1、1.3.2 极大值与极小值1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习导引 学习目标1.记住函数的极大值、极小值的概念.2.结合图象知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大、极小值.重点难点重点:利用导数求函数的极值.难点:函数极值的判断和与极值有关的参数问题.1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习导引 1.极值(1)观察右图中的函数图象,发现函
2、数图象在点 P 处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减),这时在点 P 附近,点 P 的位置最高,亦即 f(x1)比它附近点的函数值都要大,我们称 f(x1)为函数 f(x)的一个极大值.(2)类似地,上图中 f(x2)为函数的一个极小值.(3)函数的极大值、极小值统称为函数的极值.预习交流 1做一做:函数 y=-|x|有极 值 .提示:大 01.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习导引 2.极值点与导数的关系观察上面的函数的图象,发现:(1)极大值与导数之间的关系
3、如下表:xx1 左侧x1x1 右侧f(x)f(x)0f(x)=0f(x)0f(x)增极大值 f(x1)减(2)极小值与导数之间的关系如下表:xx2 左侧x2x2 右侧f(x)f(x)0f(x)减极小值 f(x2)增 1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习导引 预习交流 2做一做:函数 f(x)=3x-x3 的极大值为 ,极小值为 .提示:f(x)=3-3x2,令 f(x)=0 得 x=1,由极值的定义可得函数的极大值为 f(1)=2,极小值为 f(-1)=-2.1.3.2 极大值与极小值
4、课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习导引 预习交流 3议一议:(1)导数为 0 的点一定是函数的极值点吗?(2)函数在极值点处的导数一定等于 0 吗?(3)一个函数在一个区间的端点处可以取得极值吗?(4)一个函数在给定的区间上是否一定有极值?若有极值,是否可以有多个?极大值一定比极小值大吗?1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习导引 提示:(1)不一定,例如对于函数 f(x)=x3,虽有 f(0)=0,但 x=
5、0 并不是f(x)=x3 的极值点,要使导数为 0 的点成为极值点,还必须满足其他条件.(2)不一定,例如函数 f(x)=|x-1|,它在 x=1 处取得极小值,但它在 x=1处不可导,就更谈不上导数等于 0 了.(3)不可以,函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,因为不符合极值点的定义.(4)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值,没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值,又有极小值.极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KET
6、ANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 一、求函数的极值活动与探究例 1 求下列函数的极值:(1)f(x)=x3-12x;(2)f(x)=22+1-2.思路分析:首先从方程 f(x)=0 入手,求出在函数 f(x)的定义域内所有可能的极值点,然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点.1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 解:(1)函数 f(x)的定义域为 R.f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).令 f(x)=0,得x=-2 或 x=2.当 x 变化时,f(
7、x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值f(-2)=16极小值f(2)=-16从上表可以看出:当 x=-2 时,函数有极大值,且 f(-2)=16;当 x=2 时,函数有极小值,且 f(2)=-16.1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测(2)函数的定义域为 R.f(x)=2(2+1)-42(2+1)2=-2(-1)(+1)(2+1)2.令 f(x)=0,得 x=-1 或 x=1.当 x 变化时,f(x),f(x)的变化
8、情况如下表:x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(x)-0+0-f(x)极小值f(-1)=-3极大值f(1)=-1由上表可以看出:当 x=-1 时,函数有极小值,且 f(-1)=-3;当 x=1 时,函数有极大值,且 f(1)=-1.1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 迁移与应用1.函数 y=1+3x-x3 有极大值 ,极小值 .答案:3-1解析:f(x)=3-3x2,令 f(x)=0 得 x=1,当 x(-,-1)时,f(x)0,当 x(1,+)时,f(x)0,f(x)在
9、 x=-1 处取极小值-1,在 x=1 处取极大值 3.1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 2.求函数 f(x)=x3-3x2-9x+5 的极值.解:f(x)=3x2-6x-9.令 3x2-6x-9=0,解得 x1=-1,x2=3.当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,3)3(3,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值因此,当 x=-1 时,f(x)有极大值,且极大值为 f(-1)=10;当 x=3 时,f(x)有极小值,且极小值为 f(
10、3)=-22.1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 利用导数求函数极值的步骤:(1)求导数 f(x);(2)求方程 f(x)=0 的所有实数根;(3)考察在每个根 x0 附近,从左到右导函数 f(x)的符号如何变化:如果 f(x)的符号由正变负,则 f(x0)是极大值;如果由负变正,则 f(x0)是极小值;如果在 f(x)=0 的根 x=x0 的左右侧 f(x)的符号不变,则不是极值点.1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KET
11、ANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 二、已知函数的极值求参数范围活动与探究例 2 已知函数 f(x)=ax3+bx+2 在 x=1 处取得极值,且极值为0.(1)求 a,b 的值;(2)求 f(x)的另一个极值.思路分析:由极值的定义可知 f(1)=0,再结合 f(1)=0,建立关于 a,b 的方程即可求得 a,b 的值,从而得出另一个极值.1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 解:(1)f(x)=ax3+bx+2,f(x)=3ax2+b.依题意可得 f(1)=0,且
12、 f(1)=0,即 3+=0,+2=0,解得 =1,=-3.(2)由(1)知 f(x)=x3-3x+2,f(x)=3x2-3,令 f(x)=0 得 3x2-3=0,所以 x=1.故函数 f(x)在 x=-1 处取得另一个极值,且极值为 f(-1)=-1+3+2=4.1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 迁移与应用1.已知函数 y=-x3+6x2+m 有极大值 13,则 m 的值为 .答案:-19解析:y=-3x2+12x=-3x(x-4).令 y=0 得 x=0 或 x=4,当 x4
13、时,y0,函数递减;当 0 x4 时,函数递增,故 f(x)在 x=4 处取得极大值,且 f(4)=-64+96+m=13,故 m=-19.2.若函数 f(x)=x3+ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 .答案:a0,解得 a0.1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 1.已知函数极值情况,逆向应用,确定函数的解析式,进而研究函数性质时,注意两点:(1)常根据极值点处导数为 0 和已知极值(或极值之间的关系)列方程组,利用待定系数法求解;(2)因为导数值等于零不是此
14、点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.2.对于可导函数 f(x),若它有极值点 x0,则必有 f(x0)=0,因此函数 f(x)有极值的问题,往往可以转化为方程 f(x)=0 有根的问题加以解决.1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 三、利用函数的极值画函数图象活动与探究例 3 求函数 y=2x+8的极值,并结合单调性、极值作出该函数的大致图象.思路分析:先求出函数的极值点和极值,从而把握函数在定义域内各个区间上的单调性和在极值点处的函数值,以及x时的 f
15、(x)的变化趋势,据此可画出函数的大致图象.1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 解:函数的定义域为 xR,且 x0.y=2-82,令 y=0,得 x=2.当 x 变化时,y,y 的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,2)2(2,+)y+0-0+y-88 1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 因此当 x=-2 时,y 取得极大值-8;当 x=2 时,y 取
16、得极小值 8.由表易知 y=2x+8的草图如图所示.1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 迁移与应用已知函数 f(x)=13x3-4x+4,求函数的极值,并画出函数的大致图象.解:(1)f(x)=x2-4.解方程 x2-4=0,得 x1=-2,x2=2.当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)283-43从上表看出,当 x=-2 时,函数有极大值,且极大值为 f(-2)=283;1.3.2 极大值与极小值
17、 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 而当 x=2 时,函数有极小值,且极小值为 f(2)=-43.函数 f(x)=13x3-4x+4 的图象如图所示.1.列表时应将定义域内的间断点(如 x=0)考虑进去.2.极大值不一定比极小值大,这是因为极值是相对某一区域讨论的.3.借助函数的性质(如奇偶性、单调性、极值、周期等)研究函数图象是重要手段.1.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 12 3 4 51.
18、设函数 f(x)=xex,则下列说法正确的是 .(填序号)x=1 为 f(x)的极大值点 x=1 为 f(x)的极小值点x=-1 为 f(x)的极大值点 x=-1 为 f(x)的极小值点答案:解析:由 f(x)=xex+(ex)x=ex+exx=ex(x+1)=0,得 x=-1.当 x-1时,f(x)-1 时,f(x)0,f(x)在(-1,+)上是增加的.所以 x=-1 为 f(x)的极小值点.61.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 1 23 4 52.若函数 f(x)=2x3+ax
19、2+36x-1 在 x=2 处有极值,则 a 的值为 .答案:-15解析:f(x)=6x2+2ax+36,依题意 f(2)=0,所以 24+4a+36=0,解得 a=-15.61.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU1 2 34 5问题导学 当堂检测 3.函数 f(x)=ln x-x 在区间(0,e)上的极大值为 .答案:-1解析:定义域为(0,+),f(x)=1-1.令 f(x)=0 得 x=1,且当 0 x0,x(1,e)时 f(x)0;当 x(1,2)时,f(x)0,所以 f(x)有两个极值点 1 和 2,且当 x=2 时函数取得极小值,当 x=1 时函数取得极大值.只有不正确.61.3.2 极大值与极小值 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU1 2 3 4 5问题导学 当堂检测 66.设 aR,若函数 y=ex+ax,xR,有大于零的极值点,则 a 的取值范围是 .答案:a1,-ex-1,即 a-1.