1、第十六章 数系的扩充与复数的引入题组1复数的相关概念1.2017全国卷,3,5分理设有下面四个命题其中的真命题为()p1:若复数z满足1zR,则zR; p2:若复数z满足z2R,则zR; p3:若复数z1,z2满足z1z2R,则z1=z2; p4:若复数zR,则zR. A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p42.2016全国卷,2,5分理设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=()A.1 B.2 C.3 D.23.2016全国卷,1,5分理已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1) B.(-1,3)
2、 C.(1,+)D.(-,-3)4.2016全国卷,2,5分若z=4+3i,则z-|z|=()A.1 B.-1 C.45+35iD.45-35i5.2015 新课标全国,1,5分理设复数z满足1+z1-z=i,则|z|=()A.1 B.2 C.3D.26.2015 新课标全国,2,5分理若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1 B.0 C.1 D.27.2015 安徽,1,5分理设i是虚数单位,则复数2i1-i在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.2013新课标全国,2,5分理若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚
3、部为()A.-4 B.-45C.4 D.459.2016北京,9,5分理设aR.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.10.2015重庆,11,5分理设复数a+bi(a,bR)的模为3,则(a+bi)(a-bi)=.题组2复数的运算11.2017全国卷,1,5分理3+i1+i=()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i12.2016全国卷,2,5分理若z=1+2i,则4izz-1=()A.1 B.-1C.i D.-i13.2016山东,1,5分理若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i14.
4、2014新课标全国,2,5分理(1+i)3(1-i)2=()A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i15.2014新课标全国,2,5分理设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5 B.5C.-4+iD.-4-i16.2016天津,9,5分理已知a,bR,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则ab的值为.A组基础题1.2018安徽省六校第一次联考,2已知复数z满足:(z-i)(1+2i)=i3(其中i为虚数单位),则复数z的虚部等于()A.-15 B.-25 C.45 D.352.2018陕西省西安市长安区第五中学二模,2已知i为虚数单位,
5、z为复数z的共轭复数,若z+2z=9-i,则z=()A.1+iB.1-iC.3+iD.3-i3.2018陕西省部分学校第一学期摸底检测,2已知复数z满足z(1-i)2=1+i (i为虚数单位),则|z|为()A.12 B.22 C.2 D.14.2018广西三校联考,2已知a+2ii=b+i(a,bR).其中i为虚数单位,则a-b=()A.-1 B.1 C.2 D.-35.2018广东七校联考,2如果复数m2+i1+mi是纯虚数,那么实数m等于()A.-1 B.0 C.0或1D.0或-16.2018广西桂林市、柳州市高三综合模拟,2已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.
6、1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i7.2018河北衡水联考,2已知i为虚数单位,则下列各式计算错误的是()A.i2 017=i B.(i+1)i=-1+iC.1+i1-i=-i D.|2+i|=58.2017太原市三模,1已知i是虚数单位,复数z满足z2+z=i,则复数z在复平面内对应的点的坐标是()A.(-12,12)B.(-1,1)C.(12,-12)D.(1,-1)B组提升题9. 2017南昌市高三三模,1已知z=m2-1+mi在复平面内对应的点在第二象限,则实数m的取值范围是()A.(-1,1) B.(-1,0) C.(-,1)D.(0,1)10.2017成都市三诊,2已知复数z
7、1=2+6i,z2=-2i.若z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为z,则|z|=()A.5B.5 C.25 D.21711.2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,2下面是关于复数z=2-i的四个命题,p1:|z|=5;p2:z2=3-4i;p3:z的共轭复数为-2+i;p4:z的虚部为-1.其中真命题为()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p412.2017郑州市高三第三次质量预测,2已知复数m=4-xi,n=3+2i,若nmR,则实数x的值为()A.-6 B.6 C.83D.-8313.2017洛阳三模,2欧拉公式eix=cos x
8、+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将复数、指数函数与三角函数联系起来,将指数函数的定义域扩充到复数,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,e-2i的共轭复数在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案.B设复数z=a+bi(a,bR),对于p1,1z=1a+bi=a-bia2+b2R,b=0,zR,p1是真命题;对于p2,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abiR,ab=0,a=0或b=0,p2不是真命题;对于p3,设z1=x+yi(x,yR),z2=c+di(c,dR),则z1z2=(x
9、+yi)(c+di)=cx-dy+(dx+cy)iR,dx+cy=0,取z1=1+2i,z2=-1+2i,z1z2,p3不是真命题;对于p4,z=a+biR,b=0,z=a-bi=aR,p4是真命题.故选B.2.B因为(1+i)x=x+xi=1+yi,所以x=y=1,|x+yi|=|1+i|=12+12=2,故选B.3.A由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m+3,m-1),所以m+30,m-10,解得-3m1,故选A.4.Dz|z|=4-3i42+32=45-35i,故选D.5.A由题意知1+z=i-zi,所以z=i-1i+1=(i-1)2(i+1)(i-1)=i,所以|z|=1.故
10、选A.6.B由于(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,所以4a=0,a2-4=-4,解得a=0.故选B.7.B2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i,其在复平面内所对应的点位于第二象限.故选B.8.D因为|4+3i|=42+32=5,所以已知等式为(3-4i)z=5,即z=53-4i=5(3+4i)(3-4i)(3+4i)=5(3+4i)25=3+4i5=35+45i,所以复数z的虚部为45,故选D.9.-1(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,由已知得a+1=0,解得a=-1.10.3设z=a+bi,则(a+bi)(a-bi)=zz=|z|2=3
11、.11.D3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-2i2=2-i,故选D.12.C4izz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=i.故选C.13.B设z=a+bi(a,bR),则z=a-bi.故2z+z=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,所以3a=3,b=-2,解得a=1,b=-2,所以z=1-2i.故选B.14.D(1+i)3(1-i)2=1-i+3i-3-2i=-2+2i-2i=-1-i,故选D.15.A由题意可知z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.16.2(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,所以b
12、=1,a=2,ab=2.A组基础题1.Cz=i31+2i+i=-i1+2i+i=-i-25+i=-25+45i,故选C.2.D设z=a+bi(a,bR),则z=a-bi,z+2z=a+bi+2(a-bi)=3a-bi=9-i,a=3,b=1,z=3-i,故选D.3.B解法一因为复数z满足z(1-i)2=1+i,所以z=1+i(1-i)2=1+i-2i=-12+12i,所以|z|=22,故选B.解法二因为复数z满足z(1-i)2=1+i,所以|z|=|1+i(1-i)2|=|1+i|1-i|2=22,故选B.4.D因为a+2ii=(a+2i)ii2=2-ai=b+i,所以b=2,a=-1,所以a
13、-b=-3.故选D.5.D解法一m2+i1+mi=(m2+i)(1-mi)(1+mi)(1-mi)=m2+m+(1-m3)i1+m2,因为此复数为纯虚数,所以m2+m=0,1-m30,解得m=0或-1,故选D.解法二设m2+i1+mi=bi(bR且b0),则bi(1+mi)=m2+i,即-mb+bi=m2+i,所以-mb=m2,b=1,解得m=0或-1,故选D.6.Bz=(1-i)21+i=-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-2i-22=-1-i,故选B.7.C对于A,i2 017=i5044+1=i,故A正确;对于B,(i+1)i=-1+i,故B正确;对于C,1+i1-i=
14、(1+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2i2=i,故C错误;对于D,|2+i|=4+1=5,故D正确.选C.8.B解法一因为z2+z=i,所以z=2i1-i=2i(1+i)2=-1+i,所以复数z在复平面内对应的点的坐标是(-1,1),故选B.解法二因为z2+z=i,所以z=2i1-i=-(1-i)21-i=-1+i,所以复数z在复平面内对应的点的坐标是(-1,1),故选B.组提升题9.D因为z=m2-1+mi在复平面内对应的点是(m2-1,m),且该点在第二象限,所以m2-10,解得0m1,所以实数m的取值范围是(0,1).故选D.10.A复数z1=2+6i,z2=-2i,z1,z2在复
15、平面内对应的点分别为A(2,6),B(0,-2),线段AB的中点C(1,2)对应的复数z=1+2i,则|z|=12+22=5.故选A.11.C因为z=2-i,所以|z|=55,则命题p1是假命题;z2=(2-i)2=3-4i,所以p2是真命题;易知z的共轭复数为2+i,所以p3是假命题;z的实部为2,虚部为-1,所以p4是真命题.故选C.12.D因为nm=3+2i4-xi=(3+2i)(4+xi)(4-xi)(4+xi)=12-2x+(8+3x)i16+x2R,所以8+3x=0,解得x=-83,故选D.13.B依题意得,e-2i=cos(-2)+isin(-2)=cos 2-isin 2的共轭复数的实部、虚部分别为cos 2,sin 2,又22,所以cos 20,因此e-2i的共轭复数在复平面内所对应的点位于第二象限,故选B.