1、第三章函数专题强化练4函数的单调性与奇偶性一、单项选择题1.()已知函数f(x)是奇函数,在(0,+)上是减函数,且在区间a,b(ab0)上的值域为-3,4,则f(x)在区间-b,-a上()A.有最大值4B.有最小值-4C.有最大值-3D.有最小值-32.()定义在R上的函数f(x)在(-,2)上是增函数,且f(x+2)=f(2-x)对任意xR恒成立,则()A. f(-1)f(3)C. f(-1)=f(3)D. f(0)=f(3)二、多项选择题3.(2021江苏盐城响水中学高三上学情分析,)已知函数f(x)是偶函数,f(x+1)是奇函数,且当x1,2时,f(x)=1-|x-2|,则下列说法正确
2、的是()A.f(x)在(-3,-2)上为减函数B.在(-3,-2)上,f(x)0三、填空题4.(2021安徽六安高一上期中,)已知偶函数f(x)在区间0,+)上单调递增,则满足f(2x-1)f13的x的取值范围是.5.()设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+)上是减函数,若x10,则f(-x1) f(-x2).(填“”或“=”)四、解答题6.()已知函数f(x)=-x2+2x,x0,0,x=0,x2+mx,x0是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间-1,a-2上单调递增,求实数a的取值范围.7.()已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时, f(x)=-x2+a
3、x.(1)若a=-2,求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)为R上的单调递减函数,求实数a的取值范围;若对任意实数m, f(m-1)+ f(m2+t)0时,f(x)0.(1)求f(0)的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)证明f(x)是(-1,1)上的增函数;(3)若f12=1,解关于x的不等式f(x)+f(1-x)2.答案全解全析第三章函数专题强化练4函数的单调性与奇偶性一、单项选择题1.B解法一:根据题意作出y=f(x)的简图(如图所示),由图知选B.解法二:当x-b,-a时,-xa,b,由题意得f(b)f(-x)f(a),即-3-f(x)4,所以-4f(x)3,即在区间-b,-a上f
4、(x)min=-4, f(x)max=3,故选B.2.A易知f(x)的图像关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1)f(0),因为f(x)在(-,2)上是增函数,所以f(-1)0,所以C,D正确.三、填空题4.答案x13x23解析f(x)是偶函数,f(x)=f(|x|),不等式f(2x-1)f13等价为f(|2x-1|)f13.f(x)在区间0,+)上单调递增,|2x-1|13,解得13x23.x的取值范围是x13x解析x10,x2-x10,又f(x)在(0,+)上是减函数,f(x2) f(-x1),f(x)是偶函数,f(-x2)=f(x2) f(-x1).四、解答题6.解析(1)设x0,所以
5、f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以x-1,a-21,解得1a3,故实数a的取值范围是(1,3.7.解析(1)当x0,又f(x)为奇函数,且a=-2,当x0时,f(x)=-x2-2x,当x0时, f(x)=-f(-x)=x2-2x,f(x)=x2-2x,x0,在(0,+)上f(x)0时, f(x)在0,a2上单调递增,在a2,+上单调递减,不符合题意.函数f(x)为单调递减函数时,实数a的取值范围为(-,0.f(m-1)+ f(m2+t)0,f(m-1)-f(m2+t),又f(x)是奇函数,f(m-1)-t-m2恒成立,t
6、-m2-m+1=-m+122+54对任意实数m恒成立,t54,即实数t的取值范围是54,+.8.解析(1)令a=b=0,则f(0)+f(0)=f(0),f(0)=0.任取x(-1,1),则-x(-1,1),不妨令a=x,b=-x,则f(x)+f(-x)=fx-x1-x2=f(0)=0,即f(x)=-f(-x),故f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.(2)证明:任取x1,x2(-1,1),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=fx1-x21-x1x2.x1x2,x1-x20.-1x11,-1x20,x1-x21-x1x20,由题意得fx1-x21-x1x20,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)是定义在(-1,1)上的增函数.(2)由f(x)的定义域为(-1,1)可知-1x1,-11-x1,解得0xf45,f(x)是定义在(-1,1)上的增函数,11+x(1-x)45.0x0,解得x12.原不等式的解集为0,1212,1.
