1、第三章函数本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)=ax3+bx+4(a,b不为零),且f(5)=10,则f(-5)等于()A.-10B.-2C.-6D.142.已知函数y=f(x+1)的定义域为-2,0,若k(0,1),则函数F(x)=f(x-k)+f(x+k)的定义域为()A.k-1,1-kB.-k-1,1+kC.k-1,1+kD.-k-1,1-k3.已知函数f x-1x=x2+1x2,则f(3)等于()A.8B.9C.11D.104.已知函数f(x)=x2
2、+2x,x0,x2-2x,x0,若f(-a)+f(a)0,则实数a的取值范围是()A.-1,1B.-2,0C.0,2D.-2,25.若函数f(x)=ax2+(a-2b)x+a-1是定义在(-a,0)(0,2a-2)上的偶函数,则f a2+b25=()A.1B.3C.52D.726.设f(x)是R上的奇函数,且在(0,+)内是增函数,f(-2)=0,则 f(x)x0的解集是()A.x|-2x0或0x2B.x|x2C.x|x-2或0x2D.x|-2x27.设集合A=0,12,B=12,1,函数f(x)=x+12,xA,2(1-x),xB,若x0A,且ff(x0)A,则x0的取值范围是()A.0,1
3、4B.14,12C.14,12D.0,388.函数f(x)=1|x|-1的图像形如汉字“囧”,故称其为“囧函数”.下列命题:函数f(x)的定义域为x|x1;函数f(x)的图像关于直线x=1对称;当x0,1)时,f(x)max=-1;函数g(x)=f(x)-x2+1有3个零点.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.4二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.下列各组函数表示的是同一个函数的有()A. f(x)=-2x3与g(x)=x-2xB. f(x)=|x|与g(x)=x2
4、C. f(x)=xx与g(x)=x0D. f(x)=xx+1与g(x)=x2+x10.已知函数f(x)=1-x+x+3,则()A. f(x)的定义域为-3,1B. f(x)为定义域上的增函数C. f(x)为非奇非偶函数D. f(x)的最大值为811.对任意两个实数a,b,定义mina,b=a,ab,b,ab,若f(x)=2-x2,g(x)=x2,下列关于函数F(x)=minf(x),g(x)的说法正确的有()A.函数F(x)是偶函数B.函数F(x)有2个单调区间C.函数F(x)的最大值为1,无最小值D.方程F(x)=0有三个不同的根12.若函数f(x)同时满足:对于定义域上的任意x,恒有f(x
5、)+f(-x)=0;若对于定义域上的任意x1,x2,当x1x2时,恒有f(x1)-f(x2)x1-x20,则称函数f(x)为“理想函数”. 下列四个函数中,能被称为“理想函数”的有()A.f(x)=1xB.f(x)=-x3C.f(x)=|x|D.f(x)=-x2,x0x2,x0三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.若f(x)=ax,x1,-x+3a,x1是R上的单调函数,则实数a的取值范围为.14.设f(x)是定义在R上的函数,且f(x+2)=f(x),在区间-1,1)上, f(x)=x+a,-1x0,25-x,0x1,其中aR,若f -52=f 92,
6、则f(5a)的值是.15.已知函数y=f(x)在(-,0)(0,+)上为奇函数,且在(0,+)上单调递增, f(-2)=0,则不等式xf(x)0的解集为.16.2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施,依据中华人民共和国个人所得税法可知纳税人实际取得工资、薪金(扣除专项、专项附加及依法确定的其他)所得不超过5 000元(俗称“起征点”)的部分不征税,超出5 000元部分为全月应纳税所得额.新的税率表如下:个人所得税税率表(综合所得适用)全月应纳税所得额税率(%)不超过3 000元的部分3超过3 000元至12 000元的部分10超过12 000元至25 000元的部分20超过25 000元
7、至35 000元的部分25超过35 000元至55 000元的部分30超过55 000元至80 000元的部分35超过80 000元的部分45个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁(含)以上父母及其他法定赡养人的赡养支出,可按照以下标准扣除:纳税人为独生子女的,按照每月2 000元的标准定额扣除;纳税人为非独生子女的,由其与兄弟姐妹分摊每月2 000元的扣除额度,每人分摊的额度不能超过每月1 000元.某纳税人只有一个姐姐,且两人仅符合规定中的赡养老人的条件,如果他在202
8、0年5月份应缴纳个人所得税款为180元,那么他当月的工资、薪金税后所得是元.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)=mx+11+x2是R上的偶函数.(1)求实数m的值;(2)判断并用定义证明函数y=f(x)在(-,0)上的单调性.18.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时, f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像,如图所示,请根据图像解答下列问题.(1)写出函数f(x)(xR)的增区间;(2)写出函数f(x)(xR)的解析式;(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x1,2),
9、求函数g(x)的最小值.19.(12分)已知函数f(x)=x2+ax,且f(1)=2.(1)判断并证明函数f(x)在其定义域上的奇偶性;(2)证明函数f(x)在(1,+)上是增函数;(3)求函数f(x)在区间2,5上的最值.20.(12分)某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨,如果在市场上直接销售,每吨可获利0.2万元;如果进行精加工后销售,每吨可获利0.6万元,但需另外支付一定的加工费,总的加工费P(单位:万元)与精加工的蔬菜量x(单位:吨)有如下关系:P=120x2,0x8,3x+810,8x14.设该农业合作社将x吨蔬菜进行精加工后销售,其余在市场上直接销售,所得总利润(扣除加工费)为
10、y(单位:万元).(1)写出y关于x的函数表达式;(2)求当精加工蔬菜多少吨时,总利润最大,并求出最大利润.21.(12分)已知函数f(x)的定义域为(0,+),且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).任取x1,x2(0,+),且x1f(x1).(1)求f(1),f(4),f(8)的值;(2)若有f(x)-f(x-2)3成立,求x的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)对任意的实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且当x0时,有f(x)1.(1)求f(0)的值;(2)求证:f(x)在R上为增函数;(3)若f(1)=2,且关于x的不等式f(ax-2)+f(x-x2)
11、3对任意的x1,+)恒成立,求实数a的取值范围.答案全解全析第三章函数本章达标检测1.B2.A3.C4.D5.B6.A7.C8.B9.BC10.AC11.ACD12.BD一、单项选择题1.Bf(5)=125a+5b+4=10,125a+5b=6,f(-5)=-125a-5b+4=-(125a+5b)+4=-6+4=-2.故选B.2.Af(x+1)的定义域为-2,0,x+1-1,1,-1x-k1,-1x+k1,解得k-1xk+1,-k-1x-k+1,即k-1x1-k(0k0时, f(-a)+f(a)=2a2-4a0,解得0a2;当a=0时, f(-a)+f(a)=0,符合条件;当a0时, f(-
12、a)+f(a)=2a2+4a0,解得-2a0.综上,a-2,2.故选D.5.B偶函数的定义域关于原点对称,-a+2a-2=0,解得a=2.f(-x)=f(x),a-2b=0,b=1.f(x)=2x2+1,fa2+b25=f(1)=3.故选B.6.Af(x)是R上的奇函数,且在(0,+)内是增函数,f(x)在(-,0)内也是增函数,又f(-2)=0,f(2)=0,当x(-,-2)(0,2)时,f(x)0,f(x)x0的解集是x|-2x0或0x2.7.C0x012,f(x0)=x0+1212,1,ff(x0)=21-f(x0)=21-x0+12=212-x0.f f(x0)A,0212-x012,
13、14x012,又0x012,14x00且x1,-1x+1,x0,g(x)=x2+x的定义域是x|x0或x0,2f(x)22,且f(-3)=f(1)=2,f(-1)=22,f(x)在定义域上不具有单调性,f(x)的最大值为22,故选AC.11.ACD依题意,得F(x)=2-x2,x-1或x1,x2,-1x1.画出F(x)的图像如图所示(图中实线部分).由图可知,F(x)为偶函数;F(x)的单调递增区间为(-,-1),(0,1),F(x)的单调递减区间为-1,0),1,),所以函数F(x)有4个单调区间;当x=1时,F(x)取得最大值1,无最小值;方程F(x)=0有三个不同的根,分别是-2,0,2
14、.故选ABCD.12.BD由题中知, f(x)为奇函数;由题中知, f(x)为减函数.在A中,函数f(x)=1x为定义域上的奇函数,但不是定义域上的减函数,所以不是“理想函数”;在B中,函数f(x)=-x3为定义域上的奇函数,且在定义域上为减函数,所以是“理想函数”;在C中,函数f(x)=|x|为定义域上的偶函数,且在定义域内不单调,所以不是“理想函数”;在D中,函数f(x)=-x2,x0,x2,x0,a-1+3a,解得a12,a12,+.14.答案-25解析f(x+2)=f(x),f-52=f-12, f92=f12,又f-52=f92,f-12=f12,-12+a=25-12,a=35,f
15、(5a)=f(3)=f(1)=f(-1)=-1+35=-25.15.答案(-2,0)(0,2)解析f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),f(2)=-f(-2)=0.f(x)为奇函数且在(0,+)上单调递增,f(x)在(-,0)上单调递增.由数形结合解xf(x)0可得-2x0或0x2,即不等式xf(x)0的解集为(-2,0)(0,2).16.答案9 720解析设他当月的工资、薪金是x元,若他当月的工资、薪金是8 000元,则他应纳税3 0003%=90,由于他有专项附加扣除1 000元,因此他的工资是9 000元时,纳税90元,因为909 000,则(x-9 000)10%=180-90,解
16、得x=9 900,故他当月的工资、薪金税后所得是9 900-180=9 720(元).四、解答题17.解析(1)因为函数f(x)=mx+11+x2是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),(2分)即m(-x)+11+(-x)2=mx+11+x2对任意实数x恒成立,解得m=0.(4分)(2)由(1)得f(x)=11+x2,此函数在(-,0)上为增函数.(5分)证明:任取x1,x2(-,0),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=11+x12-11+x22=x22-x12(1+x12)(1+x22)=(x2+x1)(x2-x1)(1+x12)(1+x22),(7分)因为x1,x2(-,0),且x1
17、0,x2+x10,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0时,-x0,x2+2x,x0.(7分)(3)由(2)知,g(x)=x2-(2a+2)x+2(x1,2).(8分)因为函数y=x2-(2a+2)x+2,xR的图像的对称轴为直线x=-(2a+2)2=a+1,(9分)所以当a+11,即a0时,函数g(x)的最小值为g(1)=1-2a;(10分)当a+12,即a1时,函数g(x)的最小值为g(2)=2-4a;(11分)当1a+12,即0a1时,函数g(x)的最小值为g(a+1)=-a2-2a+1.(12分)19.解析(1)f(x)在其定义域上为奇函数.(1分)证明如下:f(x)=x+ax(
18、x0), f(1)=1+a=2,a=1,f(x)=x+1x,(3分)f(-x)=-x-1x=-f(x),且函数f(x)的定义域关于原点对称,f(x)在定义域上为奇函数.(4分)(2)证明:任取x1,x2(1,+),且x1x2, f(x2)-f(x1)=x2+1x2-x1+1x1=(x2-x1)+x1-x2x2x1=(x2-x1)1-1x1x2,(6分)1x10,x1x21,1x1x20,f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),f(x)在(1,+)上为增函数.(8分)(3)由(2)可知f(x)在(1,+)上单调递增,f(x)在2,5上的最小值和最大值分别为f(x)min=f(2)=2+
19、12=52,(10分)f(x)max=f(5)=5+15=265.(12分)20.解析(1)由题意知,当0x8时,y=0.6x+0.2(14-x)-120x2=-120x2+25x+145;(2分)当8x14时,y=0.6x+0.2(14-x)-3x+810=110x+2.(4分)故y=-120x2+25x+145,0x8,110x+2,8x14.(5分)(2)当0x8时,y=-120x2+25x+145=-120(x-4)2+185,(7分)所以当x=4时,ymax=185.(8分)当8175,所以当x=4时,ymax=185.(11分)即当精加工蔬菜4吨时,总利润最大,最大利润为185万元
20、.(12分)21.解析(1)因为f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,所以令x=1,y=2,则f(2)=f(2)+f(1),即1=1+f(1),解得f(1)=0,(3分)令x=2,y=2,则f(4)=f(2)+f(2),解得f(4)=2,(4分)令x=2,y=4,则f(8)=f(2)+f(4),解得f(8)=3,(5分)所以f(1)=0,f(4)=2,f(8)=3.(6分)(2)因为任取x1,x2(0,+),且x1f(x1),所以函数f(x)在(0,+)上单调递增,(7分)因为f(x)-f(x-2)3,所以f(x)3+f(x-2),由(1)知f(8)=3,所以f(x)f(8)+f(x-
21、2),又因为f(xy)=f(x)+f(y),所以f(x)f(8)+f(x-2)=f(8x-16),即f(x)f(8x-16),(10分)因为函数f(x)在(0,+)上单调递增,所以x8x-16,8x-160,解得2x167,所以x的取值范围为2,167.(12分)22.解析(1)令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1,f(0)=1.(3分)(2)证明:任取x1,x2R,且x10, f(x2-x1)1.(4分)f(m+n)=f(m)+f(n)-1,f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)-11+f(x1)-1=f(x1),f(x2)f(x1),f(x)在R上为增函数.(7分)(3)f(ax-2)+f(x-x2)3,即f(ax-2)+f(x-x2)-12,f(ax-2+x-x2)2.f(1)=2,f(ax-2+x-x2)f(1).又f(x)在R上为增函数,ax-2+x-x20对任意的x1,+)恒成立.令g(x)=x2-(a+1)x+3,x1,只需满足g(x)min0即可.当a+121,即a1时,g(x)在1,+)上递增,因此g(x)min=g(1),由g(1)0得a1,即a1时,g(x)min=ga+12,由ga+120得-23-1a23-1,此时1a23-1.综上,实数a的取值范围为(-,23-1).(12分)
