1、第13章集合&常用逻辑用语&不等式(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2021江苏海安高级中学高一月考)设集合A=x|y=x-1,集合B=x|2x-x20,则(RA)B等于()A.(0,2)B.1,2)C.(0,1)D.(2,+)2.(2021山西怀仁高一上期中)王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其从军行传颂至今:“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还.”由此推断,其中最后一句“攻破楼兰”是“返还家乡”的()A.充分条件B.必要条件 C
2、.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2021江苏宿迁高一期中)已知a,b,c,dR,则下列说法正确的是()A.若ab,cb-dB.若ab,cd,则acbdC.若ab0,则1ab,则ac2bc24.(2021江苏南通高一期末)已知正数a,b满足a+2b=1,则1a+2b的最小值为()A.8B.9C.10D.不存在5.(2021山东德州高一期末)已知不等式ax2-bx-a30的解集是-4,1,则ab的值为()A.-64B.-36C.36D.646.(2021江苏宝应中学高一月考)为了迎接元旦,某学校举办了班级文化建设比赛,某班设计的班徽是一个直角三角形图案.已知该直角三角形的面积为50,则它周
3、长的最小值为()A.20B.102C.40D.102+207.(2021江苏如皋第一中学高一月考)命题“x1,2,3x2-a0”为真命题的一个必要不充分条件是()A.a4B.a2C.a3D.a18.(2021山东潍坊高一期中)用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B=C(A)-C(B),C(A)C(B),C(B)-C(A),C(A)0有实数解的充分不必要条件的有()A.a=0B.a-3+22C.a0D.a-3-2210.(2021江苏南通栟茶高级中学高一期中)设全集为U,在下列选项中,是BA的充要条件的有()A.AB=AB.AB=AC.(UA)(UB)D.A(UB)=U11.(2021
4、江苏南通如东高级中学高一月考)已知a,b,c为正实数,则()A.若ab,则abbc,则1a-b+1b-c4a-cD.若a+b+c=3,则a2+b2+c2的最小值为312.(2021江苏昆山中学高一月考)已知集合A=x|ax2+bx+c0,a4,则p为.14.(2021江苏宿迁泗阳中学高一月考)已知关于x的不等式(ax-1)(x+1)0的解集是-,1a(-1,+),则实数a的取值范围是.15.(2021湖南郴州高一期末)已知命题p:x1,2,x2-a0,命题q:xR,x2-2ax+4=0,若命题p和命题q都是真命题,则实数a的取值范围是.16.(2021江苏句容高级中学高一月考)已知二次函数y=
5、ax2+bx+c(a,b,c均为正数)的图象过点(1,1),值域为0,+),则ac的最大值为;实数满足1-b=a,则的取值范围为.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2021江苏常州武进高级中学高一月考)已知集合A=x|a-1x2a+3,B=x|x2-2x-80.(1)当a=2时,求AB;(2)若,求实数a的取值范围.在AB=A,A(RB)=A,AB=这三个条件中任选一个,补充在(2)中的横线上,并求解.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12分)(2021安徽黄山高一期末)设p:3x-22x-31,q:|x-1|0
6、).(1)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围;(2)若p是q的必要条件,求实数a的取值范围.19.(12分)(2021江苏无锡太湖高级中学高一期中)已知不等式mx2+nx-1m0的解集为x|x2.(1)求m,n的值;(2)解关于x的不等式(2a-1-x)(x+m)0,其中a是实数.20.(12分)(2021江苏南京六合高级中学高一期末)设命题p:对任意x1,4,不等式x2-4x+2m2-3m恒成立;命题q:存在x0,12,使得不等式x2-x+m-540成立.(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若p、q有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围.21.(12分)(2021浙南名
7、校联盟高一开学考试)新冠肺炎疫情期间,某卫生防疫部门每天都需要对辖区的公共区域进行消毒作业.已知该部门每天需要消毒液200千克,价格为7.2元/千克,每次购买消毒液需支付运费300元,如果该部门x天购买一次消毒液,每次购买来的消毒液还需支付保管费用,其标准如下:7天以内(含7天),无论重量是多少,均按100元/天支付,超过7天部分的,还需一次性追加额外保管费用P=20(x-6)(x-7)+160元.(1)写出该部门在这x天中用于消毒作业的总费用y(元)关于x的函数关系式;(2)该部门多少天购买一次消毒液才能使平均每天支付的费用W(元)最少?22.(12分)(2021北京一零一中学高一期末)设A
8、是由n个实数构成的一个有序数组,记作A=(a1,a2,ai,an),其中ai(i=1,2,n)称为数组A的“元”,i称为数组A的“元”ai的下标,如果数组S=(b1,b2,bm)(mn,mN*)中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”,则称S为A的“子数组”.定义两个数组A=(a1,a2,an),B=(b1,b2,bn)的“关系数”为C(A,B)=a1b1+a2b2+anbn.(1)若A=-12,12,B=(b1,b2,b3,b4),且B中的任意两个“元”互不相等,B的含有两个“元”的不同“子数组”共有p个,分别记为S1,S2,Sp.p=;若bjN*,1bj101(j=1,2,3,4),
9、记X=i=1p|C(A,Si)|,求X的最大值与最小值(表示求和);(2)若A=33,33,33,B=(0,a,b,c),且a2+b2+c2=1,S为B的含有三个“元”的“子数组”,求C(A,S)的最大值.答案第13章集合&常用逻辑用语&不等式1.C集合A=x|y=x-1=x|x-10=x|x1,则RA=x|x0=x|x(x-2)0=x|0x2,所以(RA)B=x|0x1=(0,1).故选C.2.B由题意知“返还家乡”可推出“攻破楼兰”,所以“攻破楼兰”是“返还家乡”的必要条件.3.A由c-d,因为ab,所以a-cb-d成立,A正确;当a=2,b=1,c=-1,d=-2时,ab,cd成立,ac
10、=-2,bd=-2,acbd不成立,B错;当a=-2,b=-1时,ab0成立,1a=-12,1b=-1,1ab,c=0时,ac2bc2不成立,D错.故选A.4.B因为正数a,b满足a+2b=1,所以1a+2b=1a+2b(a+2b)=1+2ba+2ab+45+22ba2ab=9,当且仅当2ba=2ab,即a=b=13时,等号成立.故选B.5.D不等式ax2-bx-a30的解集是-4,1,a0,且ax2-bx-a3=0的两根为-4和1.a0,ba=-3,-a3a=-4,解得a=-2,b=6.ab=(-2)6=64.故选D.6.D设两直角边长分别为a,b,则斜边长为a2+b2,所以该直角三角形的面
11、积S=12ab=50,所以ab=100.该三角形的周长C=a+b+a2+b22ab+2ab=20+102,当且仅当a=b=10时,等号成立,故周长的最小值为102+20.故选D.7.A若“x1,2,3x2-a0”为真命题,则3x2a在x1,2上恒成立,故a(3x2)min=3.结合选项知a4是“x1,2,3x2-a0”为真命题的一个必要不充分条件.故选A.8.DA=x|x2+x=0=-1,0,因为(x2+ax)(x2+ax+1)=0等价于x2+ax=0或x2+ax+1=0,且A=-1,0,A*B=1,所以集合B中要么只有1个元素,要么有3个元素.若B中只有1个元素,则方程x2+ax=0有两个相
12、等实数根,方程x2+ax+1=0无实数根,故a=0;若B是中有3个元素,则方程x2+ax=0有两个不相等实数根,方程x2+ax+1=0有两个相等且异于方程x2+ax=0的实数根,即a2-4=0a=2且a0.综上所述,a=0或a=2,即S=0,-2,2,故C(S)=3.故选D.9.AC当a0时,不等式必有解,当a0a-3-22或-3+22ab0,c0,所以a-b0,b+c0,所以ab-a+cb+c=c(a-b)b(b+c)0,所以aba+cb+c,故A不正确;因为a+b=1,所以b2a+a2b=b2a+a+a2b+b-(a+b)2b+2a-(a+b)=a+b=1,当且仅当a=b=12时取等号,所
13、以b2a+a2b的最小值为1,故B正确;因为abc,所以a-b0,b-c0,a-c0,所以(a-c)1a-b+1b-c=(a-b)+(b-c)1a-b+1b-c=2+b-ca-b+a-bb-c2+2b-ca-ba-bb-c=4,当且仅当b-c=a-b,即2b=a+c时取等号,所以1a-b+1b-c4a-c,故C正确; a2+b2+c3=13(a2+b2+c2)+(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)13(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca)=13(a+b)2+2(a+b)c+c2=13(a+b+c)2=3,当且仅当a=b=c=1时,等号成立,所以a2+b2+c2的最小值为3,故D
14、正确.12.BCD因为集合A=x|ax2+bx+c0,aa0且=b2-4ac=0.所以M=a+3b+4cb-a=a(a+3b+4c)a(b-a)=a2+3ab+b2ab-a2=1+3ba+ba2ba-1.令t=ba-10,可得ba=t+1,所以M=1+3(t+1)+(t+1)2t=t2+5t+5t=t+5t+52t5t+5=25+5,当且仅当t=5时,等号成立.故选BCD.13.答案x(2,+),x24解析命题p:x(2,+),x24的否定为p:x(2,+),x24.14.答案-1,0)解析由题意可得a0,所以不等式可化为ax-1a(x+1)0.因为不等式的解集是-,1a(-1,+),所以a0
15、,1a-1,解得-1a0,b0,c0).a0,且函数的最小值为0,=b2-4ac=0,b=2ac.a+b+c=a+2ac+c=1,(a+c)2=1,a+c=1.1=a+c2ac,即ac12,当且仅当a=c=14时,等号成立,ac14,即ac116,当且仅当a=c=14时,等号成立.ac的最大值为116.a=1-b=a+c=a+(1-a)2=2a-2a+1,=2a+1a-2.a+c=2a-2a+1=1-b1,即2a-2a0,a-a0,a-a=a(a-1)0,0a1,0a1.22a1a-2=22-2,当且仅当2a=1a,即a=12时,等号成立.22-2,+).17.解析(1)当a=2时,集合A=x
16、|1x7,B=x|x2-2x-80=x|-2x4,所以AB=x|-2xa-1,2a+3-2或2a+3a-1,a-14,解得-4a-1,2a+3-2或2a+3a-1,a-14,解得-4a-52或a5.(8分)综上,实数a的取值范围为-,-525,+).(10分)18.解析设A=x|3x-22x-31,B=x|x-1|0),则A=x|-1x32,B=x|1-ax0.(2分)(1)因为p是q的充分不必要条件,所以AB,(4分)所以1-a0,解得a2.所以实数a的取值范围为(2,+).(7分)(2)因为p是q的必要条件,所以AB,(9分)所以1-a-1,1+a32,a0,解得0a12.所以实数a的取值
17、范围为0,12.(12分)19.解析(1)依题意得m0,即(2a-1-x)(x-1)0,即x-(2a-1)(x-1)0.当2a-11,即a1时,原不等式的解集为x|2a-1x1,即a1时,原不等式的解集为x|1x2a-1.(10分)综上所述,当a1时,不等式的解集为x|2a-1x1时,不等式的解集为x|1x2a-1.(12分)20.解析(1)对任意x1,4,不等式x2-4x+2m2-3m恒成立,即在x1,4上,(x2-4x+2)minm2-3m.(1分)易知当x=2时,y=x2-4x+2取得最小值-2,(2分)-2m2-3m,解得1m2.故当p为真命题时,实数m的取值范围是1m2.(4分)(2
18、)存在x0,12,使得不等式x2-x+m-540成立,即在x0,12上,x2-x+m-54max0.(5分)易知当x=0时,y=x2-x+m-54取得最大值m-54.(6分)m-540,解得m54.当q为真命题时,实数m的取值范围是m54.(8分)若p为假命题,q为真命题,则m2,m54,解得m2;(9分)若q为假命题,p为真命题,则1m2,m54,解得1m54.(10分)综上所述,1m2.(12分)21.解析(1)当x7时,y=2007.2x+100x+300=300+1 540x;(2分)当x7时,y=2007.2x+300+700+20(x-6)(x-7)+160=20x2+1 180x
19、+2 000.(4分)综上所述,y=300+1 540x,x7,20x2+1 180x+2 000,x7.(6分)(2)当x7时,W=300+1 540xx=1 540+300x,所以当x=7时,Wmin=1 540+30071 583.(8分)当x7时,W=20x2+1 180x+2 000x=20x+2 000x+1 180=20x+100x+1 180,易知20x+100x+1 180202x100x+1 180=1 580,当且仅当x=100x,即x=10时,等号成立,所以Wmin=1 580.(10分)因为1 5831 580,所以该部门10天购买一次消毒液才能使平均每天支付的费用最
20、少.(12分)22.解析(1)根据“子数组”的定义可得,B的含有两个“元”的不同“子数组”有(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共6个,p=6.(2分)不妨设b1b2b3b4,X=i=16|C(A,Si)|=-12b1+12b2+-12b1+12b3+-12b1+12b4+-12b2+12b3+-12b2+12b4+-12b3+12b4=32(b4-b1)+12(b3-b2).(4分)因为1bj101(j=1,2,3,4),所以当b1=1,b2=2,b3=100,b4=101时,X取得最大值32100+1298=199;当b1,b2,
21、b3,b4是连续的四个整数时,X取得最小值323+121=5.(6分)(2)由B=(0,a,b,c),且a2+b2+c2=1,可知实数a,b,c具有对称性,故分S中含0和不含0两种情况进行讨论.当0是S中的“元”时,因为A=33,33,33中的三个“元”都相等,且B中三个“元”a,b,c有对称性,所以计算C(A,S)=33(a+b)的最大值即可.因为a2+b2+c2=1,所以(a+b)22(a2+b2)2(a2+b2+c2)=2,所以a+b-2,2,所以当c=0,a=b=22时,a+b取得最大值2,故C(A,S)max=332=63.(8分)当0不是S中的“元”时,C(A,S)=33(a+b+c)33(a+b+c)2=33a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),因为a2+b22ab,b2+c22bc,a2+c22ac,所以33a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)333(a2+b2+c2)=1,当且仅当a=b=c=33时,等号成立,故C(A,S)max=1.(10分)综上,C(A,S)max=1.(12分)
