1、天津市第九十五中学2021届高三数学上学期模拟考试试题（二）本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟第卷选择题(共45分)参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)柱体的体积公式VSh.其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式VSh.其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知全集U1，0，1，2，3，集合A0，1，2，B1，0，1，则U(AB)()A1 B0，1 C1，2，3 D1，0，1，32设x，yR，则“xy”是“l
2、nxlny”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20，40)，40，60)，60，80)，80，100若低于60分的人数是18人，则参加体能测试的学生人数是()A45 B48 C50 D604已知的展开式中常数项为112，则实数a的值为()A1 B1 C2 D25抛物线y24x的焦点到双曲线y21(a0)的一条渐近线的距离是，则双曲线的实轴长是()A. B2 C1 D26函数f(x)的部分图象大致为()7已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，)上单调递增，则()Af(21
3、.1)f(ln3)f(log2) Bf(21.1)f(log2)f(ln3)Cf(ln3)f(21.1)f(log2) Df(ln3)f(log2)f(21.1)8已知函数f(x)sin(x)(0)，若函数f(x)在区间(0，)上有且只有两个零点，则的取值范围为()A. B. C. D.9已知函数f(x)若关于x的不等式f(x)t的解集为a，bc，d，且bc，abcd0，y0，x2y3，则的最小值为_15如图，在ABC中，AB2，AC1，D，E分别是直线AB，AC上的点，2，4且2，则BAC_；若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_三、解答题(本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证
4、明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bc，2sinBsinA.(1)求sinB的值；(2)求sin的值17(本小题满分15分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCD，且CD2，AB1，BC2，PA1，ABBC，N为PD的中点(1)求证：AN平面PBC；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；(3)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由18(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，短轴长为2，若点A、B分
5、别是椭圆E的左、右顶点，动点M(a，t)，(t)，直线AM交椭圆E于点P.(1)求椭圆E的方程；(2)求证：是定值；设ABP的面积为S1，四边形OBMP的面积为S2，求的最大值19(本小题满分15分)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a12，S530，数列bn的前n项和为Tn，且Tn2n1.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Mn，求Mn；(3)设dn(1)n(anbnlnSn)，求数列dn的前n项和20(本小题满分16分)设函数f(x)(x1)ma(x1)的定义域为(1，)，其中m0，aR.(1)若m3，判断f(x)的单调性；(2)若m0，设函数g(x)ln
6、xf(x)1ex在区间(1，)上恰有一个零点，求正数a的取值范围；(3)当a0，m1时，证明：数学答案1C命题立意本题考查集合的交集、补集的运算解析AB0，1，U(AB)1，2，3，故选C.2B命题立意本题考查充分、必要条件解析由lnxlny得xy0，由xy不能得到lnxlny，因为x，y小于0时，lnx、lny无意义，“xy”是“lnxlny”的必要不充分条件，故选B.3D命题立意本题考查频率分布直方图解析由直方图得低于60分的频率为(0.0050.010)200.3，故参加体能测试的学生人数是60，故选D.4A命题立意本题考查二项展开式的特定项解析展开式的通项为Tr1Cr8()8r(2a)
7、rCr8x.令0，得r2，常数项为(2a)2C28112，解得a1.故选A.5D命题立意本题考查双曲线、抛物线的几何性质解析抛物线y24x的焦点为F(1，0)，双曲线y21的渐近线方程为y，a1，实轴长2a2，故选D.6C命题立意本题考查函数的图象与性质解析f(0)0，排除A、D；f0，排除B，故选C.7A命题立意本题考查函数的单调性、奇偶性解析f(x)是偶函数，f(log2)f(log32)，21.12ln31log320，f(x)在(0，)上单调递增，f(21.1)f(ln3)f(log32)f(log2)，故选A.8B命题立意本题考查正弦型函数的图象和性质解析x(0，)，0，x，f(x)
8、在(0，)上有且只有两个零点，2，0时，f(x)|lnx|0；当x0时，f(x)为开口向上的二次函数图象的一部分，故t0时不合题意；当t0时，如图，令|lnx|t得tlnxt，etxet.cet，det，cdetet1，令x2(t1)x2t2t.得x2(t1)x2t2t0，当2t2t时，有解得t1.又abcd，2t2t1，64t248t50，解得t，t.当2t2t时，b0，ab0，01，t.综上t0，y0，x2y3，2.当且仅当时等号成立，的最小值为.15.命题立意本题考查向量的线性运算、向量的数量积解析5，2，(5)(2)221152822cosA52，cosA，A0，A，即BAC.设(01
9、)，则()(12)5，22()(22)(51)，(12)5(22)(51)(12)(22)25(51)2(12)(51)5(22)21212721()27，当时，取得最小值.16命题立意本题考查正、余弦定理、二倍角公式、两角差的正弦公式解题思路(1)利用正弦定理将已知角化为边的关系、利用余弦定理求得cosB，再根据同角三角函数关系式求得sinB；(2)利用二倍角公式求出sin2B、cos2B，代入两角差的正弦公式即可解(1)在ABC中，bc，2sinBsinA，所以2ba.由余弦定理可得cosB.又因为B(0，)，所以sinB.(2)sin2B2sinBcosB，cos2B2cos2B1.所以
10、sinsin2Bcoscos2Bsin.17命题立意本题考查线面平行的证明、二面角、线面角解题思路(1)建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量n1，利用n10，证得AN平面PBC；(2)求出平面PAD的一个法向量n2，利用向量法求得二面角的余弦值；(3)假设存在点M满足题意，设.求出，利用线面角的正弦值解得值，从而得的值解过A作AECD，垂足为E，则DE1，以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，E(2，0，0)，D(2，1，0)，C(2，1，0)，P(0，0，1)N.(1).设平面PBC的一个法向量为n1(
11、x，y，z)(0，1，1)，(2，0，0)，令y1，则n1(0，1，1)，n10，n1又AN平面PBC，AN平面PBC.(2)设平面PAD的一个法向量为n2(x，y，z)，(0，0，1)，(2，1，0)令x1，则n2(1，2，0)cosn1，n2.平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.(3)令，0，1，设M(x，y，z)(x2，y1，z)(2，1，1)，M(22，1，)，(2，2，)平面PBC的一个法向量n1(0，1，1)，21250240，(32)(712)0，0，1，.18命题立意本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、三角形面积解题思路(1)由已知列方程组求出a，b得椭圆方程；
12、(2)写出直线AM的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出P点坐标表达式，得0；结合图形分别求出S1、S2的表达式，得的表达式，由t得的最大值解(1)短轴长为2，b1.e，a2b2c2，a.椭圆的方程为y21.(2)法一：kAM，设lAM：y(x)(t24)x22t2x2t280.()xP，xP，yP(xP)，P.(，t)0.S12ayP2，S2SABMSAOP2tt，1，当t时取等，的最大值为1.法二：设AM：yk(x)，(12k2)x24k2x4k220.xAxPxP，yPk(xP).P.其中M(，2k)，B(，0)，(，2k)，0.S1|AB|yP|2，S2SABMSAOP2|2k|，.由
13、于t，所以直线AM的斜率k.的最大值为1，当且仅当k取等19命题立意本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式、Tn与bn的关系、裂项相消法求和、错位相减法求和、分组求和等知识解题思路(1)解方程求得d，写出an的通项公式；利用bn求得bn；(2)由(1)得cn的通项公式，裂项相消求和得Mn；(3)对(1)nanbn利用错位相减法求和，求得An，利用等差数列的前n项和公式求出Sn，对(1)nlnSn分n为奇数、n为偶数两种情况，利用分组求和求得Bn，再将An与Bn相加即可解(1)S55a1d1010d30，d2，an2n.对数列bn：当n1时，b1T12111，当n2时，bnTnTn12n2n1
14、2n1，当n1时也满足上式，bn2n1.(2)cnMn.(3)dn(1)n(anbnlnSn)(1)nanbn(1)nlnSn.Snn(n1)，lnSnlnn(n1)lnnln(n1)而(1)nanbn(1)n2n2n1n(2)n，设数列(1)nanbn的前n项和为An，数列(1)nlnSn的前n项和为Bn.An1(2)12(2)23(2)3n(2)n(1)2An1(2)22(2)33(2)4n(2)n1(2)(1)(2)得3An1(2)1(2)2(2)3(2)nn(2)n1n(2)n1(2)n1，An(2)n1.当n为偶数时，Bn(ln1ln2)(ln2ln3)(ln3ln4)lnnln(n
15、1)ln(n1)当n为奇数时，Bn(ln1ln2)(ln2ln3)(ln3ln4)lnnln(n1)ln(n1)，由以上可知Bn(1)nln(n1)所以，数列dn的前n项和为AnBn(1)nln(n1)(2)n1.20命题立意本题考查利用导数研究函数的单调性、零点、证明不等式解题思路(1)对f(x)求导，分a0，a0两种情况讨论f(x)的单调性；(2)对g(x)求导，分a和0a两种情况讨论g(x)的单调性，结合g(1)0和零点存在性定理判断零点个数从而得a范围；(3)构造函数(x)f(x)mx.对(x)求导，判单调，结合(0)1，(1)m证得1(1x)mmx0时，令f(x)0，x11 ，x21
16、 (舍)令f(x)0，x，单增区间为.f(x)0，x，单减区间为.(2)g(x)lnxa(x1)ex，g(x)axex.令h(x)1ax2ex，h(x)2axexax2ex0，h(x)在(1，)上单调递减，h(x)h(1)1ae.若a，h(x)0对x(1，)恒成立，即g(x)0对x(1，)恒成立，即g(x)在(1，)上单调递减g(x)g(1)0.g(x)0在x(1，)上无零点，不满足题意若0a0，h1aeln1(lna)20，g(x)在(1，x0)上单调递增，且g(1)0，g(x)0，无零点当x(x0，)时，g(x)0，glnaelnln10.根据零点存在性定理x(x0，)上有且仅有一个零点，综上：0a1时，令(x)f(x)mx，则(x)m(1x)m11x(1，0)时，恒有(x)0，即(x)f(x)mx在(1，0)上单调递减，(0)(x)(1)，对x(1，0)恒成立又(0)1，(1)m, 故1(x)m，
