1、第六节利用导数解决函数的零点问题(对应学生用书第57页)考点1判断、证明或讨论函数零点的个数判断函数零点个数的3种方法直接法令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数画图法转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数即可定理法利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决(2019全国卷)已知函数f(x)sin xln (1x)，f(x)为f(x)的导数证明：(1)f(x)在区间存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点证明(1)设g(x)f(x)，则g(x)cos x，g(x)sin x.当x时，g(x)单调递减，而g(0)0，g0，可得g(x)在有唯一零点，设为.则当x(1，)时，g(
2、x)0；当x时，g(x)0.所以g(x)在(1，)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f(x)在存在唯一极大值点(2)f(x)的定义域为(1，).()当x(1，0时，由(1)知，f(x)在(1，0)单调递增，而f(0)0，所以当x(1，0)时，f(x)0，故f(x)在(1，0)单调递减又f(0)0，从而x0是f(x)在(1，0的唯一零点()当x时，由(1)知，f(x)在(0，)单调递增，在单调递减，而f(0)0，f0，所以存在，使得f()0，且当x(0，)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(0，)单调递增，在单调递减又f(0)0，f1ln 0，所以当x时，f(x
3、)0.从而，f(x)在没有零点()当x时，f(x)0，所以f(x)在单调递减而f0，f()0，所以f(x)在有唯一零点()当x(，)时，ln (x1)1，所以f(x)0，从而f(x)在(，)没有零点综上，f(x)有且仅有2个零点根据参数确定函数零点的个数，解题的基本思想是“数形结合”，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图象，然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数，或者两个相关函数图象交点的个数，基本步骤是“先数后形”设函数f(x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数解(1)由题意
4、知，当me时，f(x)ln x(x0)，则f(x)，当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x(e，)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，当xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小值为2.(2)由题意知g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0).设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1).当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是(x)的最大值点，(x)的最大值为(1)，又(0)0.结合y(x)
5、的图象(如图)，可知，当m时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点；当m0时，函数g(x)有且只有一个零点综上所述，当m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点考点2已知函数零点个数求参数解决此类问题常从以下两个方面考虑(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足条件(2)先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导
6、，层层推理得解设函数f(x)x2axln x(aR).(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在，3上有两个零点，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)2x1，令f(x)0，得x(负值舍去)，当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0.f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，).(2)令f(x)x2axln x0，得ax.令g(x)x，其中x，3，则g(x)1，令g(x)0，得x1，当x1时，g(x)0；当1x3时，g(x)0，g(x)的单调递减区间为，1)，单调递增区间为(1，3，g(x)ming(1)1，函数f(x)在，
7、3上有两个零点，g()3ln 3，g(3)3，3ln 33，实数a的取值范围是(1，3.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题(2018全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.解(1)当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，所以g(x)在(0
8、，)上单调递减而g(0)0，故当x0时，g(x)0，即f(x)1.(2)设函数h(x)1ax2ex.f(x)在(0，)只有一个零点等价于h(x)在(0，)只有一个零点()当a0时，h(x)0，h(x)没有零点；()当a0时，h(x)ax(x2)ex.当x(0，2)时，h(x)0；当x(2，)时，h(x)0.所以h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增故h(2)1是h(x)在(0，)的最小值若h(2)0，即a，h(x)在(0，)没有零点；若h(2)0，即a，h(x)在(0，)只有一个零点；若h(2)0，即a，由于h(0)1，所以h(x)在(0，2)有一个零点由(1)知，当x0时，ex
9、x2，所以h(4a)11110，故h(x)在(2，4a)有一个零点因此h(x)在(0，)有两个零点综上，f(x)在(0，)只有一个零点时，a.考点3函数零点性质研究本考点包括两个方向：一是与函数零点性质有关的问题(更多涉及构造函数法)；二是可以转化为函数零点的函数问题(更多涉及整体转化、数形结合等方法技巧).能够利用等价转换构造函数法求解的问题常涉及参数的最值、曲线交点、零点的大小关系等求解时一般先通过等价转换，将已知转化为函数零点问题，再构造函数，然后利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，并结合分类讨论，通过确定函数的零点达到解决问题的目的已知函数f(x)x2(1a)xa ln x，aR.
10、(1)若f(x)存在极值点为1，求a的值；(2)若f(x)存在两个不同的零点x1，x2，求证：x1x22.解(1)由已知得f(x)x1a，因为f(x)存在极值点为1，所以f(1)0，即22a0，a1，经检验符合题意，所以a1.(2)证明：f(x)x1a(x1)(1)(x0)，当a0时，f(x)0恒成立，所以f(x)在(0，)上为增函数，不符合题意；当a0时，由f(x)0得xa，当xa时，f(x)0，所以f(x)单调递增，当0xa时，f(x)0，所以f(x)单调递减，所以当xa时，f(x)取得极小值f(a).又f(x)存在两个不同的零点x1，x2，所以f(a)0，即a2(1a)aa ln a0，
11、整理得ln a1a，作yf(x)关于直线xa的对称曲线g(x)f(2ax)，令h(x)g(x)f(x)f(2ax)f(x)2a2xa ln ，则h(x)220，所以h(x)在(0，2a)上单调递增，不妨设x1ax2，则h(x2)h(a)0，即g(x2)f(2ax2)f(x2)f(x1)，又2ax2(0，a)，x1(0，a)，且f(x)在(0，a)上为减函数，所以2ax2x1，即x1x22a，又ln a1a，易知a1成立，故x1x22.(1)研究函数零点问题，要通过数的计算(函数性质、特殊点的函数值等)和形的辅助，得出函数零点的可能情况；(2)函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究，要抓住函数
12、在不同零点处函数值均为零，建立不同零点之间的关系，把多元问题转化为一元问题，再使用一元函数的方法进行研究已知函数f(x)ln xx.(1)判断函数f(x)的单调性；(2)若函数g(x)f(x)xm有两个零点x1，x2，且x1x2，求证：x1x21.解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.令f(x)0，得0x1，令f(x)0，得x1.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，).(2)证明：根据题意知g(x)ln xm(x0)，因为x1，x2是函数g(x)ln xm的两个零点，所以ln x1m0，ln x2m0，两式相减，可得ln ，即ln ，故x1x2，则x1
13、，x2.令t，其中0t1，则x1x2.构造函数h(t)t2ln t(0t1)，则h(t).因为0t1，所以h(t)0恒成立，故h(t)h(1)，即t2ln t0，可知1，故x1x21.课外素养提升逻辑推理构造法求f(x)与f(x)共存问题(对应学生用书第59页)在导数及其应用的客观题中，有一个热点考查点，即不给出具体的函数解析式，而是给出函数f(x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造的函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度下面总结其基本类型及其处理方法f(x)g(x)f(x)g(x)型【例1】(1)定义在R上的函数f(x)，满足f(1)1，
14、且对任意的xR都有f(x)，则不等式f(lg x)的解集为_(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集为_(1)(0，10)(2)(，3)(0，3)(1)由题意构造函数g(x)f(x)x，则g(x)f(x)0，所以g(x)在定义域内是减函数因为f(1)1，所以g(1)f(1)，由f(lg x)，得f(lg x)lg x.即g(lg x)f(lg x)lg xg(1)，所以lg x1，解得0x10.所以原不等式的解集为(0，10).(2)借助导数的运算法则，f(x)g(x)f(x)g(x
15、)0f(x)g(x)0，所以函数yf(x)g(x)在(，0)上单调递增又由题意知函数yf(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(3，0)，(3，0).数形结合可求得不等式f(x)g(x)0的解集为(，3)(0，3).评析(1)对于不等式f(x)g(x)0(或0)，构造函数F(x)f(x)g(x).(2)对于不等式f(x)g(x)0(或0)，构造函数F(x)f(x)g(x).特别地，对于不等式f(x)k(或k)(k0)，构造函数F(x)f(x)kx.(3)对于不等式f(x)g(x)f(x)g(x)0(或0)，构造函数F(x)f(x)g(x).(4)对于不等式f(x)g(x)f(x
16、)g(x)0(或0)，构造函数F(x)(g(x)0).xf(x)nf(x)(n为常数)型【例2】(1)设f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A.(，1)(0，1)B(1，0)(1，)C.(，1)(1，0) D(0，1)(1，)(2)设函数f(x)在R上的导函数为f(x)，且2f(x)xf(x)x2，则下列不等式在R上恒成立的是()A.f(x)0 Bf(x)0C.f(x)x Df(x)x(1)A(2)A(1)令g(x)，则g(x).由题意知，当x0时，g(x)0，g(x)在(0，)上是减函数f(x)是奇函数
17、，f(1)0，f(1)f(1)0，g(1)f(1)0，当x(0，1)时，g(x)0，从而f(x)0；当x(1，)时，g(x)0，从而f(x)0.又f(x)是奇函数，当x(，1)时，f(x)0；当x(1，0)时，f(x)0.综上，使f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0，1).(2)令g(x)x2f(x)x4，则g(x)2xf(x)x2f(x)x3x2f(x)xf(x)x2.当x0时，g(x)0，g(x)g(0)，即x2f(x)x40，从而f(x)x20；当x0时，g(x)0，g(x)g(0)，即x2f(x)x40，从而f(x)x20；当x0时，由题意可得2f(0)0，f(0)0.综上可知，
18、f(x)0.评析(1)对于xf(x)nf(x)0型，构造F(x)xnf(x)，则F(x)xn1xf(x)nf(x)(注意对xn1的符号进行讨论)，特别地，当n1时，xf(x)f(x)0，构造F(x)xf(x)，则F(x)xf(x)f(x)0.(2)对于xf(x)nf(x)0(x0)型，构造F(x)，则F(x)(注意对xn1的符号进行讨论)，特别地，当n1时，xf(x)f(x)0，构造F(x)，则F(x)0.f(x)f(x)(为常数)型【例3】(1)已知f(x)在R上的可导函数，且xR，均有f(x)f(x)，则有()A.e2 019f(2 019)f(0)，f(2 019)e2 019f(0)B
19、.e2 019f(2 019)f(0)，f(2 019)e2 019f(0)C.e2 019f(2 019)f(0)，f(2 019)e2 019f(0)D.e2 019f(2 019)f(0)，f(2 019)e2 019f(0)(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)2f(x)0恒成立，且f(2)(e为自然对数的底数)，则不等式exf(x)e0的解集为_(1)D(2)(2，)(1)构造函数h(x)，则h(x)0，即h(x)在R上单调递减，故h(2 019)h(0)，即e2 019f(2 019)f(0)；同理，h(2 019)h(0)，即f(2 019)e2 019f(0)，故选D.(2)由f(x)2f(x)0，得2f(x)f(x)0，可构造函数h(x)ef(x)，则h(x)ef(x)2f(x)0，所以函数h(x)ef(x)在R上单调递增，且h(2)ef(2)1.不等式exf(x)e0等价于ef(x)1，即h(x)h(2)x2，所以不等式exf(x)e0的解集为(2，).评析(1)对于不等式f(x)f(x)0(或0)，构造函数F(x)exf(x).(2)对于不等式f(x)f(x)0(或0)，构造函数F(x).