1、 第二章 圆锥曲线 3 双曲线 双曲线及其标准方程 第 1 课时 2课题引入课题引入我们已经知道,“平面内与两定点的距离之和为常数(2a)（大于两定点的距离(2c)）”的点的轨迹是椭圆。那么，与两定点的距离的差为常数的点的轨迹是怎样的曲线？1取一条拉链；2如图把它固定在板上的两点F1、F2；3 拉动拉链头。探究新知拉链生成双曲线.swf思考：把拉链头看做一个动点M，拉动过程中它有什么样的几何性质？拉链头的运动轨迹是什么曲线？动手实践：双曲线的画法.gsp如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a（常数）如图(B)，我们把上面得到的两条曲线合起来叫做双曲线。由可得：|MF1|-|MF2
2、|=2a （距离之差的绝对值等于常数）|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a（常数）探究新知一、双曲线的定义 1.定义：平面内到两定点12,F F 的距离的差的绝对值为常数（大于零且小于12F F）的动点的轨迹，即 122MFMFa 讲授新知1F2FM这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距(2c).2双曲线定义的进一步认识：对于122MFMFa（1202aF F）讲授新知 若1202aMFMF（122aF F），显然有12MFMF，则动点轨迹为双曲线靠近2F 的一支（右支）；若2102aMFMF（122aF F），显然有21MFMF，则动点轨迹为双曲线靠近1F 的一支（左支）；讲
3、授新知 若12122MFMFaF F，则动点轨迹为直线12F F 上以12,F F 为端点的向外的两条射线；若122MFMFa（122aF F），则动点轨迹不存在，不表示任何几何图形；(5)若1220MFMFa，则动点轨迹表示12,F F 的中垂线.2双曲线定义的进一步认识：对于122MFMFa（1202aF F）1F2FM探究新知二、双曲线的标准方程类比求椭圆的标准方程的思路与方法，探究双曲线的标准方程.建系 设点 列式 化简 检验 探究新知xyo 设M(x,y),双曲线的焦距为2c(c0),F1(-c,0),F2(c,0)F1M即(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=+2a_ 以F1,F
4、2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系(1)建系.(2)设点(3)列式|MF1|-|MF2|=2a如何求这优美的曲线的方程？(4)化简.1.标准方程的推导：F2探究新知yoF1M2222()()2xcyxcya 222222()2()xcyaxcy222()c xaaxcy 22222222()()caxayaca222bca令22221(0,0)xyababxF22双曲线的标准方程：焦点在 x 轴上时双曲线的标准方程为：22221xyab(0a,0b)焦点在 y 轴上时双曲线的标准方程为：22221yxab(0a,0b)其中，222bca讲授新知双曲线定义图像标准方程焦点
5、a.b.c 的关系|MF1|-|MF2|=2a（2a|F1F2|）yxoF2F1MxyF2F1M讲授新知双曲线定义图像标准方程焦点a.b.c 的关系|MF1|-|MF2|=2a（2a|F1F2|）yxoF2F1MxyF2F1M讲授新知12222 byax12222 bxayF(c,0)F(0,c)222cab12222 byax12222 bxayF2F1MxOy3、双曲线的标准方程进一步认识：Oxy讲授新知(1)2x 项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上.12222 byax12222 bxayF2F1MxOy3、双曲线的标准方程进一步认识：Oxy
6、讲授新知(2)222cab0ca,0cb；,a b 之间无大小关系.12222 byax12222 bxayF2F1MxOy3、双曲线的标准方程进一步认识：讲授新知(3)谁的系数为正，谁对应a，另一个对应b.Oxy12222 byax12222 bxayF2F1MxOy3、双曲线的标准方程进一步认识：Oxy讲授新知(4)统一形式，221mxny（,m n异号）.知识应用例1、已知 A(5,0),B(5,0),2PAPBa，当 a 为 3 和 5 时，P 点的轨迹分别为()A.双曲线和一条射线B.双曲线和两条射线C.双曲线的一支和一条射线D.双曲线的一支和两条射线知识应用变式、设双曲线22116
7、9xy上的点 P 到点(5,0)的距离为 15，则 P 点到(5,0)的距离是（）A7 B23 C5 或 23D7 或 23知识应用例 2、根据下列条件,求双曲线的标准方程：(1)3,4ab,且焦点在 x 轴上；(2)与椭圆22185xy 同焦点,且1a；(3)焦距为 2 3,经过点(2,3),且焦点在 y 轴上；(4)过点(1,1)M和2,5N.用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤:(1)定形(确定焦点所在位置)(2)定量(求a,b,c的值)规律概括知识应用例 3、如果方程22125xykk表示焦点在x 轴的双曲线，求实数k 的取值范围。课堂小结双曲线定义图像标准方程焦点a.b.c 的关系|MF1|-|MF2|=2a（2a|F1F2|）yxoF2F1MxyF2F1M12222 byax12222 bxayF(c,0)F(0,c)222cab课堂小结类比椭圆的研究这节课我们学习的数学思想有：数形结合、分类讨论的数学思想.