1、7-2简单几何体的表面积和体积基础巩固强化1.(文)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 B.a2C.a2 D5a2答案B解析三棱柱如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心O1、O2的连线的中点O处，连接O1B、O1O、OB，其中OB即为球的半径R，由题意知：O1B，所以半径R222，所以球的表面积是S4R2，故选B.(理)(2012昆明第一中学模拟)侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱已知直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且ABAC1，BC，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于()A1 B.C2 D.答案D解析设
2、球O的半径为R，则，R，设ABC外接圆半径为r，BC边上的高为h，则h，(hr)2()2r2，r1；设棱柱的高为H，则R2r2()2，H4，V棱柱4.2.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A2 B1C. D.答案B解析由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，其直观图如图所示，其体积为V11.3如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为()A29cmB30cmC32cmD48c
3、m答案A解析如图(2)，设下面圆柱高度为H，则上面小圆柱内液面高度20H，又设余下部分为h，则图(3)中，下面圆柱高度为h20H，故上面圆柱液面高度为28(h20H)H8h，由两圆柱内液体体积相等得9H(20H)(h20H)9(H8h)，h9，几何体总高度为20929cm.点评抓住问题的关键环节可以有效的提高解题的速度，本题中若设几何体的总高度为H，由几何体的总容积一定，内装液体的体积一定可得：32(H28)12(H20)，H29(cm)，解题过程就简捷多了4.(2012山西高考联合模拟)一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由这样的正方体组成的个
4、数为()A12个 B13个C14个 D18个答案B解析由正视图知该几何体有三列，左右两排都存在2层的情形，中间一排，只有一层，由侧视图知，该几何体有三行，前后两排都存在2层的情形，中间一排只有一层，因此此几何体最多可由13个小正方体组成，你能求出最少可由多少个小正方体构成吗？5(文)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个三棱柱的体积是()A96B48C24D16答案B解析已知正三棱柱的高为球的直径，底面正三角形的内切圆等于球的大圆设底面正三角形的边长为a，球的半径为R，则a2R，又R3，R2，a4，于是Va22R48.(理)已知S、A、B、C是球O表面上的
5、点，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC，则球O的表面积等于()A4B3C2D答案A解析ABBC，AC为截面圆的直径，AC中点为截面圆的圆心设D为AC中点，连OD，则OD平面ABC，SA平面ABC，SAOD.连SC，则SC2.又SB，BC，SC2SB2BC2，SBC90，SAC90，SC为球O的直径，2R2，故R1，S球4R24，选A.6(2012新课标全国，7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A6B9C12 D18答案B解析由三视图知，该几何体是一个三棱锥，由俯视图知三棱锥的底面是等腰三角形，底边长为6，底边上的高为3，面积S639
6、，由正视图和侧视图可知棱锥的高为3，体积V939.7.(2011湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_答案解析由展开图可知，该多面体是正四棱锥，底面正方形的边长为1，侧棱长也为1，高h，体积V12.8(2012德州模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，其主视图、俯视图、左视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的外接球的表面积是_答案3解析由主、左视图知，该几何体为锥体，由俯视图知，几何体底面为等腰直角三角形，故几何体为三棱锥，由主、左视图知，几何体有一侧棱与底面垂直，此侧棱在左前方，其直观图如图，由条件知A
7、B、AC、AP两两垂直，且都为1，故它的外接球直径2R，R，球表面积S4R23.9已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，如图所示，则CPPA1的最小值为_答案5解析PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决计算A1BAB1，BC12，又A1C16，故A1BC1是A1C1B90的直角三角形铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示CPPA1A1C.在AC1C中，由余弦定理得，A1C5，故(CPPA1)min5.点评多面体或旋转体表面上两点的最短距离问题，一般选择恰当的棱或母线剪开展平，转化为
8、平面上两点间线段最短问题解决10(文)如图所示，从三棱锥PABC的顶点P沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开成平面图形得到P1P2P3，且P2P1P2P3.(1)在三棱锥PABC中，求证：PABC.(2)若P1P226，P1P320，求三棱锥PABC的体积解析(1)证明：由题设知A、B、C分别是P1P3，P1P2，P2P3的中点，且P2P1P2P3，从而PBPC，ABAC，取BC的中点D，连AD、PD，则ADBC，PDBC，BC平面PAD.故PABC.(2)由题设有，ABACP1P213，PAP1ABC10，PBPCP1B13，ADPD12，在等腰三角形DPA中，底面PA上的高h，SDPAPAh5
9、，又BC平面PAD，VPABCVBPDAVCPDABDSDPADCSPDABCSPDA105.(理)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB.(1)求证：CE平面PAD；(2)若PAAB1，AD3，CD，CDA45，求四棱锥PABCD的体积解析(1)证明：PA底面ABCD，CE平面ABCDCEPA，又ABAD，CEAB.CEAD.又PAADA，CE平面PAD.(2)由(1)可知CEAD.在RtECD中，DECDcos451，CECDsin451.又ABCE1，ABCE，所以四边形ABCE为矩形S四边形ABCDS矩形ABCESCDEABAECEDE121
10、1.又PA底面ABCD，PA1所以V四棱锥pABCDS四边形ABCDPA1.能力拓展提升11.(2011山东济南一模)一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是()A(8016)cm2 B84cm2C(9616)cm2 D96cm2答案A解析其直观图如上图所示，由三视图知，棱锥底面是边长为4的正方形，高为2，棱柱与棱锥同底，高为4，因此棱锥的顶点到底边的距离是2cm，故该几何体的表面积为S(42)4(44)58016(cm2)12(文)(2011北京东城区练习)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()答案B解析左视图的投射线如图所示
11、，则可取平面BCC1B1为投射面，点A、D、D1的射影依次为B、C、C1，从而线段AB1、AD1的投影依次为BB1、BC1，从左侧向右看，CC1应在BB1的左侧，故选B.(理)(2011安徽“江南十校”联考)已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A8 B.C. D.答案C解析由三视图可知，该几何体是正方体ABCDA1B1C1D1截去三棱台AEFA1B1D1后，所剩的几何体，由于正方体棱长为2，所求体积V23(2)2.13.如图所示，在ABC中，C90，A30，BC1.在三角形内挖去半圆(圆心O在边AC上，半圆分别与BC、AB相切于点C、M，与
12、AC交于点N)，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为_答案解析阴影部分绕AC旋转一周所得旋转体为圆锥中挖去一个球，圆锥的体积V12，球体积V13，故所求体积为.14侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF，则截面AEF周长的最小值为_答案6解析沿侧棱VA剪开，侧面展开如图，线段AA1的长为所求AEF周长的最小值，取AA1中点D，则VDAA1，AVD60，AA12AD6.15.(2012新课标全国文，19)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面
13、BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比分析(1)证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直；(2)平面BDC1分棱柱成两部分，下面部分BADC1C为四棱锥，可直接求体积，上面部分可用间接法求得体积，从而确定两部分体积之比解析(1)证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1.由题意得，V111.又三棱柱
14、ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1):V11:1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1:1.点评本题考查线面的位置关系及几何体体积的求法求解几何体的体积时，若遇不规则的几何体时，经常采用割补法和间接法求其体积16(2012河南六市联考)如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABDC，ABC45，DC1，AB2，PA平面ABCD，PA1.(1)求证：AB平面PCD；(2)求证：BC平面PAC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积证明(1)由已知底面ABCD是直角梯形，ABDC，又AB平面PCD，CD平面PCD，AB平面PCD.(2)在直角梯形ABCD中，
15、过C作CEAB于点E，则四边形ADCE为矩形，AEDC1又AB2，BE1，在RtBEC中，ABC45，CEBE1，CB，ADCE1，则AC，AC2BC2AB2，BCAC.又PA平面ABCD，PABC，又PAACA，BC平面PAC.(3)M是PC中点，M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半VMACDSACD(PA)(11).1如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2.动点E、F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上若EF1，DPx，A1Ey(x，y大于零)，则三棱锥PEFQ的体积()A与x、y都有关B与x、y都无关C与x有关，与y无关D与y有关，与x无关答案C解析设P
16、到平面EFQ的距离为h，则VPEFQSEFQh，由于Q为CD的中点，点Q到直线EF的距离为定值，又EF1，SEFQ为定值，而P点到平面EFQ的距离，即P点到平面A1B1CD的距离，显然与x有关与y无关，故选C.2(2011北京市海淀区模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A5B4C3D2答案D解析根据三视图可知几何体是四棱锥，其底面是上底长为1，下底长为2，高为2的直角梯形，棱锥的高为2，其体积为：V(12)222.3棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为()A. B1 C1
17、D.答案D解析由条件知球O半径为，球心O到直线EF的距离为，由垂径定理可知直线EF被球O截得的线段长d2.4如图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是斜边长为2a的直角三角形，侧(左)视图是半径为a的半圆，则该几何体的体积是()A.a3 B.a3C.a3 D2a3答案A解析由侧(左)视图半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正(主)视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥将剖面放置在桌面上如图，由条件知，圆锥的母线长为2a，底面半径为a，故高ha，体积Va3.5(2011潍坊二检)如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为()A. B.C. D.答案B解析截去一角在正视图中位于左侧上部，在侧视图中位于右侧上部，结合俯视图可知，截去的一角应位于几何体的上部左前方，可画出多面体的形状如图这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积VV长方体V正三棱锥446(22)2.6(2012吉林省实验中学模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1 的圆，则这个几何体的体积是()A. BC. D.答案B解析由三视图知，该几何体是半径为1的球去掉了半球的一半，故几何体是个球，体积V(13).版权所有：高考资源网()