1、课时训练51 圆锥曲线的综合问题【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.(2010南通九校模拟，11)方程=1所表示的曲线是（ ）A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线答案：C解析：20,cos-cos20，又cos-cos2-（sin-sin2）=sin（2+）-cos(2+)0，故方程表示焦点在y轴上的椭圆.2.(2010湖北八校模拟，11)设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足=0，则的值为（ ）A.1 B. C.2 D.不确定答
2、案：C解析：设椭圆方程为=1，双曲线方程为=1,则|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|-|PF2|=2m,故|PF1|=a+m,|PF2|=a-m.又=0,(a+m)2+(a-m)2=4c2,即a2+m2=2c2,=2.3.已知F1、F2是椭圆+=1(5a10)的两个焦点，B是短轴的一个端点，则F1BF2的面积的最大值是（ ）A. B. C.100（3-2） D.a2答案：B解析：5a10-a.故=cb=(10-a)=.令t=a3-25a2+200a-500.则t=3a2-50a+200，令t=0,则a=或a=10,又5a10,故当a=时，t取最大值，故F1BF2的最大值为.4.(2010
3、江苏苏州一模，6)设双曲线C：-y2=1的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，若直线l与双曲线C的左、右两支都相交，则直线l的斜率的取值范围是（ ）A.k-或k B.kC.-k D.-k答案：C解析：因渐近线的斜率为，故-k)的线段AB的端点在双曲线b2x2-a2y2=a2b2的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为( )A. B.C. D.答案：D解析：当AB过右焦点时，M的横坐标最小.二、填空题（每小题5分，共15分）8.平面内有长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=6,则|PA|的取值范围是_.答案：2，4解析：|PA|+|PB|=62，所以点P的轨迹是以A、B为焦点的
4、椭圆，a=3,c=1,a-c|PA|a+c，故应填2，4.9.有一系列中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，它们的离心率en=()n(nN),且都以x=1为准线，则所有椭圆的长轴之和为_.答案：2解析：因=1,=()n,故an=()n,2an=2()n,故所有椭圆的长轴之和为=2.10.(2010江苏南通九校模拟，18)以下四个关于圆锥曲线的命题中设A、B为两个定点，k为非零常数，|-|=k,则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作该圆的动弦AB，O为坐标原点，若=（+），则动点P的轨迹为椭圆；方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦
5、点.其中真命题的序号为_（写出所有真命题的序号）.答案：解析：当|k|AB|且k0时，才正确；中的P点为AB中点，故P为以AC的中点为圆心，|AC|为半径的圆；易知正确.三、解答题（1113题每小题10分，14题13分，共43分）11.(2010湖北黄冈一模，22)已知OFQ的面积为26，且=m.（1）设m4，求向量与的夹角正切值的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如右图），|=c，m(-1)c2,当|取得最小值时，求此双曲线的方程.解析：(1)tan=.又m4,1tan0,b0),Q(x1,y1),则=（x1-c，y1）,SOFQ=|y1|=2.y1=.又由=（c,0）
6、（x1-c,y1）=(x1-c)c=(-1)c2,x1=c.|=.当且仅当c=4时，|最小，这时Q点坐标为（，）或（，-）.故所求的双曲线方程为-=1.12.(2010江苏苏州一模，22)已知点P是圆x2+y2=1上的一个动点，过点P作PQx轴于点Q，设=+，(1)求点M的轨迹方程；（2）求向量和夹角的最大值，并求此时P点的坐标.解析：（1）设P（x0,y0）,M(x,y),则=（x0,y0）,=(x0,0),=+=(2x0,y0).x02+y02=1,+y2=1.(2)设向量与的夹角为,则cos=.令t=3x02+1,则cos=.当且仅当t=2时，即P点坐标为（，）时，等号成立.与夹角的最大
7、值是arccos.13.(2010湖北八校摸拟，21)P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点，离心率e=,左焦点F（-1，0）的椭圆上，已知与共线，与共线，=0，求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.解析：椭圆方程为+y2=1.=0，PQMN.设PQ的方程为ky=x+1,代入椭圆方程消去x得（2+k2）y2-2ky-1=0.设P（x1,y1）,Q(x2,y2)，则|PQ|=|y1-y2|=.(1)当k0时，MN的斜率为-,同理可得|MN|=,故四边形面积S=|PQ|MN|=.令u=k2+,则u2,即S=2(1-).当k=1时，u=2,S=.且S是以u为自变量的增函数，S2.(2)当k=0时，M
8、N为椭圆的长轴，|MN|=2，|PQ|=，S=|PQ|MN|=2.综合（1）(2)知，四边形PQMN面积的最大值为2，最小值为.14.(2010湖北十一校大联考，22)在直角坐标平面中，ABC的两个顶点为A（0，-1），B（0，1）平面内两点G、M同时满足+=0,|=|=|，.(1)求顶点C的轨迹E的方程；（2）设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为（2，0），已知，且=0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.解析：(1)设C（x,y）,+=2,由知=-2，G为ABC的重心，G().由知M是ABC的外心，M在x轴上.由知M（，0），由|=|,得，化简整理得：+y2=1(x0).(2)
9、F(,0)恰为+y2=1的右焦点,设PQ的斜率为k0且k,则直线PQ的方程为y=k(x-),由(3k2+1)x2-6k2x+6k2-3=0.设P（x1,x2）,Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.则|PQ|=.RNPQ,把k换成-得|RN|=,S=|PQ|RN|=,3(k2+)+10=.k2+2,16,S2(当k=1时取等号).又当k不存在或k=0时S=2，综上可得S2,Smax=2,Smin=.轻松阅读数学之美 钱定平 数学物理学美和文学艺术美共享着一个特点,是不追求实用,所以可以驰骋恢弘和扬鞭辽阔,竭尽全心致力于美的追求索取.达芬奇绘蒙娜丽莎不是为了卖钱,正如物理学家发现某某效应
10、、数学家证明某某定理时,并不亟亟乎想着出售一样.当前理论物理学已经奏起了“超弦理论”（Superstring),论证基本粒子本身都是由弦线（String)环组成的，琴弦“弹奏”着不同乐曲，从而织成万事万物.可是，这根根琴弦毕竟不能演奏交响乐，到大剧场去卖票！有些科学一接触用途问题，简直可以说对艺术还要礼让三分.例如，前面提到过的哈代又说过： 音乐可以用来触发群众激情，而数学却无能为力. 表达数学简洁明了而囊括宇内的美，人们常常称道的是“欧拉公式”.这个公式把数学里面既富有魅力又具备霸权的三个量扭结合成一个明晰爽朗的式子： ei+1=0. 欧拉公式里面，e是自然对数的底，i是虚数单位，而则是众所周知的圆周率.这三个量经常在非常繁复奇崛的运算或推导中扮演重要的角色.有关圆的推导计算是绝对离不开的;e这个量则不仅是对数活动的主角,除了别的职务,它在一系列概率分布里面也积极出现;i对于现代化的最大贡献是电工学公式离不开它,所以电灯、电话、卫星影视、电机手机全少不了一个它!欧拉公式一举把这三个量用最简单的等式联系起来，等于让三美并立,更令其显得争芳斗芳妍,玉立娉婷！魏、蜀、吴三国鼎立纷争，演出了多少场波澜壮阔、龙腾虎啸的戏剧,e、i、三美并立满座风生,哪个不美?节选自百花文艺出版社美是一个混血女郎，钱定平著