1、天津市第二南开中学2021届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）第卷（选择题）一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过补集的概念与交集运算即可得到答案.【详解】根据题意得，故，答案选C.【点睛】本题主要考查集合的运算，难度很小.2. 已知，则“”是“，”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】，解得，即可判断出结论【详解】解：，解得， “”是“，”的必要但非充分条件故选：【点睛】本题考查了三角函数求值、简易逻辑判定方法，考查了推理
2、能力与计算能力，属于基础题3. 若命题，则命题的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据含有一个量词命题的否定，得到答案.【详解】命题，则命题的否定为，故选：C【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.4. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，选项B错误故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位
3、置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项5. 设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时
4、，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.6. 函数，下列结论正确的是（ ）A. 向右平移个单位，可得到函数的图像B. 的图像关于中心对称C. 的图像关于直线对称D. 在上为增函数【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】将向右平移个单位得到的函数为，故A错误；因为，所以的图像不关于中心对称，故B错误；因为，所以的图像关于直线对称，故C正确；当时，故D错误故选：C【点睛】本题考查的是三角函数的图像和性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.7. 已知ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足C，那么ABC的形状一定是（）A. 钝
5、角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】本题先由正弦定理边化角，得到，再根据C，判断三角形为等边三角形.【详解】解：在中，由正弦定理：， ， 即，整理的：，即 C，是等边三角形故选：C.【点睛】本题考查正弦定理的边化角，两角差的正弦公式，三角形形状的判断，是基础题.8. 已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出值即可【详解】因为为奇函数，；又，又，故选C【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，
6、解题关键是求出函数9. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，若方程恰有两个根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到，再由根据函数奇偶性与周期性，将方程恰有两个根，转化为与的图象有2个交点，结合函数图像，即可得出结果.【详解】当时，解得：，所以 ，又因为函数是偶函数，关于轴对称，并且周期，若方程恰有两个根，即函数与的图象有2个交点，如图，画出函数和的图象，当时，当直线过点时，此时直线的斜率，由图象可知若函数与的图象有2个交点，只需满足，解得或，即的取值范围是.故选：B.【点睛】本题主要考查由方程根的个数求参数的问题，利用数形结合的方法即可求解，属于常
7、考题型.第卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 函数的定义域是_【答案】【解析】【分析】由 解不等式可得函数的定义域【详解】解：由，可解得，函数的定义域为，故答案为：【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于基础题11. 若，则=_.【答案】【解析】【分析】根据题设条件和三角函数的基本关系式，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【详解】因为，所以，又因为，所以可得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及余弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12. 已知函数，的部分图象如图所示
8、，则的解析式为_【答案】【解析】【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式【详解】解：根据函数，的部分图象，可得，再根据五点法作图可得，故，故答案为：【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题13. 已知函数是偶函数，当时，则曲线在处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】利用偶函数的性质求出当时函数的解析式，然后求导，利用导数的几何意义进行求解即可.【详解】因为函数是偶函数，所以当时，因此，所以曲线在处的切线的斜率为：，而，所以曲线在处的切线方程为：.故答案为：【点睛】本题考查了曲线的切线求法，考查了导数的几何意义，考查了偶函数的
9、性质，考查了数学运算能力.14. 已知，若，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】判断函数的单调性，利用单调性转化为自变量的不等式，即可求解.【详解】在区间都是增函数，并且在处函数连续，所以在上是增函数，等价于，解得.故答案为:【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题.15. 已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据函数和的关系，将转化为，利用数形结合进行求解即可【详解】解：由题意知方程，恰有4个实数根，当时，由，解得或，所以，得：当，由，得或，所以得：综上故答案为：【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为
10、，利用数形结合以及绝对值函数以及一元二次函数的性质进行求解即可，属于中档题三、解答题（本大题共5个题，共75.0分）16. 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosCacosB+bcosA（1）求角C；（2）若ABC的面积为，且a+b5，求c【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理将已知条件中的边化为角，有，再结合正弦的两角和公式与，可知，从而解得，再结合的范围即可得解；（2）由知，解出的值后，利用平方和公式求出，最后根据余弦定理即可得解【详解】（1）由正弦定理知，因为，所以因为，所以，因为，所以（2）由知，所以，又，所以，由余弦定理知，所以【点睛】本题
11、主要考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的综合应用，还涉及正弦的两角和公式，利用正弦定理将边化角是解题的突破口，考查学生的逻辑推理能力和运算能力17. 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励元；共两只球都是绿色，则奖励元；若两只球颜色不同，则不奖励（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得元的概率；（2）记为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量的分布列和数学期望【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据古典概型
12、概率计算公式可求得结果；（2）分别求出一名顾客摸球中奖元和不中奖概率；确定所有可能的取值为：，分别计算每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用数学期望计算公式求解期望即可.【详解】（1）记一名顾客摸球中奖元为事件从袋中摸出两只球共有：种取法；摸出的两只球均是红球共有：种取法（2）记一名顾客摸球中奖元为事件，不中奖为事件则：，由题意可知，所有可能的取值为：，则；随机变量的分布列为：【点睛】本题考查古典概型概率问题求解、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解，关键是能够根据通过积事件的概率公式求解出每个随机变量的取值所对应的概率，从而可得分布列.18. 已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区
13、间上的最大值和最小值；（3）若函数在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）最大值为2，最小值为 ；（3）.【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式对函数化简，再利用周期公式可求出周期；（2）由得，再结合正弦函数的图像和性质可求出函数的最值；（3）由函数在上单调递增，在上单调递减，从而可求出实数k的取值范围.【详解】（1）由，得的最小正周期为.（2）因为，所以，所以.从而.所以，当，即时，的最大值为2；当，即时，的最小值为.（3）由，得，而函数在上单调递增，在上单调递减，所以若函数在上有两个不同的零点，则.【点睛】此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查正弦函数
14、图像和性质的应用，属于基础题19. 如图，平面，.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若二面角的余弦值为，求线段的长.【答案】（）见证明；（）（）【解析】【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系()利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；()分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；()首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得.设，则.()依题意，是
15、平面ADE的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面. ()依题意，设为平面BDE的法向量，则，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直线与平面所成角的正弦值为.()设为平面BDF的法向量，则，即.不妨令y=1，可得.由题意，有，解得.经检验，符合题意所以，线段的长为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.20. 已知函数（）当时，求在区间上的最值；（）讨论函数单调性；（）当时，有恒成立，求a的取值范围【答案】（），；（）答案见解析；（）【解析】【分析】（）求导的定义域，求
16、导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得在区间，上的最值；（）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；（）由（）知，当时，即原不等式等价于，由此可求的取值范围【详解】解：（）当时，的定义域为，由得在区间上的最值只可能在，取到，而，（），当，即时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，由得，或（舍去），在单调递增，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减；（）由（）知，当时，即原不等式等价于，即，整理得，又，a的取值范围为【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，确定函数的单调性，求函数的最值是关键，属于中档题