1、2017年高考模拟试卷(9)南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 （第3题）开始输入xy5x4yx2-2x+2输出y结束YN1 全集，集合，则= 2 设复数（，是虚数单位），若，则的值为 3 在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为 4 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 （第6题）时间（小时）频率组距0.0040.0080.0120.016050751001251505 顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是 6 为了解
2、学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在50，150中，其频率分布直方图如图所示已知在中的频数为24，则n的值为 7 甲，乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A（单位/kg）维生素B（单位/kg）甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A，B的含量分别不低于100，120单位，则混合物重量的最小值为 kg8 已知一个正四棱锥的底面边长为，侧棱与底面所成的角为60，则该棱锥的体积为 9在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点A是轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为 10若函数 在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的
3、值为 11设直线是曲线的切线，则直线的斜率的最小值为 12扇形AOB中，弦，C为劣弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是 13在平面直角坐标系xOy中，已知，是直线上的两点，则的值为 14已知函数有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数的取值集合为 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15(本小题满分14分)已知tana2，cosb ，且a，b(0，p)，（1）求cos2a的值；（2）求2ab的值16（本小题满分14分）D（第16题）PAPBPCMN如图，在四棱锥中，ACD是正三角形，垂直平分，垂足为，120 ，为的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面17. （本小题满分14分）在
4、平面直角坐标系中，已知分别是椭圆的上、下顶点，xyOMNA（第17题）BPQ点为线段的中点，. （1）求椭圆的方程；（2）设（），直线，分别交椭圆于点，直线，的斜率分别为，. 求证：三点共线； 求证：为定值.18(本小题满分16分)如图，一个角形海湾AOB，AOB2（常数为锐角）拟用长度为l（l为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中l；llAOB AOB图1QPAOBCD图2（第18题）222方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CDl； （1）求方案一中养殖区的面积S1 ；（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S2；（3）为使养殖
5、区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由19（本小题满分16分）已知数列的首项为2，前项的和为，且（） （1）求的值； （2）设，求数列的通项公式；（3）若（，）成等比数列，试比较与的大小，并证明20（本小题满分16分）已知函数，其中是自然对数的底数（1）若曲线在处的切线方程为求实数的值；（2） 若时，函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围； 若，若对一切正实数恒成立，求实数的最大值（用表示）第II卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.A，（选修4-1；几何证明选讲） 如图，交于两点，直线过点，与，
6、分别交于点，直线过点，与，分别交于点求证：B（选修4-2：矩阵与变换） 若二阶矩阵满足：.(1）求二阶矩阵；(2）若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程.C（选修4-4：坐标系与参数方程） 已知点（其中，点的轨迹记为曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点在曲线上(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)当时，求曲线与曲线的公共点的极坐标D（选修4-5：不等式选讲） 已知实数，证明：【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22已知正六棱锥的底面边长为2，高为1现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积 （1
7、）求概率的值； （2）求的分布列，并求其数学期望23.已知数列an满足：a11，对任意的nN*，都有an1(1)an（1）求证：当n2时，an2；（2）利用“x0，ln(1x)x”，证明：an2e(其中e是自然对数的底数)2017年高考模拟试卷(9)参考答案南通市数学学科基地命题一、填空题1. 2. . 3.-4. 4. . 5. . 6. 60.7. 30. 线性规划或待定系数法，设甲、乙混货物分别为x,y克，由题意,设，解得，即可.8. . 9. . 设CA=x,则PQ=2CPcosCAP=, 据此可得 .10. . 易知函数在上有一个零点，所以由题意得方程在上恰有一解，即在上恰有一解.
8、令，得，当时，单调递增，当时，单调递减，所以.119. ,也可以求导.12. .设弦AB中点为，则，若同向，则；若反向，则，故的最小值在反向时取得，此时，当且仅当时取等号，即的最小值是13.（方法一）由题意，得所以是方程的两根即方程，所以，所以（方法二）同上，是方程的两根ABHOxyC设，则令，得，所以，所以（方法三）直线交单位圆于两点，过作，垂足为，易知因为，所以，即，所以14.当时，得，结合图形知， 当时，成等差数列，则，代入得，； 当时，方程，即的根为， 则，且，解得，又，所以. 当时，显然不符合. 所以的取值集合. 二解答题:本大题共6小题，共90分15 (1)因为tan2，所以2，即
9、sin2cos又sin2cos21，所以5cos21，即cos2所以 cos22cos21 (2)由(0，p)，且tan21，得(，)，所以2(，p).由题知cos2，所以sin2又因为b(0，p)，cos(1，0)，所以(，p)，所以sin，且2(，)因为sin(2)sin2coscos2sin()()，所以2 16.（1）因为垂直平分，所以，在ABC中，因为，所以因为ACD是正三角形，所以，所以，即 因为，所以，又因为，由，知，即 因为平面，所以平面 HPABCDMN （2）（方法一）取的中点，连结， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面 由ACD是正三角形，为的中点，所以由（
10、1）知，所以，因为平面，平面，所以平面 因为平面，所以平面平面 因为平面，所以平面 （方法二）取的中点，过作交的延长线于，连结， 因为为的中点，所以，且，PABCDMNTS因为，所以 由（1）知，所以，在直角 CBT中，得由（1）知，所以，所以 所以四边形是平行四边形，所以 因为平面，平面，所以平面 17（1）由题意知， 解得， 所以椭圆的方程为. （2） 由，则直线的方程为，直线的方程为. 由得，故.由得，故. 所以直线的斜率，直线的斜率，所以，故三点共线. 由知，. 所以， 所以为定值. 18(1)设OPr，则lr2，即r，所以S1lr，(0，) (2)设OCa，ODb由余弦定理，得l2a
11、2b22abcos2，所以l22ab2abcos2 所以 ab，当且仅当ab时“”成立所以SOCDabsin2，即S2 (3)(tan)，(0，)， 令f()tan，则f ()()1 当0，)时，f ()0，所以f()在区间0，)上单调增所以，当(0，)时，总有f()f(0)0，即0，即S1S2 答：为使养殖区面积最大，应选择方案一 19 （1）易得 （2）由，得， 所以 所以， 由-，得 因为，所以 所以，即， 即，所以数列是公差为1的等差数列 因为，所以数列的通项公式为 （3）由（2）知，所以，所以，所以数列是常数列由，所以 （方法一）由（）成等比数列，则，成等比数列，所以，所以，即（*）
12、（途径一）（*）式即为，所以，即，所以，即 （途径二）（*）式即为由，所以 （方法二）由（）成等比数列，则，成等比数列，记，（），则有，成等比数列，所以，即若，即时，则，所以，矛盾；若，则，所以，所以，矛盾所以，即 20 (1) 由题意知曲线过点(1,0)，且；又因为，则有解得. (2) 当时，函数的导函数，若时，得，设 . 由，得，. 当时，函数在区间上为减函数，；仅当时，有两个不同的解，设为，. x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，+)-0+0-极大值极小值 此时，函数既有极大值，又有极小值. 由题意对一切正实数恒成立，取得.下证对一切正实数恒成立. 首先，证明. 设函数，则，当时
13、，；当时，；得，即，当且仅当都在处取到等号. 再证. 设，则，当时，；当时，；得，即，当且仅当都在处取到等号. 由上可得，所以，即实数的最大值为. 数学（附加题） 21 A. 连结，因为四边形是的内接四边形，所以， 又在中，所以，所以 B（1） 设，则， (2），即 代入可得，即，故曲线的方程为 C. (1)曲线：，极坐标方程为 曲线的直角坐标方程为； (2) 曲线与曲线的公共点的坐标为，极坐标为 D. 因为， 所以， ， 所以 当且仅当时，等号成立 22（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有种取法其中的三角形如ABF， 这类三角形共有6个 因此 （2）由题意，的可能取值为，2，其中
14、的三角形如ABF，这类三角形共有6个；其中的三角形有两类，如PAD(3个)，PAB(6个)，共有9个；其中的三角形如PBD，这类三角形共有6个；其中的三角形如CDF，这类三角形共有12个；其中的三角形如BDF，这类三角形共有2个因此， 所以随机变量的概率分布列为：2 所求数学期望= 23 (1)当n2时，a22，不等式成立假设当nk(k2)时不等式成立，即ak2，则当nk1时，ak1(1)ak2所以，当nk1时，不等式也成立根据，可知，对所有n2，an2成立 (2)当n2时，由递推公式及(1)的结论有an1(1)an(1)an(n2)两边取对数，并利用已知不等式ln(1x)x，得lnan1ln(1)lnanlnan，故 lnan1lnan(n2)，求和可得lnanlna2()()()由(1)知，a22，故有ln，即an2e(n2)，而a112e，所以对任意正整数n，有an2e