1、3 二倍角的三角函数(一)必备知识自主学习 二倍角公式及其变形 导思 1.二倍角公式有哪些变形?2.二倍角公式中角有何限制?【思考】1.如何理解公式中的倍角?提示:公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值等于2的情况都成立,如 6 是3 的2倍,3 是 的2倍 322.二倍角公式有哪些变形形式?提示:(1)1sin 2=(sin cos)2;(2)1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2(升幂降角公式);(3)cos2=,sin2=(降幂升角公式).1cos 221 cos 22【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)对任意 R,总有sin 2=2sin .()
2、(2)对任意 R,总有cos 2=1-2cos2.()(3)对任意 R,总有tan 2=.()(4)sin 2230cos 2230=.()(5)sin2=.()22tan1tan241 cos 222.函数 的最小正周期为()A.B.C.D.2 【解析】选C.由已知得f(x)=所以f(x)的最小正周期T=.2tan xf(x)1tan x 4222sin xtan x1cos xsin xcos xsin 2x,sinx1tan x21()cosx223.(教材二次开发:例题改编)若cos =求sin 2,cos 2,tan 2 的值.【解析】因为cos=,0 ,所以sin=.所以sin 2
3、=2sin cos=tan 2=4(0),52 45235223424472,cos 22cos12()1,5525525 24sin 22425.7cos 2725 关键能力合作学习 类型一 条件求值(逻辑推理)【题组训练】1.若 则sin 2=()2.(2020合肥高一检测)已知角 的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边经过点P(-,1),则cos 2=()3.已知 ,且sin 2=sin ,求.3cos(),45 7117A.B.C.D.25552522 2112 2A.B.C.D.3333(,)2 2()4【解题策略】解决条件求值问题的方法 条件求值问题,注意寻找已知式与未知式之
4、间的联系,有两个观察方向:(1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化.(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.【补偿训练】已知sin =,0 x ,求 的值.(x)4 5134cos 2xcos(x)4 类型二 二倍角公式的变形(数学运算)【典例】已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则()A.f(x)的最小正周期为,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2,最大值为4【解题策略】关于二倍角公式的变形使用(1)逆用:如果式子符合或变形后符合逆用的特点,
5、则可以逆用二倍角公式,如 sin cos ,等.(2)变形:常用的二倍角的变形有降幂公式,1cos 2 等.2tan x1tan x【跟踪训练】(1)已知sin 2=-,则sin +cos =()A.B.-C.-D.(2)若 ,则sin 2=_.2425(0)4，15157575cos12sin()4 类型三 二倍角公式的综合应用(逻辑推理)角度1 化简求值 【典例】化简求值:cos 20cos 40cos 60cos 80=_.【思路导引】观察角20,40,80之间的二倍关系,可以联想到利用二倍角公式,采用添项的方法求解.【变式探究】化简:=_.【解析】答案:tan 1 sin 2cos 2
6、1 sin 2cos 2 1 sin 2cos 21 sin 2cos 2 222222(sincos)(cossin)sincos(cossin)(sincos)(cossin)sincos(cossin)2sintan2cos 角度2 三角函数中的应用 【典例】设常数aR,函数f(x)=asin 2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值.(2)若f =+1,求方程f(x)=1-在区间-,上的解.【思路导引】利用二倍角公式和两角和的正弦公式求解.()432【解题策略】应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 提醒:根据需要有时也将三角函数式化为f(x)=Acos(x+)+k的形式
7、,x的系数一般为正数.【题组训练】1.（2020全国卷）已知(0,)，且3cos 2-8cos =5，则sin =（）【解析】选A.3cos 2-8cos =5，得6cos2-8cos -8=0，即3cos2-4cos -4=0，解得cos =-或cos =2（舍去），又因为(0,),所以sin 5215A.B.C.D.333923251 cos.3 2.求值:tan 15+=_.【解析】原式=答案:4 cos 15sin 1522sin 15cos 15sin 15cos 15cos 15sin 15sin 15 cos 151224.sin 15 cos 152sin 15 cos 15s
8、in 303.已知函数f(x)=(1)求函数f(x)的对称轴方程.(2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值以及相应的x的值.2xxxf(x)3sin cos sin1.222,0【补偿训练】已知向量a=(sin A,cos A),b=(,-1),ab=1,且A为锐角.(1)求角A的大小.(2)求函数f(x)=cos 2x+4cos Asin x(xR)的值域.3课堂检测素养达标 1.化简:=()A.1 B.2 C.D.-1【解析】选B.22cos 5sin 5sin 40 cos 401222cos 5sin 5cos 10cos 102.11sin 40 cos 40sin 80cos
9、 10222.在ABC中,则cos 2A=()【解析】选A.在ABC中,则 所以cos2A=5cos(A),413 1201201357A.B.C.D.169169169255cos(A),413 12sin(A),413 120sin(2A)2sin(A)cos(A),244169120sin(2A).2169 3.(教材二次开发:习题改编)已知x ,sin x=-,则tan 2x=()【解析】选D.因为x ,sin x=-,所以cos x=tan x=则tan 2x=(,)2 2 35772424A.B.C.D.242477(,)2 2 35241sin x,5sin x3,cos x42
10、2tan x24.1tan x74.(2019北京高考)函数f(x)=sin22x的最小正周期是_.【解析】因为f(x)=sin22x=所以最小正周期为T=答案:1cos 4x11 cos 4x,2222.4225.已知 (1)求tan 的值.(2)求 的值.【解析】(1)方法一:因为 所以tan=1tan().42 2sin 2cos1cos 2 1tan(),42 1tan()tan11442tan().14431tan()tan1442 方法二:因为 所以tan=-.(2)由(1)知,原式=tantan1tan14tan(),41tan21tantan4 13222sin coscos1115tan.2cos2326