1、2-7利用导数研究函数的性质基础巩固强化1.(2012湖南衡阳模拟)函数f(x)xa在x1,4上单调递减，则实数a的最小值为()A1B2C4D5答案C解析当x1,4时，f (x)10，a2恒成立，a4.2(文)(2012陕西理，7)设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点答案D解析本题考查了导数的应用求函数的极值f (x)exxex，令f (x)0，exxex0，x1，当x(，1)时，f (x)exxex0，x1为极小值点，故选D.点评求函数的极值要讨论在各区间内导函数值的符号，同时要注意函数的定义域(
2、理)已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.，0 B0，C，0 D0，答案A解析f (x)3x22pxq，由f (1)0，f(1)0得，解得f(x)x32x2x，由f (x)3x24x10得x或x1，易得当x时f(x)取极大值，当x1时f(x)取极小值0.3(文)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f (x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)内的极大值点有()A1个 B2个C3个 D4个答案B解析由导函数的图象知，f(x)在(a，b)内变化情况为增减增减，故有两个极大值点(理)(2012重庆理，8)设函
3、数f(x)在R上可导，其导函数为f (x)，且函数y(1x)f (x)的图象如下图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析当x3，则f (x)0；当2x1时，01x3，则f (x)0；函数f(x)有极大值f(2)，当1x2时，11x0，则f (x)2时，1x0，函数f(x)有极小值f(2)，故选D.4(文)(2011辽宁文，11)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f (x)2，则f(x)2x4
4、的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)答案B解析由题意，令(x)f(x)2x4，则(x)f (x)20.(x)在R上是增函数又(1)f(1)2(1)40，当x1时，(x)(1)0，f(x)2x40，f(x)2x4.故选B.(理)(2012河南省洛阳市高三年级统一考试)函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意xR，f(x)f (x)1，则不等式exf(x)ex1的解集为()Ax|x0 Bx|x0Cx|x1 Dx|x1，或0xexex0，所以g(x)exf(x)ex为R上的增函数又g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0.5(文)已知函数f(x
5、)的导函数f (x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是()答案A解析由图可知，当x0时，f (x)0，函数f(x)的图象在(0，)上是单调递减的；当x2时，f (x)0，0,0)，其导函数f (x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()Af(x)4sinBf(x)2sinCf(x)2sinDf(x)4sin答案A解析f (x)Acos(x)，由f (x)的图象知，A2，设周期为T，则2，T4，A4，f (x)的图象过点，2cos0，k，kZ，即k，kZ，0，.故选A.6若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()Ak3或1k1或
6、k3B3k1或1k3C2k0得函数的增区间是(，2)和(2，)，由y0，得函数的减区间是(2，2)，由于函数在(k1，k1)上不是单调函数，所以有k12k1或k12k1，解得3k1或1k3，故选B.点评已知函数f(x)，由f (x)的符号可得到函数f(x)的单调区间，而f(x)在区间(k1，k1)上不单调，因此，k1与k1应分布在函数f(x)的两个单调区间内请再练习下题：已知函数f(x)x3kx在区间(3，1)上不单调，则实数k的取值范围是_答案3k0，得x2，若k0，则f(x)显然在(3，1)上单调递增，k0，x或x.由3x2k0得x，f(x)在上单调递增，在(，)上单调递减，在上单调递增，
7、由题设条件知31，3k27.7(2011福州模拟)已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值为3，那么此函数在2,2上的最小值为_答案37解析f (x)6x212x，由f (x)0得x0或x2，当x2时，f (x)0，当0x2时，f (x)0，f(x)在2,0上单调增，在0,2上单调减，由条件知f(0)m3，f(2)5，f(2)37，最小值为37.8(2011苏北四市调研)已知函数f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行，若f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数t的取值范围是_答案2，1解析由题意知，点(1,2)在函数f(x)的图象上，故mn2又f
8、 (x)3mx22nx，由条件知f (1)3，故3m2n3联立解得：m1，n3，即f(x)x33x2，令f (x)3x26x0，解得2x0，则t，t12,0，故t2且t10，所以t2，1点评f(x)在区间t，t1上单调递减，故t，t1是f(x)的减区间的子集9(2012湖南长郡中学一模)已知函数f(x)的导函数为f (x)5cosx，x(1,1)，且f(0)0，如果f(1x)f(1x2)0，则实数x的取值范围为_答案(1，)解析导函数是偶函数，原函数f(x)是奇函数，且定义域为(1,1)，又由导数值恒大于0，原函数在定义域上单调递增，所求不等式变形为f(1x)f(x21)，11xx211，解得
9、1x0时，x(，0)0(0，)(，)y00y增函数极大值减函数极小值增函数所以当x0时，y取得极大值b，当x时，y取得极小值ba，同理当a0时，f(x)在2,0)上单调递增，在(0,1上单调递减，所以f(x)maxf(0)b5.又f(2)b16af(1)ba，所以b16a11，a1.当af(1)ba，所以b16a5，a1.综上，f(x)x32x25或f(x)x32x211.能力拓展提升11.(文)(2011南开区质检)已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y3xx3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A2 B1C1 D2答案A解析a、b、c、d成等比数列，adbc，又(b，c)为函数y
10、3xx3的极大值点，c3bb3，且033b2，或ad2.(理)(2011陕西咸阳模拟)已知函数f(x)ax21的图象在点A(1，f(1)处的切线l与直线8xy20平行，若数列的前n项和为Sn，则S2010的值为()A. B.C. D.答案D解析f (x)2ax，f(x)在点A处的切线斜率为f (1)2a，由条件知2a8，a4，f(x)4x21，数列的前n项和Sn，S2010.12(文)(2012淄博一检)已知alnx对任意x，2恒成立，则a的最大值为()A0 B1 C2 D3答案A解析令f(x)lnx，则f (x)，当x，1时，f (x)0，f(x)在，1上单调递减，在1,2上单调递增，f(x
11、)minf(1)0，a0，故选A.(理)(2012潍坊模拟)已知非零向量a、b满足|a|b|，若函数f(x)x3|a|x22abx1在R上有极值，则a，b的取值范围是()A0， B(0，C(， D(，答案D解析据题意知，f (x)x22|a|x2ab，若函数存在极值，必有(2|a|)242ab0，整理可得|a|22ab，故cosa，b，解得a，b.13(2012深圳第一次调研)已知函数f(x)的导函数f (x)ax2bxc的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()答案D解析当x0时，由导函数f (x)ax2bxc0时，由导函数f (x)ax2bxc的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于
12、0的，则在此区间内函数f(x)单调递增只有D选项符合题意14(文)已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)lnxax(a)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为_答案1解析因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(0,2)上的最大值为1，当x(0,2)时，f (x)a，令f (x)0得x，又a，所以00得x，f(x)在(0，)上单调递增；令f (x)，f(x)在(，2)上单调递减；所以当x(0,2)时，f(x)maxf()lna1，所以ln0，所以a1.(理)(2011安庆质检)已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n1,1，则f(m)f (n)的最小值是_答
13、案13解析求导得f (x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f (2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f (x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f (x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f (n)minf (1)9.故f(m)f (n)的最小值为13.15(文)设函数f(x)x33axb(a0)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点解析(1)f (x)3x23a.因为曲线yf(x)在
14、点(2，f(2)处与直线y8相切，所以即解得a4，b24.(2)f (x)3(x2a)(a0)当a0，函数f(x)在(，)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点当a0时，由f (x)0得x.当x(，)时，f (x)0，函数f(x)单调递增；当x(，)时，f (x)0，函数f(x)单调递增f(x)的单调增区间为(，)和(，)，单调减区间为(，)故x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点(理)(2012新课标全国文，21)设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f (x)x10，求k的最大值分析(1)先确定函数的定义域，然后求导函数f
15、 (x)，因不确定a的正负，故应讨论，结合a的正负分别得出在每一种情况下f (x)的正负，从而确立单调区间；(2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将求k的最大值转化为求g(x)的最值问题解析(1)f(x)的定义域为(，)，f (x)exa.若a0，则f (x)0，所以f(x)在(，)单调递增若a0，则当x(，lna)时，f (x)0，所以，f(x)在(，lna)单调递减，在(lna，)单调递增(2)由于a1，所以(xk)f (x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f (x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，
16、)上单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点故g(x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于kg()，故整数k的最大值为2.16(文)(2013唐山一中第一学期第二次月考)已知函数f(x)alnxax3(aR)(1)若a1，求函数f(x)的单调区间并比较f(x)与f(1)的大小关系；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2f (x)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的
17、取值范围；(3)求证：0)，由f (x)0得x1；由f (x)0得0x0)，tan451，f (2)1，得a2，f(x)2lnx2x3，g(x)x3(2)x22x，g (x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g (0)2，由题意知：对于任意的t1,2，g(t)0恒成立，所以，mf(1)，即lnxx10，0lnxx1对一切x(1，)成立n2，nN*，则有0lnnn1，0，0，g(x)0单调递增区间，f (x)0单调递减区间(3)易得g(x)(1xxlnx)，直接对g(x)求导，研究其在(0，)上的单调性，进而求极值、最值，证g(x)max0(g(x)0)思路受阻受(
18、2)的启发，研究h(x)1xxlnx，利用x(0，)时0；当x(1，)时，h(x)0，所以x(0,1)时，f (x)0；x(1，)时，f (x)0，函数h(x)单调递增；当x(e2，)时，h(x)0，函数h(x)单调递减所以当x(0，)时，h(x)h(e2)1e2.又当x(0，)时，01，所以当x(0，)时，h(x)1e2，即g(x)1e2.综上所述结论成立点评本题考查了导数的运算、切线方程、利用导数研究函数的极值、研究函数的单调区间、利用导数证明不等式等1若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A(0,1) B(，1)C(0，) D.答案D解析f (x)3
19、x26b，由题意知，函数f (x)图象如右图0b0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3C6 D9答案D解析f (x)12x22ax2b0的一根为x1，即122a2b0.ab6，ab()29，当且仅当ab3时“”号成立3f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf (x)f(x)0.对任意正数a、b，若ab，则必有()Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b) Dbf(b)f(a)答案A解析xf (x)f(x)0，又f(x)0，xf (x)f(x)0.设y，则y0，故y为减函数或为常数函数又a0，af(b)bf
20、(a)点评观察条件式xf (x)f(x)0的特点，可见不等式左边是函数yxf(x)的导函数，故可构造函数yxf(x)或y通过取导数利用条件式来得到函数的单调性推得结论，请再练习下题：已知a、b是实数，且eabaBabe时，f (x)0，f(x)在(e，)上单调递减eaf(b)，即，blnaalnb，lnablnba，abba.4设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线yf(x)在x5处的切线的斜率为()A B0C. D5答案B解析f(x)为可导偶函数f(x)在x0两边的导数符号相反，且在x0处连续f (0)0，又f(x)的周期为5.f (x)的周期也为5.f (5)0，即f(x)在x
21、5处的切线斜率为0.5已知函数f(x)的定义域为R，f (x)为其导函数，函数yf (x)的图象如图所示，且f(2)1，f(3)1，则不等式f(x26)1的解集为()A(2,3)(3，2) B(，)C(2,3) D(，)(，)答案A解析由f (x)图象知，f(x)在(，0上单调递增，在0，)上单调递减，由条件可知f(x26)1可化为2x263，2x3或3x1，即a.f(2)84a(1a)3a7.故f(2)的取值范围为.7(2012湖北文，22)设函数f(x)axn(1x)b(x0)，n为正整数，a、b为常数函数yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为xy1.(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的最大值；(3)证明：f(x)0，故f(x)单调递增；而在(，)上，f (x)0)，则(t)(t0)在(0,1)上，(t)0，(t)单调递增故(t)在(0，)上的最小值为(1)0.所以(t)0(t1)，即lnt1(t1)令t1，得ln，即ln()n1lne，所以()n1e，即.由(2)知，f(x)，故所证不等式成立点评本题主要考查了导数的几何意义，通过导数求函数的最大值，判断函数的单调等基础知识，考查应用函数思想解决数学问题的能力，逻辑思维能力和运算能力判断单调性和求函数的最大值时，一定要注意不能忽视函数的定义域版权所有：高考资源网()