1、2.1.3 推理案例赏析2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习导引 学习目标1.了解和体会推理案例的启示.2.了解推理在数学命题发展中的作用.重点难点重点:理解合情推理与演绎推理的含义.难点:合情推理与演绎推理的应用.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习导引 1.推理案例的启示(1)数学发现活动是一个探索创造的过程.这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程.合情推理和演绎推理相辅相成,相互
2、为用,共同推动着发现活动的进程.(2)合情推理是富于创造性的或然推理,在数学发现活动中,它为演绎推理确定了目标和方向,具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用.(3)演绎推理是形式化程度较高的必然推理,在数学发现活动中,它具有类似于“实验”的功能,它不仅为合情推理提供了前提,而且可以对猜想作出“判决”和证明,从而为调控探索活动提供依据.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习导引 2.数学命题推理数学命题推理有合情推理和演绎推理,归纳推理和类比推理是常用的合情推理.从推理形式上看,归纳推理是由部
3、分到整体、个别到一般的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理,而演绎推理是由一般到特殊的推理;从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步证明,演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习导引 预习交流 1在数列an中,a1=1,Sn,Sn+1,2S1 成等差数列(不必证明)(Sn 表示an的前 n 项和),则 S2,S3,S4 分别为 ,由此猜想 Sn=.答案:32,74,158 2-12-1解析:Sn,Sn+1,2S1 成
4、等差数列,2Sn+1=Sn+2S1.S1=a1=1,2Sn+1=Sn+2.当 n=1,2,3 时,依次得 S2=32,S3=74,S4=158.猜想 Sn=2-12-1.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习导引 预习交流 2从大、小正方形的数量关系上,观察下图,归纳得出的结论是 .2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习导引 答案:1+3+5+7+(2n-1)=n2解析:从大、小正方形的数
5、量关系上,容易发现1=12,1+3=22=22,1+3+5=33=32,1+3+5+7=44=42,1+3+5+7+9=55=52,1+3+5+7+9+11=66=62.观察上述算式的结构特征,我们可以猜想:1+3+5+7+(2n-1)=n2.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU目标导航 预习导引 预习交流 3已知 a0,且 a1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1).求证:PQ.证明:当 a1 时,a3+1a2+1,loga(a3+1)loga(a2+1).当 0a1时,a3+1loga
6、(a2+1).综上,PQ.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 一、利用合情推理提出猜想活动与探究设 k 棱柱有 f(k)个对角面,则 k+1 棱柱对角面的个数为f(k+1)=f(k)+.思路分析:注意几何图形参数在由 k 变到 k+1 时,发生了哪些变化,增加了多少.答案:k-1解析:k 棱柱增加一条侧棱时,则这条侧棱和与之不相邻的 k-2 条侧棱可构成 k-2 个对角面,而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面.f(k+1)=f(k)+k-2+1=f(k)+k-1.2.1.3 推理
7、案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 迁移与应用1.观察下列各等式:22-4+66-4=2,55-4+33-4=2,77-4+11-4=2,1010-4+-2-2-4=2依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为 .答案:-4+8-(8-)-4=2解析:观察发现:每个等式的右边均为 2,左边是两个分数相加,分子之和等于 8,分母中被减数与分子相同,减数都是 4.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂
8、检测 2.我们知道:周长一定的所有矩形中,正方形的面积最大;周长一定的所有矩形与圆中,圆的面积最大,将这些结论类比到空间,可以得到的结论是_ .答案:表面积一定的所有长方体中,正方体的体积最大;表面积一定的所有长方体和球中,球的体积最大解析:平面图形与立体图形的类比:周长表面积,正方形正方体,面积体积,矩形长方体,圆球.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 3.观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为 8,|
9、x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为12,则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为 .答案:80解析:由已知条件得,|x|+|y|=n(nN+)的不同整数解(x,y)的个数为4n,所以|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为 80.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 合情推理和演绎推理的关系是:(1)联系:两个推理是相辅相成的,演绎推理是证明数学结论,建立数学体系的重要思维过程,但数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.(2)区别:合情推理的前
10、提为真时,结论不一定为真,而演绎推理的前提为真时,结论必定为真.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 二、利用演绎推理证明活动与探究已知an为等差数列,首项 a11,公差 d0,n1,且 nN*.求证:lgan+1lg an-10,an-1an+1=(an-d)(an+d)=2-d21,d0,an=a1+(n-1)d1.lg an0.lg an+1lg an-1 lg+1+lg-12 2=12 lg(-1+1)2 12lg 2 2=(lg an)2,即 lg an+1lg an-1(l
11、g an)2.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 迁移与应用如图所示,在梯形ABCD中AB=DC=DA,AC 和BD是梯形的对角线.求证:AC 平分BCD,DB 平分CBA.证明:等腰三角形两底角相等,(大前提)2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 DAC 是等腰三角形,DA,DC 是两腰,(小前提)1=2.(结论)两条平行线被第三条直线所截,截得的内错角相等,(大前提)1
12、和3 是平行线 AD,BC 被 AC 截得的内错角,(小前提)1=3.(结论)等于同一个量的两个量相等,(大前提)2 和3 都等于1,(小前提)所以2=3,(结论)即 AC 平分BCD.同理 DB 平分CBA.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 三段论中大前提是一个一般性结论,是共性,小前提是指其中的一个.要得到一个正确的结论,大前提和小前提都必须正确,二者中有一个错误,结论就不正确.如所有的动物都用肺呼吸,鱼是动物,所以鱼用肺呼吸,此推理显然错误,错误的原因是大前提错.再如所有的能
13、被 2 整除的数是偶数,合数是偶数,所以合数能被 2 整除,此推理错误的原因是小前提错.为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 12 3 4 51.如果一个凸多面体是 n 棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有 f(n)对异面直线,则f(4)=,f(n)=.(答案用数字或含 n 的解析式表示)答案:2+n2 12(-1)(-2)22.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI
14、 DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 12 3 4 5解析:所有顶点确定的直线共有:棱数+底边数+对角线数,即n+n+(-3)2=2+n2.f(4)=42+412 2=12,f(n)=n(n-2)+(-3)2(n-2)=(-1)(-2)2.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU问题导学 当堂检测 1 23 4 52.(2014 福建,文 16)已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系:a2;b=2;c0 有且只有一个正确,则 100a+10b+c 等于
15、 .答案:201解析:由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当成立时,则 a2,b2,c=0,此种情况不成立;(2)当成立时,则 a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;(3)当成立时,则 a=2,b2,c0,即 a=2,b=0,c=1,所以 100a+10b+c=1002+100+1=201.故答案为 201.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU1 2 34 5问题导学 当堂检测 3.已知 1+23+332+433+n3n-1=3n(na+b)+c 对一切 nN*都成立,则 a=,b=,c
16、=.答案:12-14 14解析:错位相减法,求左边的和.设 Sn=1+23+332+433+n3n-1,则 3Sn=13+232+333+(n-1)3n-1+n3n,-得-2Sn=1+3+32+33+3n-1-n3n=1-31-3-n3n=12-n 3n-12.Sn=12n-14 3n+14=3n(na+b)+c.a=12,b=-14,c=14.2.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU1 2 3 45问题导学 当堂检测 4.根据下列给出的数塔猜测 123 4569+7=.19+2=11129+3=11112
17、39+4=1 1111 2349+5=11 11112 3459+6=111 111答案:1 111 1112.1.3 推理案例赏析 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU1 2 3 4 5问题导学 当堂检测 5.已知 a,b,m 均为正实数,且 ba,用三段论证明 +.证明:因为不等式两边同乘以一个正数,不等号方向不变,(大前提)b0,(小前提)所以 mbma.(结论)因为不等式两边同加上一个数,不等号方向不变,(大前提)mbma,(小前提)所以 mb+abma+ab,即 b(a+m)a(b+m).(结论)因为不等式两边同除以一个正数,不等号方向不变,(大前提)b(a+m)0,(小前提)所以(+)(+)(+)(+),即 +.(结论)