1、专题综合检测（二）（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知为第二象限角，sin cos ，则cos 2（A）A. B. C. D.解析：sin cos ，两边平方可得1sin 2sin 2，是第二象限角，因此sin 0，cos 0，所以cos sin .cos 2cos2sin2（cos sin ）（cos sin ）.2.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b5c，C2B，则cos C（A）A. B. C. D.解析：8b5c，由正弦定理得8sin B5sin C
2、.又C2B，8sin B5sin 2B.所以8sin B10sin Bcos B.易知sin B0，cos B，cos Ccos 2B2cos2 B1.3.函数y2cos21是（A）A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数 解析：因为y2cos21cossin 2x为奇函数，T.故选A.4.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a ，b ，B45，则A（D）A.30 B.30或105C.60 D.60或1205. （2014安徽卷）若将函数f（x）sin 2xcos 2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正
3、值是（C）A. B. C. D.解析：由题意f（x）sin 2xcos 2xsin，将其图象向右平移个单位，得sinsin，要使图象关于y轴对称，则2k，解得，当k1时，取最小正值.故选C.6.（2015新课标卷）已知点A（0，1），B（3，2），向量（4，3），则向量（A）A.（7，4） B.（7，4）C.（1，4） D.（1，4）解析：解法一设C（x，y），则（x，y1）（4，3），所以从而（4，2）（3，2）（7，4）.故选A.解法二（3，2）（0，1）（3，1），（4，3）（3，1）（7，4）.故选A.7.在ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量m（bc，ca），
4、n（b，ca），若向量mn，则角A的大小为（B）A. B. C. D.解析：m（bc，ca），n（b，ca）且mn，mn（bc，ca）（b，ca）b（bc）c2a20，即b2c2a2bc，又cos A，0A，A.8.设0x2，且 sin xcos x，则x的取值范围是（B）A.0x B.xC.x D.x9.（2015新课标卷）设D为ABC所在平面内一点，3，则（A）A. B.C. D.解析：（）.故选A.10.（2015新课标卷）已知M（x0，y0）是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点.若0，则y0的取值范围是（A）A. B.C. D.解析：由题意知a，b1，c， F1（，0）
5、，F2（，0）， （x0，y0），（x0，y0）. 0， （x0）（x0）y0，即x3y0. 点M（x0，y0）在双曲线上， y1，即x22y， 22y3y0， y0.故选A.11.已知tan ，则cos2（A）A. B. C. D.12.若向量a、b满足|a|b|1，且（ab）b，向量a、b的夹角为（B）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上）13.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（abc）（abc）ab，则角C.解析：由（abc）（abc）aba2b2c2ab，根据余弦定理可得 cos CC.答案：14.（20
6、15新课标卷）设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数.解析： ab与a2b平行， abt（a2b），即abta2tb， 解得答案：15.当函数ysin xcos x（0x2）取得最大值时，x.解析：ysin xcos x2sin，0x2x，可知22sin2.当且仅当x时，即x时取得最大值.答案：16.（2014江苏卷）若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是.解析：由已知sin Asin B2sin C及正弦定理可得ab2c，cos C，当且仅当3a22b2即时等号成立.答案：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程
7、或演算步骤）17.（10分）（2015茂名一模）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2bsin A.（1）求角B的大小；（2）若a3，c5，求ABC的面积及b.解析：（1）a2bsin A，由正弦定理得sin A2sin Bsin A，由于sin A0，故有sin B，又B是锐角，B30.（2）依题意得：SABCacsin 3035，由余弦定理b2a2c22accos B可得b2（3）252235cos 302725457，b.18.（12分）（2015安徽卷）已知函数f（x）（sin xcos x）2cos 2x.（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上
8、的最大值和最小值.分析：（1）化简可得f（x）sin1，即可求出f（x）的最小正周期T；（2）x，所以sin x，即可求出最值.解析：（1）f（x）（sin xcos x）2cos 2x1sin 2xcos 2xsin1，f（x）最小正周期T.（2）x，2x，sin x，f（x）max1，f（x）min0.19.（14分）函数f（x）6cos2cos x3（0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形.（1）求的值及函数f（x）的值域；（2）若f（x0），且x0，求f（x01）的值.解析：（1）由已知可得：f（x）6cos2cos x33cos
9、 x sin x2sin（0）.又由于正三角形ABC的高为2，则BC4，所以，函数f（x）的周期T428，即8，得.所以，函数f（x）的值域为2，2 .（2）因为f（x0），由（1）有f（x0）2sin，即sin.由x0，得，所以，即cos .故f（x01）2sin2sin2 2.20.（12分）在ABC中，已知3.（1）求证：tan B3tan A；（2）若cos C，求A的值.解析：（1）3，ABACcos A3BABCcos B，即ACcos A3BCcos B.由正弦定理，得，sin Bcos A3sin Acos B.又0AB，cos A0，cos B0.3，即tan B3tan A
10、.（2）cos C，0C，sin C.tan C2.tan（AB）2，即tan（AB）2.2.由 （1），得2，解得tan A1或tan A.cos A0，tan A1.A.21.（12分）（2015福建卷）已知函数f（x）10sin cos 10cos2.（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的最大值为2.求函数g（x）的解析式；证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）0.分析：（1）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将f（x）化为f（x）10sin 5，然后利用T
11、求周期；（2）由函数f（x）的解析式中给x减，再将所得解析式整体减去a得g（x）的解析式为g（x）10sin x5a，当sin x取1时，g（x）取最大值105a，列方程求得a13，从而g（x）的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）0，可解不等式g（x0）0，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数x0.解析：（1）因为f（x）10sin cos 10cos2 5sin 5cos x5 10sin 5.所以f（x）函数的最小正周期T2.（2）将f（x）的图象向右平移个单位长度后得到y100sin x5的图象，再向下
12、平移a（a0）个单位长度后得到g（x）10sin x5a的图象.又已知函数g（x）的最大值为2，所以105a2，解得a13.所以g（x）10sin x8.要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sin x080，即sin x0.由知，存在00，使得sin 0.由正弦函数的性质可知，当x（0，0）时，均有sin x.因为ysin x的周期为2，所以当x（2k0，2k0）（kZ）时，均有sin x.因为对任意的整数k，（2k0）（2k0）201，所以对任意的正整数k，都存在正整数xk（2k0，2k0），使得sin xk.亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）0.22.（12分）已知向量m，n（xR），设函数f（x）mn1.（1）求函数f（x）的值域；（2）已知锐角三角形ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A），f（B），求f（C）的值.解析：（1）f（x）mn112cos sin 11sin x.xR，函数f（x）的值域为1，1.（2）f（A），f（B），sin A，sin B.A，B都为锐角，cos A，cos B.f（C）sin Csinsin（AB）sin Acos Bcos Asin B.f（C）的值为.