1、4.1指数学 习 任 务核 心 素 养1理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化(重点)2掌握有理数指数幂的运算法则(重点)3了解实数指数幂的意义.1借助根式的性质对根式运算，提升学生的数学运算核心素养2通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养3借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.我们已经知道，2，3，是正整数指数幂，它们的值分别为，.那么，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数为此，我们需要先学习根式的知识知识点1基本概念1平方根与立方根的概念如果x2a，那么x称为a的平方根；如果x3a，那么x称为a
2、的立方根根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个2a的n次方根(1)定义：一般地，xna(n1，nN*)，那么称x为a的n次方根，式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数(2)几个规定：当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根只有一个，记作x；当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示，它们可以合并写成 (a0)的形式；0的n次方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)1.是根式吗？根式一定是无理式吗？提示是根式，根式不一定是无理式1
3、.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)16的四次方根为2.()(2)4.()(3)2.()提示(1)16的四次方根有两个，是2；(2)|4|4；(3)没意义答案(1)(2)(3)知识点2根式的性质(1)0(nN*，且n1)；(2)()a(n为大于1的奇数)；(3)()|a|(n为大于1的偶数)(4)()na(nN*，且n1，a使得有意义)2.a对任意实数a都成立吗？提示不都成立当n为不小于3的正奇数时，a为任意实数，等式a恒成立当n为正偶数时，|a|.2.若n是偶数，x1，则x的取值范围为_1，)由题意知x10，x1.知识点3分数指数幂的意义一般地，我们规定：(1)a(a0，m，n均为
4、正整数)；(2)a(a0，m，n均为正整数)；(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义，0的0次幂没有意义3.(1)可化为()AaBaCaDa(2)3可化为_(1)A(2)(1)a.(2)3.知识点4有理数指数幂的运算性质(1)asatast；(2)(as)tast；(3)(ab)tatbt，(其中s，tQ，a0，b0)4.化简()2的结果为_原式()2()1. 类型1根式的性质【例1】求下列各式的值(1)；(2)；(3)；(4)；(5)，x(3,3)解(1)2.(2).(3)|3|3.(4)|a3|(5)原式|x1|x3|，当3x1时，原式1x(x3)2x2；当1x0)；(2)；
5、(3) (b0)解(1)原式(2)原式.(3)原式.1根式和分数指数幂互化时应熟练应用a和a(a0，m，nN*，且n1)当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简2分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用跟进训练2用分数指数幂表示下列各式(1)(a0，b0)；(2)(a0，b0)解(1)1. 类型3分数指数幂的运算【例3】(1)计算：0.0640(2)3160.75|0.01|；(2)化简：思路点拨将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算解(1)原式
6、(0.43)1(2)4(24)0.75(0.12)0.4110.1.指数幂与根式运算的技巧(1)有理数指数幂的运算技巧运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算指数的处理：负指数先化为正指数底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示(2)根式运算技巧各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂，再运算多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂跟进训练3(1)化简： (abc)(abc)_.(2)计算：0.008 12_.2212_.(1)ac(2)36.55(1)原式abcab0cac.(2)原式4
7、(0.3)44936.5.原式(1)23(223)1231235. 类型4指数幂运算中的条件求值【例4】已知aa4，求下列各式的值：(1)aa1；(2)a2a2.a与a及a与a1之间有怎样的关系？a、a及aa1 a2a2等于多少？提示平方关系，乘积为1.解(1)将aa4两边平方，得aa1216，故aa114.(2)将aa114两边平方，得a2a22196，故a2a2194.1(变结论)在本例条件不变的条件下，求aa1的值解令aa1t，则两边平方得a2a2t22，t22194，即t2192，t8，即aa18.2(变结论)在本例条件不变的条件下，求a2a2的值解由上题可知，a2a2(aa1)(aa
8、1)814112.3(变条件)已知xx，求x2x2.解将xx，两边平方，得xx125，则xx13，两边再平方，得x2x229，所以x2x27.条件求值问题的常用方法(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果1把根式a化成分数指数幂是()A(a)B(a)CaDaD由题意知a0，所以aaaa.2已知xx5，则的值为()A5B23C25D27B由xx5得xx123，所以xx123.3设5x4,5y2，则52xy_.852xy8.4计算：(1)_.(x3，则|2x|_.1|2x|2x|x3|2x|x3(x2)1.回顾本节知识，自我完成以下问题1怎样将根式化成分数指数幂的形式？提示根指数作分母，字母的指数作分子2怎样进行分数指数幂的运算？提示运用运算性质求解3怎样判断一个数到底有没有n次方根？提示先考虑被开方数到底是正数还是负数还要分清n为奇数或偶数这两种情况