1、第二课时导数的几何意义课标要求素养要求通过函数图象直观理解导数的几何意义.通过学习导数与曲线的切线的关系，理解导数的几何意义，发展学生直观想象素养.新知探究从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同.问题如果设曲线的方程为yf(x)，A(x0，f(x0)，那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？提示kf(x0).1.切线的概念在曲线yf(x)上任取一点P(x，f(x)，如果当点P(x，f(x)沿着曲线yf(x)无限趋近于点P0
2、(x0，f(x0)时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置P0T称为曲线yf(x)在点P0处的切线.2.导数的几何意义“在点(x0，f(x0)处”的切线就是指(x0，f(x0)是切点.当点P沿着曲线yf(x)无限趋近于点P0时，即当x0时，k无限趋近于函数yf(x)在xx0处的导数，因此，函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0f(x0).3.导函数对于函数yf(x)，当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)就是x的函数，我们称它为函数yf(x)的导函数(简称导数), 即f(x)y .拓展深化微判断1.函数在xx0处的导数f(x
3、0)是一个常数.()2.函数yf(x)在xx0处的导数值就是曲线yf(x)在xx0处的切线的斜率.()3.直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点.()提示也可能有多个公共点，如曲线yx3在点(1，1)处的切线与曲线yx3有两个公共点.微训练1.曲线y在点(1，1)处切线的斜率为()A.1 B.1 C. D.解析k1.答案B2.函数f(x)的图象如图所示，则()A.f(1)f(2)f(3)B.f(2)f(1)f(3)C.f(3)f(2)f(1)D.f(3)f(1)f(2)解析由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)处切线的斜率大小关系为kCkBkA
4、，故f(3)f(2)f(1).答案C微思考1.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线吗？提示不一定，例如直线x1与曲线ycos x只有一个公共点，但直线x1不是曲线ycos x的切线.2.导函数f(x)与函数在xx0处的导数f(x0)相同吗？它们有什么区别与联系？提示不相同.(1)两者的区别：由导数的定义知，f(x0)是一个具体的值，f(x)是由于f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义在I上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数.(2)两者的联系：在xx0处的导数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值，因此是函数在某一点处的导数.题型一求切线的方程【例1】已知曲线
5、yx3.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.解(1)P(2，4)在曲线yx3上，曲线在点P(2，4)处切线的斜率为k4.曲线在点P(2，4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为kx，切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2，4)在切线上，42xx，即x3x40.xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01，或x02.故所求的切线方程为xy20，或4xy40.规律方法若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然
6、后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.【训练1】求曲线y在点处的切线方程.解曲线在点处的切线的斜率为k，由直线的点斜式方程可得切线方程为y(x2)，即x4y40.题型二求切点坐标或参数值【例2】(1)已知抛物线yf(x)2x21在某点处的切线的倾斜角为45，则该切点的坐标为_.(2)若直线y3xb与曲线yx3相切，则b_.解析(1)设切点坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)21(2x1)4x0x2(x)2，4x02x，f(x0)4x0.又切线的斜率为ktan 451，4x01即x0.y021，切点坐标为.(2)设直线y3xb与曲线yx3的切点为P(x0，y0)，由yx
7、3得y3x23xx(x)23x2，所以曲线yx3在点P(x0，y0)处的切线斜率k3x，又直线y3xb与曲线yx3切于点P，所以3x3，因此x01，所以P(1，1)或P(1，1).因为点P在直线y3xb上，所以b2.答案(1)(2)2规律方法解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.【训练2】已知曲线f(x)x21在xx0处的切线与曲线g(x)1x3在xx0处的切线互相平行，求x0的值.解对于曲线f(x)x21，k1 (2x0x)2x0.对于曲线g(x)
8、1x3，k2(3x0x3x(x)2)3x.由k1k2，得2x03x，x00或x0.题型三与导数的几何意义有关的图象问题【例3】(1)已知yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()A.f(xA)f(xB)B.f(xA)f(xB)C.f(xA)f(xB)D.不能确定(2)若函数f(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数f(x)在区间a，b上的图象可能是()解析(1)由导数的几何意义，f(xA)，f(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f(xA)f(xB).(2)函数f(x)的导函数f(x)在a，b上是增函数，若对任意x1和x2满足ax1x2b，则有f(a)
9、f(x1)f(x2)f(b)，根据导数的几何意义，可知函数yf(x)的切线斜率在a，b内单调递增，观察图象.只有A选项符合.答案(1)B(2)A规律方法导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小.【训练3】已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设a，则下列不等式正确的是()A.f(1)f(2)aB.f(1)af(2)C.f(2)f(1)aD.af(1)f(2)解析由图象可知，函数在0，)上的增长越来越快，故函数图象在点(x0，f(x0)(x0(0，)的切线的斜率越来越大，a，f(1)af(2)，故选B.答案B一、素养落地1.通过学习导数
10、的几何意义，理解切线的斜率与导数的关系，培养数学运算和直观想象素养.2.导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.二、素养训练1.若曲线yh(x)在点P(a，h(a)处的切线方程为2xy10，则()A.h(a)0 B.h(a)0 D.h(a)不存在解析由2xy10，得y2x1，由导数的几何意
11、义可知h(a)20 B.f(1)0C.f(1)0.答案A3.已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)图象如图所示，则下列不等式正确的是()A.f(a)f(b)f(c)B.f(b)f(c)f(a)C.f(a)f(c)f(b)D.f(c)f(a)f(b)解析如图，分别作曲线在xa，xb，xc三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1k2k3，又f(a)k1，f(b)k2，f(c)k3，所以f(a)f(b)f(c).故选A.答案A4.曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()A.a1，b1 B.a1，b1C.a1，b1 D.a1，b1解析将(0，b)代
12、入切线方程可得0b10，b1，y2xa，当x0时，ya1.答案D5.如图，曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线l过点(2，0)，且f(1)2，则f(1)的值为()A.1 B.1C.2 D.3解析曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切线l过点(2，0)，且f(1)2，所以切线方程为y2(x2).因为切点在曲线上也在切线上，所以f(1)2(12)2.故选C.答案C二、填空题6.已知函数yax2b在点(1，3)处的切线斜率为2，则_.解析由题意知ab3，又y|x1 (2aax)2a2，a1，b2，故2.答案27.若函数f(x)x，则它与x轴交点处的切线方程为_.解析f(x)x与x轴交点坐标为
13、(1，0)，(1，0)，f(x)1，f(1)2，f(1)2，所求切线方程为y2(x1)或y2(x1)，即2xy20或2xy20.答案2xy20或2xy208.若点P是抛物线yx2上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为_.解析由题意可得，当点P到直线yx2的距离最小时，点P为抛物线yx2的一条切线的切点，且该切线平行于直线yx2，设yf(x)x2，由导数的几何意义知yf(x)2x1，解得x，所以P，故点P到直线yx2的最小距离d.答案三、解答题9.已知曲线yx3上一点P，求：(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程.解(1)由yx3，得y3x23xx(x)2x2，y|x2224.所以
14、点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程为y4(x2)，即12x3y160.10.在抛物线yx2上，哪一点处的切线平行于直线4xy10？哪一点处的切线垂直于这条直线？解y (2xx)2x.设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4xy10，则k2x04，解得x02.所以y0x4，即P(2，4).设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4xy10，则k2x1，解得x1.所以y1x，即Q.故抛物线yx2在点(2，4)处的切线平行于直线4xy10，在点处的切线垂直于直线4xy10.能力提升11.设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐
15、标的取值范围为()A. B.1，0C.0，1 D.解析y (x2x2)2x2，又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，所以其斜率k1.由y2x21，)，解得x，故选D.答案D12.设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值.解设切点为P(x0，y0)，则f(x0)3x3x0x(x)22ax0ax93x2ax09，f(x0)39.斜率最小的切线与直线12xy6平行，该切线斜率为12.912.解得a3.又a0，a3.创新猜想13.(多选题)下列说法正确的是()A.若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处也可能有切线B.
16、若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C.若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D.若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在解析kf(x0)，所以f(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是xx0，故AC正确.答案AC14.(多空题)已知直线xyb是函数f(x)ax的图象在点(1，m)处的切线，则ab_，m_.解析由题意知ma2，1mb，因为f(1)a2，所以曲线f(x)在点(1，m)处的切线斜率为a2，由a21，得a1，m3，b4，ab5.答案53