1、第四节相等关系与不等关系考点要求1.了解现实世界及日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.了解基本不等式的证明过程.3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(对应学生用书第8页)1两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2等式的性质(1)对称性：若ab，则ba.(2)传递性：若ab，bc，则ac.(3)可加性：若ab，则acbc.(4)可乘性：若ab，则acbc；若ab，cd，则acbd.3不等式的性质(1)对称性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；(5)乘
2、方法则：ab0anbn(n2，nN)；(6)开方法则：ab0(n2，nN)；(7)倒数性质：设ab0，则a.4基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数5两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号6利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大).1若ab0
3、，m0，则；若ba0，m0，则.2.2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号3ab.4.(a0，b0).一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(2)abac2bc2.()(3)函数f(x)sin x，x(0，)的最小值为4.()(4)x0且y0是2的充要条件()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1设A(x3)2，B(x2)(x4)，则A与B的大小关系为()AABBABCAB DABBAB(x3)2(x2)(x4)x26x9x26x810，AB，故选B.2若x0，则x()A有最小值，且最小值为2B有最大值，且最大值为2C有最小值，且最
4、小值为2D有最大值，且最大值为2D因为x0，x22，当且仅当x1时，等号成立，所以x2.3函数f(x)x(x2)的最小值为_4当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号4若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.25设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，则另一边为(202x)(10x)m，则yx(10x)25，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.(对应学生用书第9页)考点1比较大小与不等式的性质比较大小的5种常用方法(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等).(2)作商法：直接
5、作商与1的大小比较，注意两式的符号(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较(4)不等式的性质法(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论1.若a，b，cR，且ab，则下列不等式一定成立的是()AacbcB(ab)c20Cacbc DB(不等式的性质法)a，b，cR，且ab，可得ab0，因为c20，所以(ab)c20.故选B.2若a0，b0，则p与qab的大小关系为()Apq DpqB法一： (作差法)pqab(b2a2)，因为a0，b0，所以ab0.若ab，则pq0，故pq；若ab，则pq0，故pq.综上，pq.故选B.法二：
6、(特殊值排除法)令ab1，则pq2，排除选项A、C; 令a1，b2，则pq，排除选项D.故选B.3(2019全国卷)若ab，则()Aln (ab)0 B3a3bCa3b30 D|a|b|C法一：由函数yln x的图象(图略)知，当0ab1时，ln (ab)b时，3a3b，故B不正确；因为函数yx3在R上单调递增，所以当ab时，a3b3，即a3b30，故C正确；当ba0时，|a|1)的最小值为_(3)一题两空已知x，则y4x的最小值为_，此时x_(1)C(2)22(3)7(1)a0，b0，4a3b6，a(a3b)3a(a3b)3，当且仅当3aa3b，即a1，b时，a(a3b)的最大值是3.(2)
7、x1，x10，y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成立(3)x，4x50.y4x4x55257.当且仅当4x5，即x时上式“”成立即x时，ymin7.母题探究一题两空把本例(3)中的条件“x”，改为“x”，则y4x的最大值为_，此时x_31因为x0，则y4x525253.当且仅当54x，即x1时，等号成立故y4x的最大值为3.此时x1.(1)本例(1)解答易忽视两项和为定值的条件，常见的错误解法为：a(a3b)，当且仅当aa3b，且4a3b6，即a，b0时，a(a3b)的最大值为，从而错选B.(2)应用拆项、添项法求最值时，应注意检验基本不等式的前提条件：“一正、二定、三相等”，如T
8、(1)，T(2).常数代换法求最值常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式(4)利用基本不等式求解最值已知a0，b0，ab1，则的最小值为_4因为ab1，所以(ab)222224.当且仅当ab时，等号成立母题探究1若本例条件不变，求(1)(1)的最小值解(1)(1)(1)(1)52549.当且仅当ab时，等号成立2若将本例条件改为a2b3，如何求解的最小值解因为a2b3，所以ab1.所以121.当且仅当ab时，等号成立常数代换法主要解决形如“已知xyt(t为常数
9、)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值教师备选例题设ab2，b0，则取最小值时，a的值为_2ab2，b0，21，当且仅当时等号成立又ab2，b0，当b2a，a2时，取得最小值(2019深圳市福田区模拟)已知a1，b0，ab2，则的最小值为()ABC32 DA已知a1，b0，ab2，可得(a1)b1，又a10，则(a1)b12.当且仅当，ab2时取等号则的最小值为.故选A.消元法求最值对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二
10、元，二元化一元).(2019嘉兴期末)已知a0，b0，且2abab1，则a2b的最小值为()A52 B8C5 D9Aa0，b0，且2abab1，a0，b2，a2b2b2(b2)55252.当且仅当2(b2)，即b2时取等号a2b的最小值为52.故选A.求解本题的关键是将等式“2abab1”变形为“a，然后借助配凑法求最值(2019新余模拟)已知正实数a，b，c满足a22ab9b2c0，则当取得最大值时，的最大值为()A3 BC1 D0C由正实数a，b，c满足a22ab9b2c，得，当且仅当，即a3b时，取最大值.又因为a22ab9b2c0，所以此时c12b2，所以1，故最大值为1.利用两次基本
11、不等式求最值当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性已知ab0，那么a2的最小值为_4由题意ab0，则ab0，所以b(ab)，所以a2a224，当且仅当bab且a2，即a，b时取等号，所以a2的最小值为4.由于b(ab)为定值，故可求出b(ab)的最大值，然后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值若a，bR，ab0，则的最小值为_4因为ab0，所以4ab24，当且仅当时取等号，故的最小值是4.考点3利用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变
12、量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50x120)的关系可近似表示为y(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解(1)当x50，80)时，y(x2130x4 900)(x65)2675，所以当x65时，y取得最小值，最小值为6759.当x80
13、，120时，函数y12单调递减，故当x120时，y取得最小值，最小值为1210.因为910，所以当x65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少(2)设总耗油量为l L，由题意可知ly，当x50，80)时，ly16，当且仅当x，即x70时，l取得最小值，最小值为16.当x80，120时，ly2为减函数，所以当x120时，l取得最小值，最小值为10.因为1016，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解(2019上海模拟)经济订货批量模型，是目
14、前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6 000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？解(1)因为年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费由题意可得：A6 000，B120，C2 500，所以年存储成本费T(x)60x，若该化工厂每次订购300吨甲醇，所以年存储成本费为T(300)6030068 000.(2)因为年存储成本费T(x)60x，x0，所以T(x)60x260 000，当且仅当60x，即x500时，取等号所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60 000元
