1、天津市第一中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）1.已知全集为，集合，则元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义求出，即可得到元素个数【详解】由，可得：，所以，即元素个数为2，故答案选B【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合交集的定义，属于基础题。2.命题“”的否定是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，故选C.【点睛】本题主要考查了含有一个
2、量词的否定，其中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.下列关系中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性比较即可.【详解】因为是单调递减函数，所以， 因为幂函数在上递增，；所以，即，故选D.【点睛】同底指数幂比较大小常用的方法是利用指数函数的单调性，不同底数指数幂比较大小一般应用幂函数的单调性.4.函数在上是増函数，则的取值范围是( )。A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得，函数二次项系数含有参数，所以采用分类讨论思想，分别求出当和时，使函数满足在上是増函
3、数的的取值范围，最后取并集，即可求解出结果。【详解】由题意得，当时，函数在上是増函数；当时，要使函数在上是増函数，应满足或，解得或。综上所述，故答案选B。【点睛】本题主要考查了利用函数在某一区间的单调性求参数的范围，对于二次项系数含参的的函数，首先要分类讨论，再利用一次函数或二次函数的性质，建立参数的不等关系进行求解。5.若不等式的解集为，那么不等式的解集为 ()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到，由根与系数的关系求出的关系，再代入不等式，求解即可.【详解】因为不等式的解集为，所以和是方程的两根，且，所以,即，代入不等式整理
4、得，因为，所以,所以，故选D【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，已知一元二次不等式的解求参数，通常用到韦达定理来处理，难度不大.6.使不等式成立的充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式，得不等式的解集；使不等式成立的充分不必要条件是不等式解集的真子集即可【详解】当时，不等式可化为，解得或，所以；当时，不等式可化为，即，显然无解；所以不等式的解集为；又使不等式成立充分不必要条件应是不等式解集的真子集，由题中选项，可得，B正确.故选：B【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，熟记不等式的解法，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.7.
5、已知函数，当时，取得最小值，则等于（）A. -3B. 2C. 3D. 8【答案】C【解析】分析】配凑成可用基本不等式的形式。计算出最值与取最值时的x值。【详解】当且仅当即时取等号，即【点睛】在使用均值不等式时需注意“一正二定三相等”缺一不可。8.定义，则函数的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，化，进而可求出其值域.【详解】由题意可得：函数，则函数的值域为故选：B【点睛】本题考查求分段函数的值域，会根据题意写出分段函数的解析式即可，属于常考题型.9.若函数y=f（x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在（0，+，)上有最大值8，则函数y=F(x)
6、在(，0)上有 ( )A. 最小值8B. 最大值8C. 最小值6D. 最小值4【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性即可得到结果.【详解】yf（x）和yx都是奇函数，af（x）+bx也为奇函数，又F（x）af（x）+bx+2在（0，+）上有最大值8，af（x）+bx在（0，+）上有最大值6，af（x）+bx在（，0）上有最小值6，F（x）af（x）+bx+2在（，0）上有最小值4，故选：D【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，函数的最值及其几何意义，其中根据函数奇偶性的性质，构造出F（x）2af（x）+bx也为奇函数，是解答本题的关键10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠
7、基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用定义说明函数为奇函数，再把函数解析式变形，得到的范围，然后分类求解，即可得出结果【详解】，为奇函数，化，则当时，；当时，；当时，.函数的值域是故选：D【点睛】本题考查函数值域的求法，考查函数奇偶性的应用，考查分析问题与解决问题的能力，属于常考题型二、填空题（本大题共6小题）11.计算_【答案】9【解析】【分析】利用指数幂的性质即可得出。【详解】【点睛】本题主
8、要指数幂的性质，如 、，属于基础题。12.已知函数，且，则_【答案】【解析】设，则是奇函数， , +得,故答案为.13. 设f(x)为奇函数，且在（，0）上递减，f(2)=0,则xf(x)0的解集为_【答案】(，2) (2，)【解析】试题分析：f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（-，0）上递减，f（x）在（0，+）上递减，由f（-2）=0，得f（-2）=-f（2）=0，即f（2）=0，由f（-0）=-f（0），得f（0）=0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象，得xf（x）0或，解得x-2或x2，xf（x）0的解集为：（-，-2）（2，+）考点：奇偶性与单调性的综合14.设是定义在上的偶函
9、数在上递增，若，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据函数为偶函数和函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由于函数为偶函数，且在上递增，所以函数在上递减.由得，所以，解得.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和函数的单调性，考查不等式的解法，属于中档题.15.若函数在上为增函数，则取值范围为_.【答案】【解析】函数在上为增函数，则需，解得，故填.16.已知函数的定义域为，对任意实数满足：，且，当时，.给出以下结论:;为上的减函数;为奇函数;为偶函数.其中正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】由题意采用赋值法，可解决，在此基础上，根据函数奇偶性与单调性，继续对各个选
10、项逐一验证可得答案【详解】由题意和的任意性，取代入，可得，即，故正确；取， 代入可得，即，解得；再令代入可得，故正确；令代入可得，即，故为奇函数，正确；取代入可得，即，即，故为上减函数，错误；错误，因为，由可知为奇函数，故不恒为0，故函数不是偶函数.故答案为：【点睛】本题考查函数的概念及性质，熟记函数的基本性质，灵活运用赋值法进行处理即可，属于常考题型.三、解答题（本大题共4小题）17.已知集合，.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先化简集合，根据交集的概念，即可得出结果；（2）根据题意，分别讨论和两种情况，列出不等式求解，即可得出结果.【详
11、解】（1）因为集合，；所以；（2）因为集合，当时，解得，此时满足；当时，由题意可得：，解得，此时满足；综上知，实数的取值范围是【点睛】本题主要考查求集合的交集，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记交集的概念，集合间的基本关系，以及不等式的解法即可，属于常考题型.18.已知定义在区间上的函数为奇函数（1）求实数值；（2）判断并证明函数在区间上的单调性；（3）解关于的不等式【答案】（1）；（2）在区间上是增函数，见解析；（3）【解析】分析】（1）由函数是在区间上的奇函数，得到，即可求解；（2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数在区间上是增函数（3）由为奇函数，得到，再由函数在区间上是增函数，得
12、到不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，函数是在区间上的奇函数，所以，即函数，经检验符合题意，所以实数的值（2）设，则，因为， 则，所以，即，所以函数在区间上是增函数（3）因为，且为奇函数，所以又由函数在区间上是增函数，所以，解得， 故关于的不等式的解集为【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记函数的单调性的定义和判定方法，以及熟练应用函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.设函数（1）若，且，求的最小值；（2）若，且在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；(2)【解析】【分析】（1）由，求得，利用基本不等式，即可求解的最小值； （2
13、）由，求得，得到不等式在上恒成立，等价于是不等式解集的子集，分类讨论求得不等式的解集，进行判定，即可求解.【详解】（1）函数，由，可得，所以，当时等号成立，因为，解得时等号成立，此时的最小值是. （2）由，即，又由在上恒成立，即在上恒成立，等价于是不等式解集的子集，当时，不等式解集为，满足题意；当时，不等式的解集为，则，解得，故有；当时，即时，不等式的解集为，满足题意； 当时，即时，不等式的解集为，不满足题意，（舍去），综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及一元二次不等式的恒成立问题的求解，其中解答中熟记基本不等式的应用，以及熟练应用一元二次不等式的解法是解答
14、的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.20.已知定义域为的单调递减的奇函数，当时，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由于是定义域为奇函数，所以可以先求出的值，进而可得的值；（2）先由是奇函数以及时的解析式求出时的解析式，再由的定义域为求出，进而可求得在上的解析式；（3）首先利用函数的奇偶性对不等式进行变形，再判断出在上的单调性，得到关于的二次不等式恒成立，由即可求得的范围试题解析：（1）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数，所以（2）因为定义域为R的函数f（x）是奇函数当时，又因为函数f（x）是奇函数综上所述（3）且f（x）在R上单调，f（x）在R上单调递减由得f（x）是奇函数又因为 f（x）是减函数即对任意恒成立得即为所求考点：1、分段函数；2、函数的奇偶性；3、函数的单调性