1、第三章 三角恒等变形 1 同角三角函数的基本关系 必备知识自主学习 1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1.即_.(2)商数关系:同一个角 的正弦、余弦的商等于 的正切.即_.2.商数关系 =tan 成立的角 的范围是 k+(kZ).导思1.同角三角函数基本关系式是什么?2.商数关系的角成立的范围是什么?sin2+cos2=1 sintan cos sincos2【说明】(1)同角三角函数的基本关系中的角都是“同一个角”,sin2+cos2=1不一定 成立.“同角”与角的表示形式无关.如sin2 +cos2 =1成立,这里的同角是 指 .(2)注意这些关
2、系式都是对于使它们有意义的角而言的.如sin2+cos2=1对一 切 R恒成立,而tan =仅对 k+(kZ)成立.222sincos2【思考】(1)同角函数关系式中sin2 能写成sin 2吗?提示:不能.两者意义不同,sin2 表示sin 的平方;sin 2表示 2的正弦.(2)同角的意义是什么?提示:“同角”有两层含义:一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,与角的表达形式无关,如:sin23+cos23=1.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)sin2+cos2=1.()(2)对任意角,.()(3)利用平方关系求sin 或cos
3、时,会得到正负两个值.()(4)sin2 +cos2 =1.()sin 2tan 2cos 2 222.(教材二次开发:例题改编)已知tan =,sin 0,则cos =()【解析】选D.由tan =,得 即sin =cos ,代入sin2+cos2=1,得cos =,因为sin 0,所以 为第三象限角,则 cos =-.343344A.B.C.D.555534sin3,cos4 3445453.若cos -sin =,则sin cos =_.【解析】因为cos-sin=,左右两边同时平方得cos2-2sin cos +sin2=,因为cos2+sin2=1,化简可得2sin cos=1-即s
4、in cos=-.答案:-4 254 253225327,2525750750关键能力合作学习 类型一 利用同角三角函数的基本关系化简(数学运算)【题组训练】1.的值为()A.1 B.-1 C.D.-2.若 ,则 的值为()A.0 B.1 C.2 D.-2 3.化简:=_.12sin 210 sin 60sin 30cos 303322cos1cos|cos|sin222sin11 2cos【解题策略】化简三角函数式的要求及化简技巧(1)一般要求:函数种类最少;项数最少;函数次数最低;能求值的求值;尽量使分母不含三角函数;尽量使分母不含根式.(2)化简技巧:化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦
5、函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2+cos2 =1,以降低函数次数,达到化简的目的.【补偿训练】化简:(为第二象限角).【解析】因为是第二象限角,所以cos 0.则原式=2211 sin1 sincos1tan222221(1sin)1 sinsincos1cos2cos1 sin1 1 sinsintan.coscoscoscos 22221cos1sincoscossin|cos|类型二 利用同角三角函数求值(逻辑推理)角度1 知弦求弦 【典例
6、】已知sin +cos =,则sin -cos 的值为()A.B.C.-D.-【思路导引】利用完全平方公式和平方关系求解.43(0)4，23132313【变式探究】若 是ABC的一个内角,且sin cos =-,则sin -cos 的值为()【解析】选D.是ABC的一个内角,0sin 1,又sin cos =-0,所以-1cos 0,又(sin -cos )2=sin2+cos2-2sin cos =,所以有sin -cos =.183355A.B.C.D.2222185452角度2 知弦求切 【典例】已知sin +cos =,(0,),求tan .【思路导引】平方后,借助平方关系和根与系数的
7、关系,通过方程思想求解.713 角度3 知切求弦 【典例】已知tan =2,则 =()A.B.C.2 D.-1【思路导引】根据同角三角函数关系将弦化为切,再代入求解.【解析】选A.3sin4cossin2cos 12233sin4cos3tan43 241.sin2costan2222 【变式探究】已知tan =3,则 =()A.2 B.-2 C.3 D.-3【解析】选B.因为tan =3,所以 221 6cos1 2sin22222222221 6cossin7costan7372.1 2sincossin1tan1 3 【解题策略】已知tan 求关于sin ,cos 的齐次式的方法(1)关
8、于sin ,cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin ,cos 的式子且它们的次数之和相同,设为n次,将分子,分母同除以cos 的n次幂,其式子可化为关于tan 的式子,再代入求值.(2)若无分母时,把分母看作1,并将1用sin2+cos2 来代换,将分子、分母同除以cos2 ,可化为关于tan 的式子,再代入求值.【题组训练】已知tan =3.(1)求sin 和cos 的值.(2)求 的值.(3)求sin2-3sin cos +1的值.3sincos2cossin 类型三 三角恒等式的证明(逻辑推理)【典例】求证:sin (1+tan )+cos 111(1).tansincos四步
9、内容理解 题意证明式子两端可以相互转化.思路 探求等号左边采用“切化弦”的方法进行变形.【解题策略】证明三角恒等式常用技巧及遵循原则(1)由繁到简,从结构复杂的一边入手,经过适当的变形、配凑向结构简单的一边化简.(2)从已知或已证的恒等式出发,根据定理、公式进行恒等变形,推导出求证的恒等式.(3)比较法,证明待证等式的左、右两边之差为0.(4)化简左右两边得相同的结果.【跟踪训练】求证:【证明】方法一:左边=右边=所以左边=右边,原等式成立.tan sintansin.tansintan sin2sinsinsincossinsinsin cossincos21cos(1cos)(1cos)1
10、cos.sin(1cos)sin(1cos)sin2sinsinsin(1cos)1coscos.sinsinsinsincos方法二:因为左边=右边.所以原等式成立.tan sin(tansin)(tansin)(tansin)222222222tan sin(tansin)tan sin(tansin)tansintantancostan sin(tansin)tan sin(tansin)tan(1cos)tansintansintan sin方法三:因为右边=左边,所以原等式成立.22tansin(tansin)tan sin2222222tantancos(tansin)tan si
11、ntan(1cos)(tansin)tan sintansin(tansin)tan sintan sintansin方法四:因为左边-右边=所以左边=右边,原等式成立.222(tan sin)(tansin)(tansin)tan sin2222222222222tansintansin(tansin)tan sinsintan(1sin)(tansin)tan sinsinsincoscos(tansin)tan sinsinsin0.(tansin)tan sin课堂检测素养达标 1.下列四个命题中可能成立的一个是()A.sin =且cos =B.sin =0且cos =-1 C.tan
12、 =1且cos =-1 D.tan =(为第二象限角)【解析】选B.选项A不符合sin2+cos2=1,B符合sin2+cos2=1,又由 tan =知C,D错误.1212sincossincos2.为三角形的一个内角,tan =-,则cos =()【解析】选D.由于 为三角形的内角,而tan 0,故 为钝角.由 解得cos =-.512125512A.B.C.D.1313131322sin5,cos12sincos1,12133.(教材二次开发:练习改编)化简:=_.【解析】因为4 rad=4 229,所以sin 40,所以 =-sin 4.答案:-sin 4 21 cos 4180()221 cos 4sin 44.已知sin +cos =,则sin cos 的值为_.【解析】因为sin +cos =,所以(sin +cos )2=sin2+cos2 +2sin cos =1+2sin cos =,解得sin cos =-.答案:-13131949495.已知 ,tan +(1)求tan 的值;(2)求 的值.34110.tan32cos3sinsin coscos3sin