1、圆锥曲线(推荐时间：70分钟)1 如图，F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值解(1)设椭圆的半焦距为c.由题意可知，AF1F2为等边三角形，所以bc，b23c2，a24c2，a2c，所以e.(2)方法一因为a24c2，b23c2，所以直线AB的方程可设为y(xc)将其代入椭圆方程3x24y212c2，得B.所以|AB|c.由SAF1B|AF1|AB|sinF1ABaca240，解得a10，b5.方法二设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2
2、|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at.再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240知，a10，b5.2 已知ABC中，点A，B的坐标分别为(，0)，(，0)，点C在x轴上方(1)若点C坐标为(，1)，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程；(2)过点P(m,0)作倾斜角为的直线l交(1)中曲线于M，N两点，若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值解(1)设椭圆方程为1，c，2a|AC|BC|4，b，椭圆方程为1.(2)直线l的方程为y(xm)，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，由方程组得3x24mx2m24
3、0，即若Q恰在以MN为直径的圆上，则1，则m21(m1)(x1x2)2x1x20，3m24m50，解得m.将m值代入8m2480.m3 已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且2.(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围解(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，由题意知a2，bc，又a2b2c2，则b，所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立即则(2k2)x22mkxm240，(2
4、mk)24(2k2)(m24)0，由根与系数的关系知又2，即有(x1，my1)2(x2，y2m)x12x2，22，整理得(9m24)k282m2，又9m240时不成立，k20，得m20.m的取值范围为.4 已知椭圆C1：1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率(1)求椭圆C2的方程；(2)设直线l与椭圆C2相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为(2,0)，若点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且4，求直线l的方程解(1)由题意可设椭圆C2的方程为1(ab0)则a2，e.c，b21.椭圆C2的方程为y21.(2)由A(2,0)，设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k
5、，则直线l的方程为yk(x2)于是A，B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0，由2x1，得x1，从而y1，设线段AB的中点为M，则M的坐标为.当k0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是(2，y0)，(2，y0)，由4，得y02.l的方程为y0.当k0时，线段AB的垂直平分线方程为y，令x0，解得y0，由(2，y0)，(x1，y1y0)，2x1y0(y1y0)4，整理得7k22，故k，l的方程为y(x2)5 已知B是椭圆E：1(ab0)上的一点，F是椭圆右焦点，且BFx轴，B.(1)求椭圆E的方程；(2)设A1和A2是长轴
6、的两个端点，直线l垂直于A1A2的延长线于点D，|OD|4，P是l上异于点D的任意一点直线A1P交椭圆E于M(不同于A1，A2)，设，求的取值范围解(1)依题意半焦距c1，左焦点为F(1,0)则2a|BF|BF|，由B，|BF|，由距离公式得|BF|，2a4，a2，b2a2c222123.所以椭圆E的方程为1.(2)由(1)知，A1(2,0)，A2(2,0)设M(x0，y0)M在椭圆E上，y(4x)由P，M，A1三点共线可得P.(x02，y0)，.2(x02)(2x0)，2x00恒成立，故f(t)为严格增函数，从而f(t)maxf(4)192，即SPAB的最大值为24，相应的y1的值为0或8.