1、4.2对数4.2.1对数的概念4.2.2对数的运算性质基础过关练题组一对数的概念及性质1.给出下列说法:只有正数有对数;任何一个指数式都可以化成对数式;以5为底25的对数等于2;3log3(-5)=-5成立.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.32.(2021江苏连云港白塔高级中学高一月考)在N=log(5-b)(b-2)中,实数b的取值范围是()A.b5B.2b5C.4b5D.2b0,且loga2=logb3=,则log3alog2b=.14.计算:2log24+3log21-lg 3log32-lg 5=.题组四对数的实际应用15.(2021江苏南通马塘中学高一月考)某种溶液含有杂质
2、,为达到实验要求,杂质含量不能超过0.1%,而这种溶液最初杂质含量为2%,若每过滤一次杂质含量减少13,则为使溶液达到实验要求最少需要过滤的次数为(可能用到的数据:lg 2=0.301,lg 3=0.477 1)(深度解析)A.7B.8C.9D.1016.(2021江苏徐州七中高一期中)已知抽气机每次抽出容器内空气的60%,设原来容器内空气为1,通过x次抽气后容器内空气为y.(1)写出y关于x的关系式;(2)要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次?(参考数据:lg 20.301 0)深度解析能力提升练题组一对数的概念及性质1.(2021江苏昆山中学高一月考,)下列说法正确的是()A
3、.若M=N,则log2M=log2NB.若2M=2N,则M=NC.若log2M2=log2N2,则M=ND.若M2=N2,则M-12=N-122.(多选)(2021江苏南京江浦高级中学高一月考,)下面给出的四个式子(式中a0,a1,x0,y0,xy)中错误的是()A.logax+logay=loga(xy)B.logaxlogay=loga(x+y)C.logaxy=loga(x-y)D.loga(x-y)=logaxlogay3.(2021江苏宜兴中学高一期中,)已知6a=2,b=log36,计算下列式子的值:(1)36a+3b;(2)1a-1(b-1).深度解析题组二对数的运算性质及换底公
4、式的应用4.(2021江苏泰兴黄桥中学高一月考,)设12a=5b=m,且1a1b=2,则m=()A.110B.10C.10D.10105.(2020陕西西安中学高一上期中,)已知x,y,z都是大于1的正数,m0,logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为()A.160B.60C.2003D.3206.(多选)(2021江苏徐州一中高一上期中,)已知2a=3,b=log32,则()A.a+b2B.ab=1C.3b+3-b=829D.a(b+1)+12a=log9127.(多选)(2021江苏苏州震泽中学高一月考,)设a=log0.20.3,b=log20.3,则
5、()A.1a1bB.ab0C.a+b0D.ab0,5-b0,5-b1,解得2b5且b4.所以实数b的取值范围是2b0且a1,N0.4.C由loga14=2,得a2=14,又a0且a1,所以a=12.故选C.5.答案x=log27解析根据对数的概念可得方程2x=7的解为x=log27.6.Clog210+log20.4=log2(100.4)=log24=log222=2.故选C.7.D对于选项A,24=2+4=6,故A错误;对于选项B,e23=3e2,故B错误;对于选项C,ln6ln3=log36,故C错误;对于选项D,lg 4+lg 25=lg(425)=lg 100=2,故D 正确.故选D
6、.8.B827-13+lg10=233-13+lg 1012=23-1+12lg 10=32+12=2.故选B.9.B由1 000a=5,得a=log1 0005.由100b=2,得b=log1002.3a+2b=3log1 0005+2log1002=3log1035+2log1022=lg 5+lg 2=lg 10=1.故选B.10.解析(1)(lg 2)2+2lg 2lg 5+(lg 5)2=(lg 2+lg 5)2=(lg 10)2=1.(2)log2716log38=log3324log323=43log323log32=49.易错警示只有当式子中所有的对数式都有意义时,对数的运算性
7、质才成立.如log2(-3)(-5)是存在的,但log2(-3)与log2(-5)均不存在,故不能写成log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5).11.Alog1210=1lg12=1lg3+2lg2=12a+b.故选A.12.答案3a+2b1-a解析log572=lg72lg5=lg(89)lg102=lg8+lg91-lg2=3lg2+2lg31-lg2.因为lg 2=a,lg 3=b,所以log572=3a+2b1-a.13.答案12解析因为实数a,b0,且loga2=logb3=,所以由换底公式可得log3alog2b=lgalg3lgblg2=lgalg2lgblg
8、3=1loga21logb3=12.14.答案4解析原式=4+30-lg 3lg2lg3-lg 5=4+1-(lg 2+lg 5)=4.15.B若有100单位的溶液,则初始的杂质含量为2单位.开始过滤后,溶液中杂质的含量为:1次后,223;2次后,2232;n次后,223n.根据题意,得223n1+lg2lg3-lg27.4,所以为使溶液达到实验要求最少需要过滤的次数为8.故选B.方法总结换底公式在应用时究竟换成以什么为底数要由具体的已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.16.解析(1)y=(1-60%)x=0.4x(xN).(2)由题意得(1-60%)x0.1%,即0.4xlog0.
9、40.001.log0.40.001=lg0.001lg0.4=31-2lg27.54,x8,xN.至少抽8次.解题模板在解答实际问题时,要先提炼已知条件中的有用信息,再找出其中的数量关系,最后利用对数的有关知识进行解答.能力提升练1.B选项A中,当M=N0时,log2M,log2N无意义,故错误;选项B中,若2M=2N,则M=N,故正确;选项C中,若log2M2=log2N2,则M2=N2,所以M=N或M=-N,故错误;选项D中,若M2=N2,则M=N或M=-N,当M=-N时,不成立,故错误.故选B.2.BCD选项A中,由对数的运算性质知,当a0,a1,x0,y0时,logax+logay=
10、loga(xy),故A正确;选项B中,当x=2,y=1时,满足x0,y0,xy,但logaxlogay=0loga(x+y)=loga3,故B错误;选项C中,当x=2,y=1时,满足x0,y0,xy,但logaxy=loga2loga(x-y)=0,故C错误;选项D中,当x=2,y=1时,满足x0,y0,xy,但logaxlogay=loga20无意义,故D错误.故选BCD.3.解析(1)因为6a=2,所以36a=(6a)2=4.因为b=log36,所以3b=6.所以36a+3b=4+6=10.(2)因为6a=2,所以a=log62,1a=log26,1a-1=log26-1=log23.因为
11、b=log36,所以b-1=log36-1=log32.所以1a-1(b-1)=log23log32=1.方法总结在解决对数问题时,我们可以把它转化为指数问题,利用分数指数幂的有关运算性质来解决;反过来,我们也可以把较复杂的指数式的有关问题转化为对数问题来解法.4.D12a=5b=m,a=log12m,b=log5m.又1a1b=2,logm12-logm5=2,即logm110=2,m=1010.故选D.5.B依题意得logmx=124,logmy=140,logm(xyz)=112logmx+logmy+logmz=112.logmz=112124140=160.logzm=60,故选B.
12、6.ABD由2a=3,得a=log23.ab=log23log32=1,故B正确;a+b2ab=2,故A正确;3b+3-b=3log32+3log312=2+12=52,故C错误;a(b+1)+12a=ab+a+12a=2+a2a=1a+12=log32+log33=log323=log912log93=2log912=log912,故D正确.故选ABD.7.BCD易得a=log0.20.3=lg0.3-lg50,b=log20.3=lg0.3lg201b,故A错误;a+b=lg0.3lg2lg0.3lg5=lg0.3(lg5-lg2)lg2lg5=lg0.3lg52lg2lg5,ab=-lg
13、0.3lg2lg0.3lg5=lg0.3lg103lg2lg5,lg103lg52,lg0.3lg2lg50,aba+b0,故B、C、D均正确.故选BCD.8.答案-716解析对aa=(9a)8a,两边取自然对数得ln aa=ln(9a)8a,即aln a=8aln(9a),所以ln a=8(ln 9+ln a),解得ln a=-167ln 3,故loga3=ln3lna=ln3-167ln3=716.9.解析3x=4y=36,x=log336,y=log436.1x=1log336=1log3636log363=log363,1y=1log436=1log3636log364=log364,
14、2x+1y=2log363+log364=log36(324)=log3636=1.10.B将信噪比SN从1 000提升至5 000,C大约增加了Wlog2(1+5 000)-Wlog2(1+1 000)Wlog2(1+1 000)=log25 001-log21 001log21 001=lg5 001lg2-lg1 001lg2lg1 001lg2lg5 000lg2-lg1 000lg2lg1 000lg2=lg53=lg1023=1-lg230.23,所以C大约增加了23%.故选B.11.答案0,1100100,+)解析对xlg yylg x=100,两边取常用对数得2lg xlg y
15、=2,即lg xlg y=1,所以1=lg xlg ylgx+lgy22=lg(xy)22,即lg(xy)24,当且仅当x=y=10时取等号,所以lg(xy)2或lg(xy)-2,解得xy100或0log(n+1)(n+2)(nN*,n2).证明如下:因为nN*,且n2,logn(n+1)=lognn+1nn=1+lognn+1n1+log(n+1)n+1n,log(n+1)(n+2)=log(n+1)n+2n+1(n+1)=1+log(n+1)n+2n+1,所以logn(n+1)-log(n+1)(n+2)log(n+1)n+1n-log(n+1)n+2n+1=log(n+1)n+1n+log(n+1)n+1n+2=log(n+1)(n+1)2n(n+2)=log(n+1)1+1n2+2n0,所以logn(n+1)log(n+1)(n+2)(nN*,n2).