1、单元质量评估（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知向量a=(1,2),b=(2,-1,k),且a与b互相垂直,则k的值是()A.-1B.C.1D.-2.若a,b,c是空间任意三个向量,R,下列关系中,不成立的是()A.a+b=b+aB.(a+b)=a+bC.(a+b)+c=a+(b+c)D.b=a3如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则+等于()A.B.C.D.4.若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则ABC的形状是()A.不等边锐角三角形B.直角三角
2、形C.钝角三角形D.等边三角形5.已知平面的一个法向量为n1=(-1,-2,-1),平面的一个法向量n2=(2,4,2),则不重合的平面与平面()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不确定6.若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=a+b+c,则,分别为()A.,-1,-B.,1,C.-,1,-D.,1,-7.(2013吉安高二检测)已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且ab,则x+y的值是()A.1或-3B.-1或3C.-3D.18.已知A(1,-1,2),B(2,3,-1),
3、C(-1,0,0),则ABC的面积是()A.B.C.D.9.下列命题正确的是()A.若=+,则P,A,B三点共线B.若a,b,c是空间的一个基底,则a+b,b+c,a+c构成空间的另一个基底C.(ab)c=|a|b|c|D.ABC为直角三角形的充要条件是=010.如图所示,四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=1,EFBC且AE=2EB,G为BC的中点,K为ADF的外心.沿EF将矩形折成一个120的二面角A-EF-B,则此时KG的长是()A.1B.3C.D.11.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=(0
4、1),则点G到平面D1EF的距离为()A.B.C.D.12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知向量a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值分别是、.14.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面内的三点,设平面的法向量为n=(x,y,z),则xyz=.15.平面,两两相互垂直,且它们相交于一点O,P点到三个面的距离分别是1cm,2 cm,3cm,则PO的长为cm.16.
5、如图,平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PAD=90,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),(1)求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S.(2)若向量a分别与向量,垂直,且|a|=,求向量a的坐标.18.(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB=90,侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问在线段A1B上是否
6、存在一点E(不与端点重合)使得点A1到平面AED的距离为?19.(12分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.20.(12分)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,E,F分别是DD,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H为CG的中点.(1)求证:EFBC.(2)求EF,CG所成角的余弦值.(3)求FH的长.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,ABBC,AB=BC=PA.点O,D分别是AC,PC的中点,OP底面ABC.
7、(1)求证:OD平面PAB.(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.22.(12分)(能力挑战题)已知四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,且PA=4PQ=4,底面为直角梯形,CDA=BAD=90,AB=2,CD=1,AD=,M,N分别是PD,PB的中点.(1)求证:MQ平面PCB.(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小.(3)求点A到平面MCN的距离.答案解析1.【解析】选D.ab=2-+2k=0,k=-.2.【解析】选D.由向量的运算律知,A,B,C均正确,对于D,当a=0,b0时,不成立.3.【解析】选C.+=+=.4.【解析】选A.=(3,4,2),=(5,1,3),=
8、(2,-3,1).由0,得A为锐角;由0,得C为锐角;由0,得B为锐角,且|,所以ABC为不等边锐角三角形.5.【解析】选A.n2=-2n1,n2n1,故.6.【解析】选A.由d=a+b+c=(e1+e2+e3)+(e1+e2-e3)+(e1-e2+e3)=(+)e1+(+-)e2+(-+)e3=e1+2e2+3e3.解得=,=-1,=-.7.【解析】选A.根据|a|=6,可得x=4,当x=4时,y=-3,当x=-4时,y=1,所以x+y=1或-3.8.【解析】选C.易知=(1,4,-3),=(-2,1,-2),|=,|=3,cos=,sin=,SABC=|sin=.9.【解析】选B.P,A,
9、B三点共面不一定共线,故A错误;由数量积公式知C错误;ABC为直角三角形时可能=0,也可能=0,或=0,故D错误.10.【解析】选D.由题意知K为AF的中点,取EF的中点H,连接KH,GH易证明KHG即为二面角A-EF-B的平面角,在KHG中,由KH=HG=1,KHG=120,可解得KG=.11.【解题指南】可以根据几何的有关性质转化为点A1到直线D1E的距离,利用三角形的面积可求;或建立空间直角坐标系,利用平面的法向量来求.【解析】选D.方法一:A1B1EF,G在A1B1上,G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离,也就是A1到D1E的距离.D1E=,由三角形面积可得h=.方法二:
10、以的方向作为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则E(0,0,),F(1,0,),D1(0,1,1),G(,0,1),=(1,0,0),=(0,1,),=(-,1,0),设平面EFD1的一个法向量是n=(x,y,z),则解得取y=1,则n=(0,1,-2).点G到平面EFD1的距离是:h=.12.【解析】选D.如图建立空间直角坐标系,则B(2,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),=(0,0,1),=(2,2,0),=(-2,0,1).设平面BB1D1D的一个法向量n=(x,y,z),由可得可取n=(1,-1,0).cos= =,BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.1
11、3.【解析】ab,存在实数k,使得a=kb,即(+1,0,2)=k(6,2-1,2),解得k=,=.答案: 14.【解析】=(1,-3,-),=(-2,-1,-),xyz=yy(-y)=23(-4).答案:23(-4)15.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,不妨设O(0,0,0),P(1,2,3),|OP|=(cm).答案:16.【解析】=-,=-+=-+,= (-)(-+)=4-2=2.|2=(-+)2=6,|=,|=2,cos= =,即异面直线EF与BD所成角的余弦值为.答案:【一题多解】如图所示,建立空间直角坐标系Axyz,E(0,0,1),F(1,2,0),B(2,0,0),D(0
12、,2,0),=(1,2,-1),=(-2,2,0),cos=,异面直线EF与BD所成角的余弦值为.17.【解析】(1)=(-2,-1,3),=(1,-3,2),cosBAC=,BAC=60,S=|sin 60=7.(2)设a=(x,y,z),则a-2x-y+3z=0,ax-3y+2z=0,|a|=x2+y2+z2=3,解得x=y=z=1或x=y=z=-1,a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1).18.【解析】存在.以CA,CB,CC1所在的直线为x轴,y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0),设=,(0,1),
13、则E(2,2(1-),2).又=(-2,0,1),=(2(-1),2(1-),2),设n=(x,y,z)为平面AED的法向量,则即取x=1,则y=,z=2,即n=(1,2).由于d=,=,又(0,1),解得=,当点E为A1B的中点时,A1到平面AED的距离为.【拓展提升】探索性问题的解法在立体几何中,经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立,或某一结论成立时需要具备什么条件,或某一结论在某一条件下,某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题.这些问题都属探索性问题,解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难,我们借助向量将“形”转化为“数”,把点、线、面的位置数量化,通过对代数式的运算就可得出相应
14、的结论.这样可以使许多几何问题进行类化,公式化,使问题的解决变得有“法”可依,有路可寻.19.【解析】以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a,0,1),(1)=(0,1,1),=(-,1,-1),=-0+11+(-1)1=0,B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP平面B1AE,此时=(0,-1,z0),又设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z).n平面B1AE,=(a,0,1),=(,1,0),n,n,得取x=1,得平面B1AE的一个法
15、向量n=(1,-,-a),要使DP平面B1AE,只需n,有-az0=0,解得:z0=.AP=,在棱AA1上存在点P,使得DP平面B1AE,且P为AA1的中点.20.【解题指南】要证明EFBC,只需要证明=0;要求EF,CG所成角的余弦值,只要求出,所成角的余弦值;要求FH的长,只要求出|即可.【解析】(1)设=a,=b,=c,则cb=ba=ca=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.=+=-c+(a-b)=(a-b-c),=-=b-c,=(a-b-c)(b-c)=(c2-b2)=(1-1)=0.EFBC.(2)=(a-b-c),=+=-c-a,=(a-b-c)(-c-
16、a)=(-a2+c2)=,|2=(a-b-c)2=(a2+b2+c2)=,|2=(-c-a)2=c2+a2=,|=,|=,cos=,EF,CG所成角的余弦值为.(3)=+=(a-b)+b+c+=(a-b)+b+c+(-c-a)=a+b+c,|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2=,FH的长为.21.【解析】方法一:(1)O,D分别为AC,PC的中点,ODPA.又PA平面PAB,OD平面PAB,OD平面PAB.(2)设PA=2a,ABBC,OA=OC,OA=OB=OC=a.又OP平面ABC,PA=PB=PC=2a.取BC中点E,连接PE,则BC平面POE.作OFPE于F,连接DF,则OF平面P
17、BC.ODF是OD与平面PBC所成的角.PA=2a,OA=a,OP=a.又OE=,OF=a.在RtODF中,sinODF=,OD与平面PBC所成角的正弦值为.方法二:OP平面ABC,OA=OC,AB=BC,OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz(如图),设AB=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).(1)D为PC的中点,=(-a,0,h).又=(a,0,-h),=-.,又PA平面PAB,OD平面PAB,OD平面PAB.(2)PA=2a,h=a,=(-a,0,a).可求得平面PBC的一个法向量n=(-1,1,)
18、,cos=.设OD与平面PBC所成的角为,则sin=|cos|=.OD与平面PBC所成角的正弦值为.22.【解析】方法一:以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,由AB=2,CD=1,AD=,PA=4PQ=4,M,N分别是PD,PB的中点,可得A(0,0,0),B(0,2,0),C(,1,0),D(,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(,0,2),N(0,1,2).(1)=(,-1,0),=(0,2,-4),=(-,0,1).设平面PBC的法向量为n0=(x,y,z),则有:n0(x,y,z)(,-1,0)=0x-y=0,n0(x,
19、y,z)(0,2,-4)=02y-4z=0,令z=1,则x=,y=2n0=(,2,1).n0=(-,0,1)(,2,1)=0,又MQ平面PCB,MQ平面PCB.(2)设平面的MCN的法向量为n=(x,y,z),又=(-,-1,2),=(-,0,2),则有:n(x,y,z)(-,-1,2)=0-x-y+2z=0,n(x,y,z)(-,0,2)=0-x+2z=0,令z=1,则x=,y=1n=(,1,1).又=(0,0,4)为平面ABCD的一个法向量.cos= =,又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角,截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为.(3)=(-,-1,0),所求的距离d=.方
20、法二:(1)取AP的中点E,连接ED,则EDCN,依题有Q为EP的中点,所以MQED,所以MQCN,又MQ平面PCB,CN平面PCB,MQ平面PCB.(2)易证:平面MEN底面ABCD,所以截面MCN与平面MEN所成的二面角即为平面MCN与底面ABCD所成的角,因为PA平面ABCD,所以PA平面MEN,过E作EFMN,垂足为F,连接QF,则由三垂线定理可知QFMN,由(1)可知M,C,N,Q四点共面,所以QFE为截面MCN与平面MEN所成的二面角的平面角.在RtMEN中,ME=,NE=1,MN=,故EF=,所以:tanQFE=,QFE=.即所求二面角大小为.(3)因为EP的中点为Q,且平面MCN与PA交于点Q,所以点A到平面MCN的距离是点E到平面MCN的距离的3倍,由(2)知:MN平面QEF,则平面MCNQ平面QEF且交线为QF,作EHQF,垂足为H,则EH平面MCNQ,故EH即为点E到平面MCN的距离.在RtEQF中,EF=,QFE=,故EH=,即原点A到平面MCN的距离是.