1、第一章 空间向量与立体几何（A卷基础卷）一选择题（共8小题）1（2020春和平区期中）已知空间向量（3，1，3），（1，1），且，则实数（）AB3CD6【解答】解：，可设k，解得k故选：A2（2020春点军区校级月考）在正四面体PABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为（）A1B1CD【解答】解：如图，PABC为正四面体，则APCBPCAPB60，E是棱AB中点，所以，所以（）121，故选：A3（2020春点军区校级月考）设x，yR，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，4，2），且，则|（）ABC3D4【解答】解：设x，yR，向量（x，1，1），（1，y，1），（2，4，2），且，
2、解得x1，y2，（1，1，1）+（1，2，1）（2，1，2），|故选：C4（2019秋焦作期末）在ABC中，D是线段AB上靠近B的三等分点，E是线段AC的中点，BE与CD交于F点，若，则a，b的值分别为（）ABCD【解答】解：取AD的中点为G，连接GE由已知得GECD，所以DFEG，又因为D是GB的中点，所以F是BE的中点，所以a，b故选：A5（2019秋榆树市期末）若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）ABC或D2【解答】解：向量，与的夹角余弦为，cos，解得故选：A6（2020山东）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球（球心记为O）
3、，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A20B40C50D90【解答】解：可设A所在的纬线圈的圆心为O，OO垂直于纬线所在的圆面，由图可得OHA为晷针与点A处的水平面所成角，又OAO为40且OAAH，在RtOHA中，OAOH，OHAOAO40，故选：B7（2019秋龙岩期末）如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且，用表示向量的结果是（）ABCD【解答】解：M是D1D的中点， 故选：
4、D8（2020茂名二模）已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB则下列命题中正确的有（）平面PAB平面PAE；PBAD；直线CD与PF所成角的余弦值为；直线PD与平面ABC所成的角为45；CD平面PAEABCD【解答】解：PA平面ABC，PAAB，在正六边形ABCDEF中，ABAE，PAAEA，AB平面PAE，且AB面PAB，平面PAB平面PAE，故成立；AD与PB在平面的射影AB不垂直，不成立；CDAF，直线CD与PF所成角为PFA，在RtPAF中，PA2AF，cosPFA，成立在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，故成立CDAF平面PAF，平面PAF平面P
5、AEPA，直线CD平面PAE也不成立，即不成立故选：B二多选题（共4小题）9（2019秋连云港期末）已知点P是ABC所在的平面外一点，若（2，1，4），（1，2，1），（4，2，0），则（）AAPABBAPBPCBCDAPBC【解答】解；A.22+40，因此正确B.（2，1，4）+（1，2，1）（3，3，3），3+6360，AP与BP不垂直，因此不正确C（4，2，0）（2，1，4）（6，1，4），|，因此正确D假设k，则，无解，因此假设不正确，因此AP与BC不可能平行，因此不正确故选：AC10（2019秋南通期末）设，是空间一个基底（）A若，则B则，两两共面，但，不可能共面C对空间任一向量，总
6、存在有序实数组（x，y，z），使D则，一定能构成空间的一个基底【解答】解：由，是空间一个基底，知：在A中，若，则与相交或平行，故A错误；在B中，两两共面，但，不可能共面，故B正确；在C中，对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使，故C正确；在D中，一定能构成空间的一个基底，故D正确故选：BCD11（2019秋建邺区校级期中）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果（2，1，4），（4，2，0），（1，2，1）下列结论正确的有（）AAPABBAPADC是平面ABCD的一个法向量D【解答】解：对于A，2（1）+（1）2+（4）（1）0，即APAB，A正确；对于B，（1）4+22
7、+（1）00，即APAD，B正确；对于C，由，且，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；对于D，由是平面ABCD的法向量，得出，则D错误故选：ABC12（2019秋菏泽期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分别为PC、PB的中点则（）ACDANBBDPCCPB平面ANMDDBD与平面ANMD所在的角为30【解答】解：A显然错误；若BDPC，由BDPA，则BD平面PAC，则BDAC，显然不成立；C、PBAN，又PBNM，可得到C成立；D、连接DN，因为PB平面ADMN，所以BDN是BD与平面ADMN所成的角在RtB
8、DN中，所以BD与平面ADMN所成的角为30成立；故选：CD三填空题（共4小题）13（2019秋房山区期末）设是直线与平面所成的角，则角的取值范围是0，【解答】解：是直线与平面所成的角，当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，当直线与平面垂直时，取最大值，角的取值范围是0，故答案为：0，14（2019秋温州期末）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴的对称点为A（1，2），那么，在空间直角坐标系中，B（1，2，3）关于x轴的对称轴点B坐标为（1，2，3），若点C（1，1，2）关于xOy平面的对称点为点C，则|BC|【解答】解：在空间直角坐标系中，B（1，2，3）关于x轴的对称轴点B坐
9、标为（1，2，3），若点C（1，1，2）关于xOy平面的对称点为点C，则C（1，1，2），|BC|故答案为：（1，2，3），15（2020杨浦区一模）已知圆锥的底面半径为lcm，侧面积为2cm2，则母线与底面所成角的大小为【解答】解：由圆锥侧面积公式Srl1l2，解得l2，设母线与底面所成角为，则cos，故答案为：16（2020春和平区校级月考）如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为4【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DD1a，则A（2，0，0
10、），C（0，2，0），D1（0，0，a），故，设平面ACD1的一个法向量为，则，可取，故，又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，解得a4故答案为：4四解答题（共5小题）17（2020长春四模）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，ABDC，BAD90，点E为PB的中点，且CD2AD2AB4，点F在CD上，且（）求证：EF平面PAD；（）若平面PAD平面ABCD，PAPD且PAPD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值【解答】解：（）证明：取PA的中点，连接DM，EM，在PAB中，ME为一条中位线，则，又由题意有，故，四边形DFEM为平行四边形，EFDM，又EF平面PAD，DM平面
11、PAD，EF平面PAD；（）取AD中点N，BC中点H，连接PN，NH，由平面PAD平面ABCD，且PNAD，平面PAD平面ABCDAD，可知PN平面ABCD，又ADNH，故以N为原点，NA，NH，NP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面PBF的一个法向量为，则，可取，又，故，直线PA与平面PBF所成角的正弦值为18（2020沙坪坝区校级模拟）如图，四棱台ABCDA1B1C1D1的底面是矩形，平面ABCD平面ABB1A1，AB2A1B12，AA12，（1）求证：DCAA1；（2）若二面角BCC1D的二面角的余弦值为，求AD的长【解答】解：（1）取AB中点E，连接
12、B1EAEA1B1，且AEA1B1，所以四边形AEB1A1为平行四边形，所以B1EAA12，BE1，所以，则BEB1E，所以AA1AB，又平面ABCD平面ABB1A1，所以AA1平面ABCD，所以DCAA1；（2）由（1）知AA1AD，设AD2a（a0），建系如图，则A（0，0，0），B（0，0，2），C（2a，0，2），D（2a，0，0），C1（a，2，1），故，设平面CC1D的法向量，则，可取，设平面BCC1的法向量，则，可取，所以，由二面角BCC1D的二面角的余弦值为，得，解得a2，所以AD419（2019秋清远期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB45，PD
13、平面ABCD，APBD（1）证明：BC平面PDB，（2）若AB，PB与平面APD所成角为45，求点B到平面APC的距离【解答】解：（1）证明：PD平面ABCD，BC在平面ABCD内，BD在平面ABCD内，PDBC，PDBD，又APBD，APPDP，且AP，PD均在平面APD内，BD平面APD，又AD在平面APD内，BDAD，又底面ABCD为平行四边形，BCBD，又PDBDD，且都在平面PBD内，BC平面PDB；（2）由（1）知，PB与平面APD所成角即为BPD，故BPD45，又AB，DAB45，AP2+PC2AC2，即APCP，又VPABCVBPAC，即，解得，即点B到平面APC的距离为20（
14、2020安徽模拟）如图1，四边形PBCD是等腰梯形，BCPD，PBBCCD2，PD4，A为PD的中点，将ABP沿AB折起，如图2，点M是棱PD上的点（1）若M为PD的中点，证明：平面PCD平面ABM；（2）若PC，试确定M的位置，使二面角MABD的余弦值等于【解答】解：（1）证明：由题意，ADBC，且ADBC，故四边形ABCD是平行四边形，又PBBCCD2，PD4，PBA是正三角形，四边形ABCD是菱形，取AB的中点E，连接PE，CE，易知ABC是正三角形，则ABPE，ABEC，又PEECE，AB平面PEC，ABPC，取PC的中点N，连接MN，BN，则MNCDAB，即A，B，N，M四点共面，又
15、PBBC2，则BNPC，又ABBNB，PC平面ABM，又PC在平面PCD内，平面PCD平面ABM；（2），PEEC，又ABPE且ABEC，则可以EB，EC，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，设，则，易知平面ABD的一个法向量为，设平面MAB的一个法向量为，又，则可取，由题意，解得2，故DM2MP21（2019秋扬州期末）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCCAAA12，点O为AB中点，点D为AA1中点（1）求平面ABC与平面B1CD所成锐二面角的大小；（2）已知点E满足，当异面直线DE与CB1所成角最小时，求实数的值【解答】解：在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCCA，取A1B1的中点O1，连接OO1，则OO1AA1，ABOC，又直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，而AB，OC平面ABC，故AA1OC，AA1AB，所以OO1OC，OO1AB，以OA，OO1，OC为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则，所以，（1）AA1平面ABC，平面ABC的一个法向量为，设平面B1CD的一个法向量为，则，故可取，平面ABC与平面B1CD所成锐二面角为；（2），则，设异面直线DE与CB1所成角为，则，令t+11，2，则，当时，cos取得最大值，ycos在上递减，取得最小值，此时
