1、3.1.3导数的几何意义 回顾 平均变化率 fx121)()f xxx2f(x函数y=f(x)的定义域为D，x1.x2D，f(x)从x1到x2平均变化率为:割线的斜率 OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=yfkx121)()f xxx2f(x回顾 以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:1234nnTLLLLL1234limnLLLLLn L回顾 以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速
2、度的精确值.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:由导数的意义可知，求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数注意:这里的增量不是一般意义上的增量，它可正也可负.自变量的增量x的形式是多样的，但不论x选择哪种形式，y也必须选择与之相对应的形式.回顾 PQoxyy=f(x)割线 切线 T导数的几何意义:我们发现，当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时，割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT
3、称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为，那么当x0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.即:00000()()()limlimxxf xxf xykfxxx 切线这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.要注意，曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关；2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；3)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.PQoxyy=f(x)割线 切线 T例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1，2)处的切线方程.
4、QPy=x 2+1xy-111OjMDyDx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解因此，切线方程为y-2=2(x-1)，即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标；利用切线斜率的定义求出切线的斜率；利用点斜式求切线方程.练习:如图已知曲线，求:(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyx
5、xxx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2)，即12x-3y-16=0.00()()()limlimxxyf xxf xfxyxx 在不致发生混淆时，导函数也简称导数 000()()()()().yf xxfxf xfxx 函数在点处的导数等于函数的导 函 数在点处的函数值函数导函数 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到，当时，f(x0)是一个确定的数.那么，当x变化时，便是x的一个函数，我们叫它为f(x)的导函数.即:如何求函数y=f(x)的导数？(1)()();yf xxf x 求函数的增量(2):()();yf xxf
6、 xxx 求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx 求极限，得导函数.yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一个例子:下面把前面知识小结:a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态.b.要切实掌握求导数的三个步骤：(1)求函数的增 量；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数.(3)函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即.这也是求函数在点x0处的导数
7、的方法之一.)(0 xf)(xf 0|)()(0 xxxfxf小结:(2)函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数.)(xf(1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数.c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系.(1)求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0，f(x0)的切线的斜率.)(0 xf(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfyd.求切线方程的步骤：小结:无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念.