1、广东省湛江市第二十一中学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数除法运算化简，由此判断所在象限.【详解】，在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限.故选：C.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题.2.设函数,则( )A. -6B. -3C. 3D. 6【答案】C【解析】【分析】由导数的定义可知f（1），求导，即可求
2、得答案【详解】根据导数的定义：则f（1），由f（x）2x+1，f（1）3，故选C【点睛】本题考查导数的定义，导数的求导法则，考查计算能力，属于基础题3.有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A. 21种B. 315种C. 153种D. 143种【答案】D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有97=63种，选一本数学书一本英语书有57=35种，选一本语文书一本英语书有95=45种，共有63+45+35=143种选法.故选D.4.曲线y=2sinx+cosx在点(，1)处的切线方程为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】
3、先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【详解】当时，即点在曲线上则在点处的切线方程为，即故选C【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取导数法，利用函数与方程思想解题学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程5.已知a为函数f（x）=x312x的极小值点，则a=A. 4B. 2C. 4D. 2【答案】D【解析】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数极值
4、点在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，时，则是极小值点，如果时，时，则是极大值点.6.在复平面上，满足的复数z的所对应的轨迹是( )A. 两个点B. 一条线段C. 两条直线D. 一个圆【答案】D【解析】【分析】设，代入，化简后得到复数z的所对应的轨迹方程，从而得出正确选项.【详解】设，运动轨迹圆.故选：D.【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.7.7人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是( )A. 3600B. 5040C. 120D. 2520【答案】A【解析】【分析】由题意可得，
5、可分2步进行求解：第一步：先对其他5人全排列；第二步：利用插空法，在5人中有个空位插入2人；再根据分步计数原理即可得出.【详解】根据题意，分2步进行分析：第一步：将除甲乙之外的5人全排列，有种情况，第二步：5人排好后，有6个空位，在6个空位中任选2个，安排甲乙，有种情况，则甲乙两人不相邻的排法有种；故选：A.【点睛】本题考查了不相邻的排列问题，不相邻问题利用插空法求解，属于较易题.8. 将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（ ）种A. 12B. 36C. 72D. 108【答案】B【解析】试题分析：第一步从名实习教师中选出名组成一个复合元素，共有种，
6、第二步把个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有,根据分步计数原理不同的分配方案有种，故选B考点：计数原理的应用9.已知随机变量，若，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二项分布的概率计算公式求出，根据方差的计算公式可求.【详解】随机变量，由，得，解得或.故选：D.【点睛】本题考查二项分布及二项分布的方差公式，属于基础题.10.已知随机变量服从正态分布，（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果.【详解】，所以，.故选：B.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.11.金庸先生
7、的武侠小说射雕英雄传第12回中有这样一段情节，“洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）A. 20B. 24C. 25D. 26【答案】D【解析】【分析】利用组合意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），故选：D.【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.12.的展开式中，的系数为A. 10B. 20C. 30D.
8、 60【答案】C【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.若函数，则_.【答案】3【解析】【分析】求出函数的导函数，代入值，解之可得答案.【详解】由，得，故答案为：3.【点睛】本题考查求函数的导函数相关的计算，求解时注意复合函数的导
9、函数的求法，属于基础题.14.从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_种（用数字填写答案）【答案】【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从人中任选人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.详解】根据题意，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，故至少有位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加
10、法运算求解.15.已知二项式，则展开式中的系数为_.【答案】10【解析】【分析】由题意，求得二项展开式的通项，利用展开式的通项，即可求解的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式展开式中令，解得，所以，所以展开式中的系数为10.故答案为：10.【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数的求解，其中熟记二项展开式的通项，利用通项求解指定项的系数是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是_【答案】【解析】试题分析：当时，则又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义【知
11、识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若复数，当实数为何值时（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）对应的点在第二象限.【答案】(1)m=2或m=-1 (2)m=-3 (3)m范围【解析】【分析】（1）根据复数的分类条件可求出的值;（2）根据纯虚数的条件可得出结果;（3）利用复数的几何意义,转化为的不等式,即可求的取值范围.【详解】（1）当是实数时,解得或,所求的值为或;（2）当是纯虚数时,解得,所求的值为;
12、（3）当对应的点在第二象限时,解得,实数的取值范围是.【点睛】本题考查复数的分类,以及复数的几何意义,考查等价转化,数形结合思想,属于基本题.18.某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为，且两人健身时间都不会超过3小时.（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为
13、随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望；（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.【答案】（1）见解析，40元（2）6000元【解析】【分析】（1）甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况，分情况计算即可（2）根据（1）结果求均值【详解】解：（1）由题设知可能取值为0，20，40，60，80，则；.故的分布列为：020406080所以数学期望（元）（2）此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：（元）【点睛】考查离散型随机变量的分布
14、列及其期望的求法，中档题.19.已知函数(1)求的单调减区间(2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值.【答案】(1) （，1），（3，）(2)-7【解析】【详解】试题分析：（）先求出函数f（x）的导函数f（x），然后令f（x）0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；（）先求出端点的函数值f（2）与f（2），比较f（2）与f（2）的大小，然后根据函数f（x）在1，2上单调递增，在2，1上单调递减，得到f（2）和f（1）分别是f（x）在区间2，2上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间2，2上的最小值解：（）f（x）=3x2+6x+9令f（x）0，解得x1
15、或x3，所以函数f（x）的单调递减区间为（，1），（3，+）（）因为f（2）=8+1218+a=2+a，f（2）=8+12+18+a=22+a，所以f（2）f（2）因为在（1，3）上f（x）0，所以f（x）在1，2上单调递增，又由于f（x）在2，1上单调递减，因此f（2）和f（1）分别是f（x）在区间2，2上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=2故f（x）=x3+3x2+9x2，因此f（1）=1+392=7，即函数f（x）在区间2，2上的最小值为7点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减以及在闭区间上
16、的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力20.某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.方案一：每满100元减20元；方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款7折8折9折原价（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率；（2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？【答案】（1）（2）选择方案二更为划算【解析】【分析】（1）计算顾客获得7折优惠的概率，获得8
17、折优惠的概率，相加得到答案.（2）选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为126，144，162，180.，计算概率得到数学期望，比较大小得到答案.【详解】（1）该顾客获得7折优惠的概率，该顾客获得8折优惠的概率，故该顾客获得7折或8折优惠的概率.（2）若选择方案一，则付款金额为.若选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为126，144，162，180.，则.因为，所以选择方案二更为划算.【点睛】本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）极小值为：，无极大值；（2）【解析】【分析】（1）
18、将a的值带入，求出函数的导数，根据导函数的符号可确定函数的单调性，根据极值定义求出函数的极值即可；（2）利用分离变量的方法，构造函数，通过导数求得最小值，则，从而求得所求的最大值【详解】（1）时，则令，解得当时，单调递减；当时，单调递增极小值为：，无极大值（2）当时，由得：令，则令，解得：当时，单调递减；当时，单调递增 实数的最大值为【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解.解决恒成立问题的关键是通过分离变量的方法将问题转变为参数与函数最值之间的关系，通过求解函数的最值得到结果.22.上饶市在某次高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩近似服从正态分布
19、，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组，第二组，第六组，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试由样本频率分布直方图估计该校数学成绩的平均分数；（2）若从这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为，求的概率.附：若，则，.【答案】（1）112；（2）.【解析】【分析】（1）由频率之和为1，可求出的频率，进而由频率分布直方图求出平均数即可；（2）结合正态分布，可求得全市前13名的最低分数，从而可知这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的人数，及在全市前13名的人数，进而求出的概率即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知的频率为，估计该校全体学生的数学平均成绩为：；（2）由于，根据正态分布：，故，即前13名的成绩全部在135分以上根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有人，而在的学生有人的取值为0，1，2，3，.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查平均数的求法，考查正态分布的应用，考查概率的计算，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
