1、第四节直线、平面垂直的判定与性质最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题1直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定
2、直线和平面所成的角分别为90和0(3)范围：.3二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角(3)范围：0，4平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平
3、面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)垂直于同一个平面的两平面平行()(2)若，aa.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()答案(1)(2)(3) (4)二、教材改编1设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m.()A若l，则B若
4、，则lmC若l，则D若，则lmAl，l，(面面垂直的判定定理)，故A正确2下列命题中不正确的是()A如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面B如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么lAA错误，l与可能平行或相交，其余选项均正确3.如图所示，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_4PA平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，从而BCPC.因此ABC，PBC也是直角三角形4在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中
5、的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心(1)外(2)垂(1)如图，PO平面ABC，连接OA，OB，OC，在RtPOA中，OA2PA2PO2，同理OB2PB2PO2，OC2PC2PO2.又PAPBPC，故OAOBOC，O是ABC的外心(2)由PAPB，PAPC可知PA平面PBC，PABC，又POBC，BC平面PAO，AOBC，同理BOAC，COAB.故O是ABC的垂心考点1直线与平面垂直的判定与性质1.证明线面垂直的常用方法(1)判定定理(2)垂直于平面的传递性(3)面面垂直的性质2证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证
6、明线线垂直，则需借助线面垂直的性质如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，AE平面PCD，而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA
7、，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，AB，AE平面ABE，PD平面ABE.通过本例的训练我们发现：判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想；另外，在解题中要重视平面几何知识，特别是正余弦定理及勾股定理的应用如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.求证：PACD.证明因为AB为圆O的直径，所以ACCB，在RtACB中，由ACBC，得ABC30.设AD1，由3ADDB，得DB3，BC2，由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以CD2DB2BC2，即CDAB.因为
8、PD平面ABC，平面PAB平面ABCAB，CD平面ABC，所以PDCD，由PDABD，得CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.考点2平面与平面垂直的判定与性质(1)利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法是：先寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，作辅助线应有理论根据并有利于证明(2)证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现(3)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件(2019衡水中学模拟)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为
9、直角梯形，ABDC，ABC90，PAB120，DCPC2.PAABBC1.(1)证明：平面PAB平面PBC；(2)求四棱锥PABCD的体积解(1)证明：在PAB中，由PAAB1，PAB120，得PB，因为PC2，BC1，PB，所以PB2BC2PC2，即BCPB；因为ABC90，所以BCAB，又PBABB，所以BC平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PAB平面PBC.(2)在平面PAB内，过点P作PEAB，交BA的延长线于点E，如图所示由(1)知BC平面PAB，因为BC平面ABCD，所以平面PAB平面ABCD.又平面PAB平面ABCDAB, PEAB，所以PE平面ABCD，因为在RtPEA中，
10、PA1，PAE60，所以PE.因为底面ABCD是直角梯形，所以四棱锥PABCD的体积为VPABCD(12)1.本例第(2)问在求四棱锥PABCD的高时，充分利用了三种垂直关系的转化：教师备选例题(2015全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGG
11、Cx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3，故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32. (2019银川一模)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC，且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：平面MOC平面VAB；(2)求三棱锥BVAC的高解(1)证明：ACBC，O为AB的中点，OCAB.平面VAB平面ABC，平面VAB平面ABCAB，OC平面AB
12、C，OC平面VAB.OC平面MOC, 平面MOC平面VAB.(2)在等腰直角ACB中，ACBC，AB2，OC1，等边VAB的面积为SVAB22sin 60，又OC平面VAB，OCOM，AMC中，AM1，AC，MC，SAMC1，SVAC2SMAC，由三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，即SVAChSVABOC, h，即三棱锥BVAC的高为.考点3平行与垂直的综合问题探索性问题中的平行与垂直关系处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明探索点存在问题，点多为中点或n等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置(2019北京高考)如图，在四棱锥PABCD中
13、，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点(1)求证：BD平面PAC；(2)若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由解(1)证明：因为PA平面ABCD，所以PABD.因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.又PAACA，所以BD平面PAC.(2)证明：因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，所以AECD，所以ABAE.又ABPAA，所以AE平面PAB.因为AE平面PAE，所以平面PAB平面PAE.(3)棱PB上存在点F，使得CF平面PAE.取F为PB的中点，取
14、G为PA的中点，连接CF，FG，EG.则FGAB，且FGAB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CEAB.所以FGCE，且FGCE.所以四边形CEGF为平行四边形所以CFEG.因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE.对命题条件的探索的三种途径途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性途径三：将几何问题转化为代数问题如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2.(1)求证：C1E平面ADF；(2)设点M在棱BB1
15、上，当BM为何值时，平面CAM平面ADF.解(1)证明：连接CE交AD于O，连接OF.因为CE，AD为ABC的中线，则O为ABC的重心，故，故OFC1E，因为OF平面ADF，C1E平面ADF，所以C1E平面ADF.(2)当BM1时，平面CAM平面ADF.证明如下：因为ABAC，D为BC的中点，故ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1平面B1BCC1，故平面B1BCC1平面ABC.又平面B1BCC1平面ABCBC，AD平面ABC，所以AD平面B1BCC1，又CM平面B1BCC1，故ADCM.又BM1，BC2，CD1，FC2，故RtCBMRtFCD.易证CMDF，又DF
16、ADD，DF，AD平面ADF，故CM平面ADF.又CM平面CAM，故平面CAM平面ADF.折叠问题中的平行与垂直关系解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变(2018全国卷)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积解(1)证明：由已知可得，BAC90，即BAAC.又BAAD
17、，ADACA，AD，AC平面ACD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.如图，过点Q作QEAC，垂足为E，则QEDC且QEDC.由已知及(1)可得，DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QABP的体积为VQABPSABPQE32sin 4511.本例第(1)问是垂直关系证明问题，求解的关键是抓住“BAAC”折叠过程中始终不变；本例第(2)问是计算问题，求解的关键是抓住“ACM90”折叠过程中始终不变即折叠问题的处理可采用：不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图
18、形中解决.教师备选例题如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，则ABEF.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥ABCF，其中BC.(1)(2)(1)证明：DE平面BCF；(2)证明：CF平面ABF.证明(1)在折叠后的图形中，因为ABAC，ADAE，所以，所以DEBC.因为DE平面BCF，BC平面BCF，所以DE平面BCF.(2)在折叠前的图形中，因为ABC为等边三角形，BFCF，所以AFBC，则在折叠后的图形中，AFBF，AFCF.又BFCF，BC，所以BC2BF2CF2，所以BFCF.又BFAFF，BF平面ABF，AF平面ABF，所以CF平面ABF.