1、直线、平面垂直的判定及其性质建议用时：45分钟一、选择题1设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则mCA中，由mn，n可得m或m与相交或m，错误；B中，由m，可得m或m与相交或m，错误；C中，由m，n可得mn，又n，所以m，正确；D中，由mn，n，可得m或m与相交或m，错误2在下列四个正方体中，能得出ABCD的是()AA选项中，因为CD平面AMB，所以CDAB；B选项中，AB与CD成60角； C选项中，AB与CD成45角；D选项中，AB与CD夹角的正切值为.3(2019东北三省三校联考)在四棱锥PABC
2、D中，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PAAB2，则直线PB与平面PAC所成角为()A.B.C.D.A连接BD，交AC于点O.因为PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BDAC，BDPA.又因为PAACA，所以BD平面PAC，故BO平面PAC.连接OP，则BPO即为直线PB与平面PAC所成角又因为PAAB2，所以PB2，BO.所以sinBPO，所以BPO.故选A.4(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EACC如图A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，B，D错；A1
3、E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错5如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABCD在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，
4、BAD90，BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，则CDAB.又ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC.又AB平面ABC，平面ADC平面ABC.二、填空题6如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，若该长方体的体积为8，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为 30连接BC1(图略)，由AB平面BB1C1C知AC1B就是直线AC1与平面BB1C1C所成的角由22AA18得AA12，BC12，在RtAC1B中，tanAC1B，AC1B30.7在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则点A1到平面A
5、B1D1的距离是 如图，AB1D1中，AB1AD1，B1D1，AB1D1的边B1D1上的高为，SAB1D1，设A1到平面AB1D1的距离为h；则有SAB1D1hSA1B1D1AA1，即h2，解得h.8(2016全国卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号)对于，可以平行，可以相交也可以不垂直，故错误对于，由线面平行的性质定理知存在直线l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正确对于，因为，所以，没有公共点又m，所以m，没有公共点，由线面
6、平行的定义可知m，故正确对于，因为mn，所以m与所成的角和n与所成的角相等因为，所以n与所成的角和n与所成的角相等，所以m与所成的角和n与所成的角相等，故正确三、解答题9(2018北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，所以AB平面PAD.所以A
7、BPD.又因为PAPD，所以PD平面PAB.因为PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.10(2019太原模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC上的一点，ABAC，且ADBC.(1)求证：A1C平面AB1D；(2)若ABBCAA12，求点A1到平面AB1D的距离解(1)证明：如图，连接BA1，
8、交AB1于点E，再连接DE，据直棱柱性质知，四边形ABB1A1为平行四边形，E为AB1的中点，ABAC，ADBC，D是BC的中点，DEA1C，又DE平面AB1D，A1C平面AB1D，A1C平面AB1D.(2)如图，在平面BCC1B1中，过点B作BFB1D，垂足为F，D是BC中点，点C到平面AB1D与点B到平面AB1D距离相等，A1C平面AB1D，点A1到平面AB1D的距离等于点C到平面AB1D的距离，BF长为所求，在RtB1BD中，BD1，BB12，B1D，BF，点A1到平面AB1D的距离为.1如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A
9、直线AB上B直线BC上C直线AC上 DABC内部A连接AC1(图略)，由ACAB，ACBC1，ABBC1B，得AC平面ABC1.AC平面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上2(2019唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()A BC DB对于，易证AB与CE所成角为45，则直线AB与平面CDE不垂直；对于，易证ABCE，ABED，且CEEDE，则AB平面CDE；对于，易证AB与CE所成角为60，则直线AB与平面CDE不垂直；对于，易证ED平面ABC，则EDAB，同理ECAB，可得AB平面CDE.故选B.3如图，PA圆O所在
10、的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号是 由BCAC，BCPA可得BC平面PAC，又AF平面PAC，所以AFBC，又AFPC，则AF平面PBC，从而AFPB，AFBC，故正确；由PBAF，PBAE可得PB平面AEF，从而PBEF，故正确；若AE平面PBC，则由AF平面PBC知AEAF与已知矛盾，故错误4(2019西宁模拟)已知三棱柱ABCA1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，BCA90，ACBC2，又知BA1AC1.(1)求证：AC1平面A1BC；(2)求
11、点C到平面A1AB的距离解(1)证明：BCA90得BCAC，因为A1D平面ABC，所以A1DBC，A1DACD，所以BC平面A1ACC1，所以BCAC1.因为BA1AC1，BA1BCB，所以AC1平面A1BC.(2)作DEAB于点E，连接A1E，作DFA1E于点F.因为A1D平面ABC，所以A1DAB，DEAB，DEA1DD，所以AB平面A1DE，又DF平面A1DE，所以ABDF，由DFA1E，A1EABE，所以DF平面A1AB，由(1)及已知得DE，A1D，RtA1DE中，DF，因为D是AC中点，所以C到面A1AB距离.1(2019衡阳模拟)如图，在四面体ABCD中，ADBD，截面PQMN是
12、矩形，则下列结论不一定正确的是()A平面BDC平面ADCBAC平面PQMNC平面ABD平面ADCDAD平面BDCD由PQMN，MN平面ADC，PQ平面ADC，得PQ平面ADC，又PQ平面ABC，平面ABC平面ADCAC，PQAC，同理QMBD，因为PQQM，ACBD，又BDAD，ACADA，BD平面ADC，平面BDC平面ADC，平面ABD平面ADC，A和C选项均正确；由PQAC，得AC平面PQMN，B选项正确不能得到ADDC或ADBC，不能得到AD平面BDC，故选项D不一定正确故选D.2(2019泉州模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，
13、AA1的中点，且A1MB1N.(1)求证：B1NA1C；(2)求M到平面A1B1C的距离解(1)证明：如图，连接CM.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，CM平面ABC，所以AA1CM.在ABC中，ACBC，AMBM，所以CMAB.又AA1ABA，所以CM平面ABB1A1.因为B1N平面ABB1A1，所以CMB1N.又A1MB1N，A1MCMM，所以B1N平面A1CM.因为A1C平面A1CM，所以B1NA1C.(2)法一：连接B1M.在矩形ABB1A1中，因为A1MB1N，所以AA1MA1B1N.所以tanAA1MtanA1B1N，即.因为ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是
14、AB，AA1的中点，所以AM1，CM，A1B12.设AA1x，则A1N.所以，解得x2.从而SA1B1MS正方形ABB1A12，A1CB1C2.在A1CB1中，cosA1CB1，所以sinA1CB1，所以SA1B1CA1CB1CsinA1CB1.设点M到平面A1B1C的距离为d，由V三棱锥MA1B1CV三棱锥CA1B1M，得SA1B1CdSA1B1MCM，所以d，即点M到平面A1B1C的距离为.法二：在矩形ABB1A1中，因为A1MB1N，所以AA1MA1B1N，所以tanAA1MtanA1B1N，即.因为ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，所以AM1，CM，A1B12.设AA1x，则A1N，所以，解得x2.如图，取A1B1的中点D，连接MD，CD，过M作MOCD于O.在正方形ABB1A1中，易知A1B1MD，由(1)可得CMA1B1，又CMMDM，所以A1B1平面CDM.因为MO平面CDM，所以A1B1MO.又MOCD，A1B1CDD，所以MO平面A1B1C，即线段MO的长就是点M到平面A1B1C的距离由(1)可得CMMD，又MD2，所以由勾股定理，得CD.SCMDCDMOCMMD，即MO2，解得MO，故点M到平面A1B1C的距离为.