1、潮州市2016届高三第三次调研考试数 学（理科）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，若，则实数的值为（ ）A B C D或2复数（为虚数单位）的共轭复数
2、为（ ）A B C D3若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）A B C D4已知，则的值为（ ）A B C D5已知圆：上到直线的距离等于1的点至少有2个，则的取值范围为（ ）A B C D6甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（ ）种。A B C D 7已知向量与向量共线，其中是的内角，则角的大小为（ ）A. B. C. D. 8某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）A1007 B2015 C2016 D30249若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是（ ）A B CD 正视图侧视图俯视图10某四
3、面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中最大面积是（ ）A B4 C D11设实数满足条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为（ ）A B C D12若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“1的饱和函数”。给出下列四个函数：； ； ； 其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）A B C D第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共4小题，每小题5分。13已知，则二项式的展开式中的系数为 14已知向量，
4、向量若向量在向量方向上的投影为3，则实数 15设数列的前项和为，且，为等差数列，则数列的通项公式 16设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）如图所示，在四边形中， =，且，（）求的面积；（）若，求的长18（本小题满分12分）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠。已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的。（）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（）用表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求的分布列和数学期望。19（本小题满分12分）如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面
5、，分别是的中点。（）证明：平面；（）取，若为上的动点，与面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。20（本小题满分12分）已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点为椭圆上一点，的面积为（）求椭圆的方程；（）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由。21（本小题满分12分）已知函数（）求函数的单调区间；（）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围。请考生在第22、23、24题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。22（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，正方形边长为2，以为圆心、为半
6、径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点（）求证：；（）求的值。23（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线的参数方程是（为参数），直线的极坐标方程为（其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合，极轴与直角坐标系轴正半轴重合，单位长度相同。）（）将曲线的参数方程化为普通方程，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）设是直线与轴的交点，是曲线上一动点，求的最大值。24（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（）求不等式的解集； （）对任意，都有成立，求实数的取值范围。数学（理科）参考答案一选择题：本大题共12小题，每小题5分。题号12345678910
7、1112答案DACBABCDDCDB1【解析】由题意得，或，解得或，故选D2【解析】因为，所以由共轭复数的定义知，其共轭复数为，故应选3【解析】根据题意有：，所以，所以定义域为故选C4【解析】因为，两边平方可得：，即，所以，又因为，所以，所以，所以，故应选5【解析】由圆的方程可知圆心为，半径为2因为圆上的点到直线的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线的距离，即，解得故A正确6【解析】甲乙相邻用捆绑法，所以，故应选7【解析】,所以，故应选C8.【解析】此程序框图表示的算法功能为求和，用分组方式，常数项1共2016个，和为2016；余弦值四个一组，每组和为2，共504组，故选D9【解析】由题意
8、可得，故，再根据 e1，可得e 的取值范围，故选D10【解析】如图，该几何体是正方体中的，正方体的棱长为2，四面体的四个面的面积分别为，最大的为故应选C11【解析】画出不等式表示的平面区域，当直线过直线与直线的交点时，目标函数取得最大12，即，则 。当且仅当时取等号。故选D12【解析】对于，若存在实数，满足，则所以，显然该方程无实根，因此不是“1的饱和函数”；对于，若存在实数，满足，则，解得，因此是“1的饱和函数”；对于，若存在实数，满足，则，化简得，显然该方程无实根，因此不是“1的饱和函数”；对于，注意到, ，即，因此是“1的饱和函数”，综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是，故
9、选B二填空题：本大题共4小题，每小题5分。13 14 15 1613.【解析】因为,，令，解得，则展开式中的系数为14 .【解析】根据投影的定义可知15.【解析】当时，；当时，所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列，所以即，当时 ，-得并整理得：，所以有，所以，当时，适合此式，所以16【解析】函数和函数互为反函数图像关于对称，则只有直线与直线垂直时才能取得最小值。设，则点到直线的距离为，令，则，令得；令得，则在上单调递减，在上单调递增。则时，所以。则。（备注：也可以用平行于的切线求最值）三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）解：（） （2分）因为，所以，（
10、4分）所以ACD的面积（6分）（）解法一：在ACD中，所以（8分）在ABC中，（10分） 把已知条件代入并化简得：因为，所以 （12分）解法二：在ACD中，在ACD中，所以（8分）因为，所以 ，（10分）得（12分）18（本小题满分12分）解：（） 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为, 由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是， (2分)则（4分）（） 的可能取值为0,1,2,3,4, （5分）由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，所以 （6分）01234 （10分） （11分）所以所求的期望值为 （12分）19（本小题满分12分）解：（）证明：由四
11、边形为菱形，可得为正三角形，因为为的中点，所以（1分） 又，因此 （2分）因为平面，平面，所以 （3分）而平面，平面，所以平面 （5分）（）（法1：为上任意一点，连接由（1）知平面，则为与平面所成的角 （6分）在中，所以当最短时，即当时，最大，此时，因此（7分）又，所以，所以（8分）因为平面，平面，所以平面平面,过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，（9分） 在中， 又是的中点，在中， 又 （10分）在中，,（11分）即所求二面角的余弦值为。（12分） （2）法2：由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系。设,（6分）则（其中）面的法向量为与平面
12、所成最大角的正切值为 的最大值为，即在的最小值为，函数对称轴，所以，计算可得（8分）所以设平面的一个法向量为，则因此，取，则 （9分）为平面的一个法向量. （10分） 所以（11分）所以，所求二面角的余弦值为 （12分）20（本小题满分12分）解：（1） 得 （1分）在椭圆上， （2分）是椭圆的焦点 （3分）由解得： （4分）椭圆的方程为 （5分）（2）的斜率，设的方程为，（6分）联立方程组整理得 ，解得（7分）设两点的坐标为，则（8分）以为直径的圆的方程为该圆经过原点 解得（11分）经检验，所求的方程为 （12分）（备注：若消去的变量为，按对应给分点给分即可）21（本小题满分12分）解：（）
13、（1分）因为当时，在上是增函数，因为当时，在上也是增函数，所以当或，总有在上是增函数，（2分）又，所以的解集为，的解集为，（3分）故函数的单调增区间为，单调减区间为（4分）（）因为存在，使得成立，而当时，所以只要即可（5分）又因为，的变化情况如下表所示：减函数极小值增函数所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值（7分）因为，令，因为，所以在上是增函数而，故当时，即；当时，即（9分）所以，当时，即，函数在上是增函数，解得；（10分）当时，即，函数在上是减函数，解得（11分）综上可知，所求的取值范围为 (12分)在第22、23、24题中任选一题做答。22（本小题满
14、分10分）解：（）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，EA为圆D的切线 （1分） 依据切割线定理得 （2分） 另外圆O以BC为直径，EB是圆O的切线，（3分）同样依据切割线定理得（4分）故（5分） （）连结，BC为圆O直径， （6分）由得 （8分）又在中，由射影定理得（10分）23（本小题满分10分）解：（）曲线的参数方程可化为 （2分）直线的方程为展开得 （4分）直线的直角坐标方程为 （5分） （）令，得，即点的坐标为（2，0）（6分）又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，则（8分）所以，的最大值为（10分）24（本小题满分10分）解：（）2 当时，, 即，；（1分）当时，,即, （2分）当时，, 即, 16 （3分）综上，解集为|6 （4分）（） ，（5分）令，表示直线的纵截距，当直线过点时，；当2，即2时成立；（7分）当，即时，令， 得, 2+，即4时成立，（9分） 综上2或4 （10分）