(x1)(3x2)0，解得1x，故使不等式成立的x的取值范围为.2(2021江淮十校联考)已知函数f(x)则不等式x2f(x)x20的解集是_x|1x1解析：原不等式等价于或即或所
4、以1xa2.解：因为12x2axa2，所以12x2axa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，0，不等式的解集为x|x0；当a，不等式的解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|x0；当a0的解集为，则不等式bx25xa0的解集为()ABCx|3x2Dx|x2C解析：由题意知a0，且，是方程ax25xb0的两根，所以解得所以不等式bx25xa5x25x300，即x2x60，解得3x0的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()Ax|2x0的解集是，所以ax2bx10的解是x1和x2，且a0，所以解得则不等式x2bxa0即
5、为x25x60，解得x2或x3.所以不等式x2bxa0的解集是x|x2或x33若关于x的不等式axb0的解集是()A(，1)(3，) B(1, 3)C(1,3) D(， 1)(3，)C解析：由关于x的不等式axb0的解集是(1，)，可知ab0可化为(x1)(x3)0，解得1x3.所以不等式的解集是(1, 3)1. 一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值2给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以借助根与系数的关系求待定系数考点3一元二次不等式的恒成立问题应用性考向1在实数集R上的恒成立问题若不等式(a2)x22(a2)x
6、40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2 B2,2C(2,2 D(，2)C解析：当a20，即a2时，不等式为40，对一切xR恒成立当a2时，则即解得2a0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图像转化为等价不等式(组)求范围(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为m，n，则f(x)a恒成立f(x)mina，即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa，即na.函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当xR时，x2ax3a0恒成立则a24(3a)0，即a24a120，解得6a2.所以实数a的取值范围是6,2(2)对于任意x2,2，f(x)a恒成立，即x2ax3a0对任意x2,2恒成立令g(x)x2ax3a，则有0或或解得6a2，解得a，解得7a6.综上可知，实数a的取值范围为7,2