1、2 导数在实际问题中的应用21 实际问题中导数的意义重点：导数实际意义的应用难点：实际问题与导数概念及导数运算的结合问题.实际问题中导数的意义自变量x原函数f(x)导函数f(x)_路程速度长度质量_时间功_时间降雨量_产量生产成本_疑难提示利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去(2)在实际问题中，由f(x)0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值练一练1若一物体运动的路程s与时间t之间的关系为ss(t)，当s(t)0时，则()A
2、物体做匀加速运动 B物体做匀减速运动C物体做变速运动D物体处于静止状态2某收音机制造厂管理者通过对上午班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)t39t212t，则Q(2)_，它的实际意义为_读教材 理要点时间 线密度 功率 降雨强度 边际成本研重点 究疑点1D vs(t)0，物体处于静止状态故选D.236台/小时 10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时 Q(t)3t218t12，Q(2)36.例1 一个电路中，流过的电荷量Q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数为Q(t)3t2ln t.(1)求当t从1变
3、到2时，电荷量Q关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求Q(2)，并解释它的实际意义思路引导(1)按平均变化率的公式计算平均变化率；(2)电荷量对于时间的导数是电流导数在物理学中的应用解析(1)当 t 从 1 变到 2 时，电荷量从 Q(1)变到 Q(2)，此时电荷量关于时间 t 的平均变化率为Q2Q121322ln 2312ln 118.31，它表示从 t1 s 到 t2 s 这段时间内，平均每秒经过该电路的电量为 8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为 8.31 A.(2)Q(t)6t1t，Q(2)11.5，它的实际意义是，在 t2 s 这一时刻，每秒经过该电路的电量为 1
4、1.5 C，也就是这一时刻内电路的电流为11.5 A.弄清平均变化率及导数的实际意义，记准基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则是解决该类问题的关键1某质点的运动方程为ss(t)2t23t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s)(1)求t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求s(1)，s(2)，并解释它们的实际意义解析：(1)t 从 1 s 变到 3 s 时，s 关于 t 的平均变化率为sts3s13127531 11(m/s)它表示从 t1 s 到 t3 s 这段时间内，该质点平均每秒的位移是 11 m.(2)根据导数公式表和导数的运算法则
5、，可得 s(t)4t3，则 s(1)437(m/s)，s(2)42311(m/s)s(1)和 s(2)分别表示 t1 s 和 t2 s 时，位移 s 关于时间 t 的瞬时变化率，即 t1 s 和 t2 s 时的瞬时速度工作效率问题例 2 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量 y(单位：g)是工作时间 x(单位：h)的函数，设这个函数表示为 yf(x)x2204 x.(1)求 x 从 1 h 变到 4 h 时，y 关于时间 x 的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求 f(1)，f(4)，解释它的意义思路引导(1)求出f1及f4 计算从1 h到4 h的平均变化率 解释其实际意义(2)求f
6、x 计算f1，f4 解释其意义解析(1)当 x 从 1 h 变到 4 h 时，产量 y 从 f(1)8120 g 变到 f(4)17620 g，此时平均变化率为f4f14117620 812031912(g/h)，它表示从 x1 h 到 x4 h 这段时间这个人平均每小时生产1912 g 产品(2)f(x)x10 2x，于是 f(1)2110 g/h，f(4)75 g/h，f(1)和 f(4)分别表示在第 1 h 和第 4 h 时刻这个人每小时生产产品2110 g 和75 g.1工作效率即产量对时间t的导数解决该类问题时要正确表示出工作时间与产品数量之间的函数关系式，然后利用相应的求导公式及法
7、则解决2由平均变化率和瞬时变化率的计算公式可知它们有时为负值或零，这时表示函数值减小或不变，解释导数的实际意义时要注意用词的不同2某考生在参加 2011 年高考数学考试时，其解答完的题目数量 y(单位：道)与所用时间 x(单位：分钟)近似地满足函数关系 y2 x.(1)求 x 从 0 分钟变化到 36 分钟时，y 关于 x 的平均变化率；(2)求 f(64)，f(100)，并解释它的实际意义解析：(1)x 从 0 分钟变化到 36 分钟，y 关于 x 的平均变化率为：f36f0360123613.它表示该考生前 36 分钟平均每分钟解答完13道题(2)f(x)1x，f(64)18，f(100)
8、110.它们分别表示该考生在第 64 分钟和第 100 分钟时每分钟可解答18和 110道题导数在经济生活中的应用例 3(12 分)某机械厂，生产某种机器配件的最大生产能力为每日100 件，假设日产品的总成本 C(元)与日产量 x(件)的函数为 C(x)14x260 x2 050.(1)求日产量 75 件时的总成本和平均成本；(2)当日产量由 75 件提高到 90 件时，求总成本的平均改变量；(3)求 C(75)，并解释它的意义 思路引导(1)利用总成本函数求总成本 求平均成本(2)求出C90及C75 计算从75件到件的平均改变量(3)求Cx 计算C75 解释其意义规范解答(1)日产量 75
9、件时的总成本为C(75)7 956.25(元)，2 分平均成本为 C(75)/75106.08(元/件).3 分(2)当日产量由 75 件提高到 90 件时，总成本的平均改变量CxC90C759075101.25(元/件).7 分(3)C(x)12x60，当 x75 时，C(75)97.5(元)10 分实际意义为：当日产量为 75 件时，再多生产 1 件产品，成本增加97.5 元，也就是日产量为 75 件时，成本增加的速度为 97.5 元/件.12 分3某厂生产某种产品 x 件的总成本 C(x)120 x10 x2100(元)(1)当 x 从 200 变到 220 时，总成本 C 关于产量 x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(2)求 C(200)，并解释它代表什么实际意义解析：(1)当 x 从 200 变到 220 时，总成本 C 从 C(200)540(元)变到C(220)626(元)此时总成本 C 关于产量 x 的平均变化率为C220C20022020086204.3(元/件)，它表示产量从 x200 件到 x220 件变化时平均每件的总成本(2)首先求 C(x)，根据导数公式和求导法则可得 C(x)110 x50，于是 C(200)11044.1(元/件)它指的是当产量为 200 件时，每多生产一件产品，需增加 4.1 元成本